第２７卷第６兑Ｈ 萍乡高等专科学校学报 ２０１０年１２月 Ｖｏ１．２７ Ｎ０．６ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｉｎｇｘｉａｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｄｅｃ．２０１０ 空间曲线Ｆ上的两类曲线积分间联系 张弛 （泰州机 高等职业技术学校，江苏泰州２２５３００） 摘要：给…空川曲线Ｆ上的两类曲线积分 联系的证明 关键词：曲线积分：方向余弦 中图分类号：０２４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—９１４９（２０１０）６－０００１—０４ 第一型曲线积分与第二型曲线积分虽然来自不同的物理原型，且有不同的特性，但在一定的条件下，如 在规定了曲线的方向之后，可以建立它们之间的联系。 首先在平面中：设Ｌ为从Ａ到 的有向光滑曲线，它以弧长 为参数，于是 ￡： ＝ ），Ｙ＝ｙ（ ）， ０ Ｓ Ｚ 其中ｆ为曲线Ｌ的全长，且Ａ（ （０），Ｙ（０）），Ｂ（ （ｚ），Ｙ（１）） 曲线Ｌ上每一点的切线方向指向弧长增加的一 寿．现以（ ， ），（ ，ｙ）分别表示切线方向 与 轴与ｙ轴正向的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦是 一ｓ（ ｄｓ－ｃｏｓ（ ， ） 若尸（ ， ），Ｑ（ｘ，），）为曲线 上的连续函数，则平面上第一型曲线积分与第二型曲线积分有如下联系： Ｊ＇ＬＰ（ ＋Ｑ（ ｙ）ｄｖ ［Ｊｐ（ （ ），），（ ））ｃ。ｓ（ ， ）＋Ｑ（ （ ），），（ ））ｃ。ｓ（ ，．ｙ） 『￡｛尸（ ）ｃ。ｓ ）＋Ｑ（ ）ｃ。ｓ（ ， ） 下面我们从平面上推广到空间曲线Ｉ上的两类曲线积分间联系 Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ 』ｒｌ（Ｐｃ。ｓ ０ｆ＋Ｑｃ。ｓ ＋尺ｃ。ｓｙ ［１］ 要清楚的理解上式对于初学者是比较困难的．例如，设ｒ为曲线 ＝ｔ、Ｙ＝ｔ２Ｚ＝ｔ３上相应于ｆ从１ 、变到。的曲线弧。把对坐标的曲线积分ｆｒ尸 ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ化为对弧长的曲线积分。 那么．杭照教材的写法去求雷韬｝．对 标的曲线 分有 收稿日期：２０１０—９—２４ 作者简介：张弛（１９８３一）。 ． 苏泰州人．主要从事应只ｊ数学方面的研究 ・２・ 萍乡高等专科学校学报 ２０１０年 ￣ｒＰｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ １０（Ｐ＋２ｔＱ＋３ｆ 尺） 一 （Ｐ＋２ｔＱ＋３ｔ 尺） 又有切向量： －（１，２ｔ，３ｔ ） ｃｏｓ（ ） ，ｃｏｓ（ ）＝ …（ｒ，ｚ）＝ 等 ， 其中（ｒ， ），（ｒ，），），（ｒ，ｚ）是切向量 的方向角。 ： 石 ｆ 对弧长的曲线积分有 『ｒ（尸ｃ。ｓ（ｒ， ）＋ａ ｃｏｓ（ｒ， ）＋Ｒ ｃｏｓ（ｒ，ｚ） （Ｐ ＋Ｑ ＋尺 南］ ｒ （Ｐ＋２ ｔＱ＋３ｔ 尺）ｄｔ 综上所述，Ｐｄ ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ≠ （Ｐ ｃ。ｓ（ｒ， ）＋Ｑ ｃｏｓ（ｒ，），）＋Ｒ ｃｏｓ（ｒ，ｚ） 。 其结果与教材上的结论不符 但仔细观察发现若把问题中“ｔ从１变到０”改为“ｆ从０变到１”其结果 与教材上的结论就相符，有下式成立 尸 ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄ （尸ｃｏｓ（ｒ， ）＋Ｑｃｏｓ（ｒ，ｙ）＋Ｒｃｏｓ（ｒ，ｚ） 。 可以看出ｉ．＇－Ｊ题在于计算对弧长的曲线积分时。化成定积分计算要求“下限一定要小于上限”。但如何解决这 个矛盾？ 关于对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）和对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）之间的联系，人们 已经给出较完善的证明［２～４］ 下面我们将对空间曲线Ｆ上的对坐标的曲线积分和对弧长的曲线积分之间的 联系给出较完善的证明，在证明过程中注意曲线弧的正向切向量公式和弧微分公式中“土”号的选择［５］．这 是解决以上矛盾的关键。 假设空间有向曲线Ｆ的起点为Ａ，终点为Ｂ。