北师大版2020-2021学年九年级数学上册第四章 图形的相似同步试卷(含答案)

一、选择题(每题3分，共30分)

1．已知5x＝6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是( )

xyxyx5x6A．5＝6 B．6＝5 C．y＝6 D．5＝y 2．下列各组图形中有可能不相似的是( )

A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是60°的两个等腰三角形 C．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形

3．如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，

BD

F.已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则BF的值是( ) 3434A．4 B．3 C．7 D．7

4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中

1

心，相似比为3，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )

A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)

5．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应

点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”．下列变换中不一定是等距变换的是( )

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似

1

6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( )

A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m

7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为

位似中心，作出△CDE，使它与△AOB位似，且相似比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )

11

A．(0，0)，2 B．(2，2)，2 C．(2，2)，2 D．(1，1)，2

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点

F，则CF等于( )

A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25

9．如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连接AE，BE，

BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( ) A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25

10．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，

点P为AB边上一动点，连接PC，PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2

二、填空题(每题3分，共24分)

11．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距

离，他在比例尺为1

500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，

则小明所居住的城市与A地的实际距离为________． a＋bb＋cc＋a

12．若c＝a＝b＝k(a＋b＋c≠0)，则k＝________.

13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边

的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．

14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，

DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．

15．如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得

到正方形A′B′C′D′，则点C的对应点C′的坐标为________．

16．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4 m宽的区域DE，已

知点E到窗口下的墙脚C的距离为5 m，窗口AB高2 m，那么窗口底端B距离墙脚C________m.

17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，

垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．

18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形

3

AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，……，以此类推，则Sn＝________(用含n的式子表示，n为正整数)．

三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分) 19．如图，矩形ABCD为一密封的长方体纸盒的纵切面的示意图，AB边上的点

E处有一小孔，光线从点E处射入，经纸盒底面上的平面镜反射，恰好从点D处的小孔射出．已知AD＝26 cm，AB＝13 cm，AE＝6 cm. (1)求证：△BEF∽△CDF. (2)求CF的长．

20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O

为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.

(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)； (2)计算△A′B′C′的面积．

4

21．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，点F为线段DE

上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC.

(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．

22．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2米高的标

杆CD和EF，两标杆相距52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．

5

23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始

向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：

(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？

24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，

AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. AE

(1)当α＝0°和α＝180°时，求BD的值．

AE

(2)试判断当0°≤α＜360°时，BD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．

(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．

6

答案

一、1．B 2．A

BDAC33

3．C 点拨：因为a∥b∥c，所以BF＝AE＝＝7. 3＋44．A 5．D

6．B 点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.

又∵∠AEB＝∠DEC， ∴△ABE∽△DCE. ABBEAB20

∴DC＝CE，即20＝10. ∴AB＝40 m. 7．B

8．B 点拨：由∠A＝90°，CF⊥BE，AD∥BC，易证△ABE∽△FCB.

ABCF1

∴BE＝BC.由AE＝2×3＝1.5， AB＝2，易得BE＝2.5， 2CF

∴2.5＝3.∴CF＝2.4.

9．D

AEPA

10．C 点拨：设AP＝x，则BP＝8－x，当△PAE∽△PBC时，BC＝PB，

24

∴AE·PB＝BC·PA，即3(8－x)＝4x，解得x＝7. AEPA当△PAE∽△CBP时，PB＝BC，

∴AE·BC＝PA·PB，即3×4＝x(8－x)，解得x＝2或6. 故满足条件的点P的个数为3个．

二、11.160 km 点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km，根据题

132意可列比例式为500 000＝x×

105，解得x＝160.

a＋bb＋cc＋a2a＋2b＋2c

12．2 点拨：∵c＝a＝b＝k，∴＝k，故k＝2.

a＋b＋c

7

易错提醒：在运用等比性质时，注意分母的和不等于0这个条件． 13．S1＝S2 点拨：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，

∴BC2＝AC·AB.又∵S1＝BC2，S2＝AC·AD＝AC·AB，∴S1＝S2. 14．2；1：2；1：6

15．(2，1)或(0，－1) 点拨：如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各

边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，根据图形可得点C′标为(2，1)或(0，－1)．

易错提醒：此类题要注意多种可能：位似图形可能位于位似中心的同侧，也可能位于位似中心的两侧，要分情况进行讨论． 16．2.5 点拨：由题意得CE＝5 m，AB＝2 m，DE＝4 m.

∵AD∥BE，∴

BCCEBC5

＝，∴＝， ABED24

的坐

解得BC＝2.5 m，即窗口底端B距离墙脚C 2.5 m.

16

17．3或3 点拨：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△

16

ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝3；当△CBM∽△ABP时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4÷4×3＝3.

33n1

4 点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝BC＝1. 18．2×2

在Rt△ABB1中，AB1＝AB2－BB21＝22－12＝3， 根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S， S1323

∴S＝.∴S1＝4S. 2

333

同理可得S2＝4S1，S3＝4S2，S4＝4S3，…. 13

又∵S＝2×1×3＝2， 333∴S1＝4S＝2×4，

3332333333343S2＝4S1＝2×4，S3＝4S2＝2×4，S4＝4S3＝2×4，…，Sn＝2



8

3n4. ×

三、19.(1)证明：∵FG⊥BC，∠EFG＝∠DFG，∴∠BFE＝∠CFD.

又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△BEF∽△CDF.

(2)解：设CF＝x cm，则BF＝(26－x)cm， ∵AB＝13 cm，AE＝6 cm， ∴BE＝7 cm，

由(1)得，△BEF∽△CDF， BEBF726－x∴CD＝CF，即13＝x， 解得x＝16.9，即CF＝16.9 cm. 20．解：(1)如图．

111

(2)S△A′B′C′＝4×4－2×2×2－2×2×4－2×2×4＝6.

21．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，∠B＋∠C＝180°， ∴∠ADE＝∠DEC.

又∵∠AFE＝∠B，∠AFE＋∠AFD＝180°， ∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC. (2)解：在▱ABCD中，CD＝AB＝8. AFAD∵△ADF∽△DEC，∴CD＝DE，

9

4363

即8＝DE，解得DE＝12. ∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD.

在Rt△AED中，由勾股定理，得AE＝122－（63）2＝6. 22．解：由题意得，CD＝DG＝EF＝2米，DF＝52米，FH＝4米．

∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴∠ABH＝∠CDG＝∠EFH＝90°. 又∵∠CGD＝∠AGB，∠EHF＝∠AHB， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， CDDGEFFH∴AB＝BG，AB＝BH， CD即AB＝2∴AB＝∴

DGEFFH

，AB＝，

DG＋BDFH＋DF＋BD

224

，AB＝， 2＋BD4＋52＋BD

24＝， 2＋BD4＋52＋BD

解得BD＝52米， 2∴AB＝2

，解得AB＝54米． 2＋52

答：建筑物AB的高度为54米．

23．解：(1)由题意知AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，当QA＝AP时，

△QAP是等腰直角三角形， 所以6－t＝2t，解得t＝2.

11

(2)四边形QAPC的面积＝S△QAC＋S△APC＝2AQ·CD＋2AP·BC＝(36－6t)＋6t＝36(cm2)．在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．

(3)分两种情况： ①当6－t2tAQAP

＝时，△QAP∽△ABC，则＝，即t＝1.2； ABBC126

6－t2tQAAP

②当BC＝AB时，△PAQ∽△ABC，则6＝12，即t＝3.

10

所以当t＝1.2或3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似． 24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC

1

的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝2AC.

AE255

∵∠B＝90°，∴AC＝82＋42＝45.∴AE＝CE＝25.∴BD＝4＝2. 当α＝180°时，如图①，

易得AC＝45，CE＝25，CD＝4， AEAC＋CE45＋255∴BD＝＝＝2.

BC＋CD8＋4(2)无变化．证明：在题图①中， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB.

CECD

∴CA＝CB，∠EDC＝∠B＝90°.

在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变， CECD

∴CA＝CB仍然成立． 又∵∠ACE＝∠BCD＝α， AEAC

∴△ACE∽△BCD.∴BD＝BC. 由(1)可知AC＝45.

AC455AE5AE

∴BC＝8＝2.∴BD＝2.∴BD的大小不变．

(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，

11

如图②，∴BD＝AC＝45；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝AC2－CD2＝8.AE5125

又易知DE＝2，∴AE＝6.∵BD＝2，∴BD＝5. 125

综上，BD的长为45或5.

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1、生活不相信眼泪，眼泪并不代表软弱。20.7.207.20.202016:1616:16:52Jul-2016:16 亲爱的读者： 2、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。二〇二〇年七月二十日2020年7月20日星期一

3、成功都永远不会言弃，放弃者永远不会成功。16:167.20.202016:167.20.202016:1616:16:527.20.202016:167.20.2020 4、不要为它的结束而哭，应当为它的开始而笑。7.20.20207.20.202016:1616:1616:16:5216:16:52

5、生命的成长，需要吃饭，还需要吃苦，吃亏。Monday, July 20, 2020July 20Monday, July 20, 20207/20/2020

这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃6、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。4时16分4时16分20-Jul-207.20.2020

7、放眼前方，只要我们继续，收获的季节就在前方。20.7.2020.7.2020.7.20。2020年7月20日星期一二〇二〇年花一样美丽，感谢你的阅读。 七月二十日

8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。16:1616:16:537.20.2020Monday, July 20, 2020

春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在

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亲爱的读者： 1、盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。。20.7.207.20.202016:1616:16:53Jul-2016:16

春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在3、少年易学老难成，一寸光阴不可轻。。16:167.20.202016:167.20.202016:1616:16:537.20.202016:167.20.2020

这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃5、海内存知已，天涯若比邻。Monday, July 20, 2020July 20Monday, July 20, 20207/20/2020 花一样美丽，感谢你的阅读。 2020年7月20日星期一二〇二〇年七月二十日

7、人生贵相知，何用金与钱。20.7.2020.7.2020.7.20。

8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。16:1616:16:537.20.2020Monday, July 20, 2020 6莫愁前路无知已，天下谁人不识君。4时16分4时16分20-Jul-207.20.2020 4、敏而好学，不耻下问。。7.20.20207.20.202016:1616:1616:16:5316:16:53 2、千里之行，始于足下。2020年7月20日星期一

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