曲线Ｆ由参数方程 ＝ （¨．Ｙ＝ｌｆ，（¨．Ｚ＝ （ｆ） 给出，起点Ａ．终点Ｂ分别对应参数 ，卢。函数 （¨．１ｆ厂（ｆ）．∞（ｆ）在以 ，ｐ为端点的闭区间上具 有一阶连续导数，且 ，２（ ）＋ 坨（ｔ）＋ｏｏ心（ｔ）≠０ 又设尸（ ，Ｙ，ｚ），Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｒ（ｘ，Ｙ，ｚ）在ｒ上连续。 第６期 张驰：空间曲线Ｆ上的两类曲线积分间联系 』ｒ Ｐ（ ，ｙ，ｚ）ｄｘ＋ａ（Ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｙ＋Ｒ（ ，Ｙ，Ｚ）ｄｚ Ｐ［ （ｆ），ｖ，（ｆ），∞（ｆ）］ ）＋ａ［ （ｆ）， （ｆ）， ０）－Ｉ￣ ）＋ Ｒ［ （ｆ）， （ｆ）， （ｆ）］∞ （ｚ）） ｆ （１） 又与有向曲线Ｆ方向一致的切向量为 ＝±（．？， （ｒ），ｌｆ， （ｆ）， （ｆ）） 其中，当 ＜卢（ ＞ ）时参数增加的方向是有向曲线Ｆ的正（反）向，“±”号中取正（负）号。 方向余弦： ｃ。ｓ（ｒ， ） ，ｃ。ｓ（ｒ，ｙ） ｃｏｓ 弧微分：ｄｓ＝√ 万 万 而Ｉｄｔｌ＝ ± ｆ＞０ 当 ＜ 时“－ｔ－”号中取正； ＞ 时“－ｔ－”号中取负。 则对弧长的曲线积分可化为 』ｒ Ｐ（ ，Ｙ，ｚ）ｄｘ＋ａ（ ，Ｙ，ｚ）ｄｙ＋Ｒ（ ，Ｙ，ｚ）ｄｚ ｛Ｐ・［ （ ），Ｉｆ，（ ）， （ ） 专 ＋ Ｑ ｍ酬 ＋ ［ （ｒ），ｌｆ，（ｒ）， （ｒ） ）［±√ 万 而ｆ］ ： ｛Ｐ［ （ｒ），ｌｆ，ｔ），∞（ｒ） ）＋Ｑ［ （ｆ）， （ｆ），∞（ｆ）］ ）＋ 尺［ （ ），ｌｆ厂（ｆ），∞（ｆ）］ （ｆ）） （２） 由（１）（２）可得，空间曲线Ｆ上的两类积分问联系如下： ｒｒ Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ＝ｒｒ（Ｐ ｃｏｓ（Ｆ， ）＋ａ ｃ０ｓ（ｒ，ｙ）＋Ｒ ｃ０ｓ（ｒ，ｚ） 萍乡高等专科学校学报 ２０１０正 切向量： ＝一（１，２ ｔ，３ ｆ：） ｃ。ｓ（ｒ， ）＝一 志ｃｏｓ（ｒ＇ｚ）一 ’ ，ｃ。ｓ（ｒ， ）＝一 南 其中（ｒ， ）・（ｒ，ｙ），（ｒ，ｚ）是切向量于的方向角。 ａｓ：一 ＿４ 对弧长的曲线积分有 ｒｄｔ （Ｐ ｃ。ｓ（ｒ， ）＋Ｏ ｃ。ｓ（ｒ， ）＋Ｒ ｃ。ｓ（ｒ，ｚ） Ｊｊ。ｆ，Ｐ 一 ＋９ ＋尺 ］（一 ｒ） （尸＋２ ｔＱ＋３ ｔ：Ｒ）ｄ ｔ 则对坐标的曲线积分化为对弧长的ｔｌｆｔ线积分： ．『ｒ Ｐ ＋Ｑ ｄｙ＋Ｒ ｄｚ 『ｒ（Ｐ ｃ。ｓ（ｒ， ）＋Ｑ ｃｏｓ（ｒ，），）＋Ｒ ｃｏｓ（ｒ，ｚ） － 参考文献 ｉｊ同济大学应用数学系．《高等数学＞ 第五版） Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２． ｆ２］郑必嫒．谈谈“曲线积分之间的联系”的几种证法［Ｊ］．高等数学研究，１９９４（１）：３３￣３５． ３ 张永明．也谈曲线积分之间的联系 Ｊ］．北京印刷学院学报，９（３）：５１～５２． ［４］孙瑞德．纠正《高等数学》（同济四版）的一个错误［Ｊ］．工科数学，１７（３）：１０７￣１０８．２００１． ５］唐旭晖，邦权，李冱岸．关于两类｝ⅡＩ线积分之间的联系［Ｊｊ．高等数学研究，１１（２）：４０￣４２． ［责任编校：文清芝］ Ｒｅｌａｔｉｏｎ Ｂｅｔｗｅｅｎ Ｔｗｏ Ｌｉｎｅ Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｏｎ Ｓｐａｃｅ Ｃｕｒｖｅ Ｚｈａｎｇ Ｃｈｉ ｒＴａｉｚｈｏｕ Ｈｉｇｈｅｒ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ＆Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｔａｉｚｈｏｕ ２２５３００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔＷＯ ｌｉｎｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｏｎ ｐｅａｃｅ ｃｕｒｖｅ・ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ：ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｃｏｓｉｎｅ．
