装备环境工程 ・第ｌＯ卷第５期 ７０・ ＥＱＵＩＰＭＥＮＴ ＥＮＶＩＲＯＮＭＥＮＴＡＬ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ２０１３年１０月 Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法在小样本随机振动环境测量数据 归纳中的应用研究 张建军，孙建勇，常海娟 （中国航空综合技术研究所，北京１ ０００２８） 摘要：针对传统正态容差上限方法在确定平台振动环境条件时，不适合处理小样本卖测数据统计归纳 的问题，提出了利用Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法对测量样本重采样，进而统计归纳振动环境条件的计算方法。首先利用 Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法对来自正态分布的试验数据进行容差上限估计，通过与真值的对比分析，验证各种自助置信区 间估计方法的适用性，而后提出使用纠偏百分位法和Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ—ｔ法对小样本振动测量数据进行归纳。最 后，分别对某型飞机实测数据进行了统计归纳，并与传统容差上限估计方法进行了对比分析。 关键词：Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法；小样本；数据归纳 Ｄ０Ｉ：１０．７６４３／ｉｓｓｎ．１６７２－９２４２．２０１３．０５．０１５ 中图分类号：ＴＢｌｌ４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—９２４２（２０１３）０５—００７０—０７ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ Ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ Ｓｍａｌｌ Ｓａｍｐｌｅ Ｍｅａｓｕｒｅｄ Ｄａｔａ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ０ｆ Ｒａｎｄｏｍ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ＺＨＡＮＧ Ｊｉａｎ－－ｊＵｒｌ，ＳＵＮＪｉａｎ—ｙｏｎｇ，ＣＨＡＮＧ Ｈａｉ－ｊｕａｎ （Ｃｈｉｎａ Ａｅｒｏ－ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００２８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｎｏｒｍａ１ ｕｐｐｅｒ ｔｏｌｅｒａｎｃｅ ｌｉｍｉｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉＳ ｎｏｔ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｓｍａｌｌ ｓａｍｐｌｅ ｄａｔａ ｉｎ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｐｌａｔｆｏｒｍ．Ａ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｌｙ ｒｅｄｕｃｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ ｍｅｔｈｏｄ ｒｅｓａｍｐｌｉｎｇ ｏｎ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｓｐｅｃｉｍｅｎ．Ｕｐｐｅｒ ｔｏｌｅｒａｎｃｅ ｌｉｍｉｔ ｏｆ ｔｅｓｔ ｄａｔａ ｗｉｔｈ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｗａｓ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｕｓｉｎｇ Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗａｓ ｖｅｒｉｉｅｄ ｆｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｗｉｔｈ ｔｒｕｅ ｖａｌｕｅｓ．Ｂｉａｓ－ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ ｂｏｏｔｓｔｒａｐ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｂｏｏｔｓｔｒａｐ—ｔ ｍｅｔｈｏｄ ｗｅｒｅ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｆｏｒ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｓｍａｌｌ ｓａｍｐｌｅ ｄａｔａ．Ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｔｏｌｅｒａｎｃｅ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ａｎｄ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｕｓｉｎｇ ｆｌｉｇｈｔ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ａｉｒｃｒａｆｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂｏｏｔｓｔｒａｐ ｍｅｔｈｏｄ；ｓｍａｌｌ ｓａｍｐｌｅ；ｄａｔａ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ １８Ａ附录中规定了有测量数据时确定 随着ＧＪＢ １５０Ａ的颁布实施，需要优先考虑使用 验。ＧＪＢ １５０． 实测数据来确定振动环境条件，并据此进行振动试 极值环境条件的方法，如单边正态容差上限（ＮＴＬ）收稿目期：２０１３－０６—２２ 作者简介：赵铁山（１９８９～），男，浙江绍兴人，硕士研究生，主要研究方向为弹药可靠性与失效分析。 第１０卷第５期 张建军等：Ｂｏ。ｔｓｔｒａｐ方法在小样本随机振动环境测量数据归纳中的应用研究 。７１・ 和正态预测上限（ＮＰＬ）等参数上限方法，包络上限 …，Ｘ ），来自未知的总体分布Ｆ，Ｒ（ｘ，Ｆ）为总体 （ＥＮＶ）、自由分布容差上限（ＤＦＬ）和经验容差上限 分布Ｆ的某个分布特征，它是ｘ和Ｆ的函数。现要 ， 。，…， ）估计Ｒ（Ｘ，Ｆ）的某 （ＥＴＬ）等非参数统计方法。国内于２０００年实施的 求根据观测样本ｘ＝（ＧＪＢ／Ｚ １２６—９９中提出的统计容差法是对一定样本量 个参数（如均值、方差或分布密度函数等）。例如， 是观测样 下服从正态分布的振动数据进行统计归纳的方法。 设０＝０（Ｆ）是总体分布Ｆ的某个参数，在工程实际中，某些飞行状态不具备实测条件或历 本ｘ的经验分布函数，０＝０（Ｆ ）是０的估计，记 史飞行资料较少时，环境数据统计归纳样本量较小， 估计误差为： 已有的各种环境测量数据方法得到的振动试验条件 大都偏于严酷，与实际的随机振动环境相差较大，无 法反映产品实际经历的随机振动环境。 综上所述，目前大部分常用振动实测数据统计 归纳方法对统计特征量的概率分布和统计样本量均 有一定要求，而飞行环境实测样本受型号研制周期 和研制经费很难满足以上要求。文中尝试利用 自助抽样算法对概率分布特性未知、样本量较小的 实测数据进行二次抽样，借鉴目前国内常用的正态 容差上限法使用Ｐ９９／９０或Ｐ９５／５０准则确定随机振动 环境条件。 １９７７年，美国Ｓｔａｎｆｏｒｄ大学统计学教授Ｅｆｒｏｎ在 前人研究成果的基础上提出了一种新的增广样本统 计方法，即Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法，为解决小子样数据归纳问 题提供了很好的思路” 。Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法是用现有的样 本资料去模仿未知的分布，直接利用试验数样本据 确定先验分布。该方法能充分利用子样本身的信 息，对于总体分布不需要做出假定。近年来， Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法在均值估计、标准差估计、回归分析、区 间估计、假设检验和交叉验证等范围内得到广泛应 用 。文献［８】中Ｗ．Ｏ．Ｈｕｇｈｔｅｓ等人对大力神一ＩＶ号 仪器舱整流罩发射阶段声振数据分析时，分别利用 ＮＴＬ的Ｐ９５／５０，Ｐ９９／９０原则和Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法等２种不同 的方法归纳得到相近的声振环境条件。 下面首先介绍Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法的基本原理和基于 Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ的５种参数置信区间估计算法；然后，提出 实现Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ统计归纳振动环境数据的算法流程； 最后通过仿真确定适合随机振动测量数据容差上限 估算的最佳区间估计方法，并在某型飞机外场实测 数据统计归纳中进行应用。 １基本原理 Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法的数学描述：设随机样本 （ Ｒ（Ｘ，Ｆ）＝ （Ｆ ）一 （Ｆ）垒 （１） 现要由观测样本 （ ，Ｘ２，…，Ｘ ）估计Ｒ（ｘ，Ｆ） 的分布特征，显然此时 （ｘ，Ｆ）的均值和方差分别为 ０（Ｆ）估计误差的均值和方差。Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法的实 质就是一个再抽样过程，通过对观测数据的重新抽 样产生再生样本来模拟总体分布，计算尺（ｘ，Ｆ）分布 特征的基本步骤归纳如下。 １）根据观测样本ｘ：（ Ｘ ，…，Ｘｎ）构造原始样本 经验分布函数 ： ｆ？ Ｆ （ ）＝２【 ≤ ＜ ≥ 式中：Ｘ（纵 ）１］≤ （ ２Ｊ≤…≤ ㈤，是将原始样本 （） 。， Ｘ：，…，Ｘｎ）按从小到大顺序排列，所得到的样本次序 ＋ 统计量 ㈩， Ｉ２Ｊ，…，＿ ㈨。ｌ： ２）用仿真法从 中随机抽取ＪＶ组样本 （ｆ）＝ （ ，３Ｃ２ ，…， ：），ｊ＝ｌ，２，…，ＪＶ，此再生样本称为 ｌ一 Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ样本，自助样本维数为 。 ３）计算Ｂｏｏｔ／ ｓｔｒａｐ样本统计量： ２ Ｒ （Ｘ ，Ｆ ）＝０（ ）一０（Ｆ ）・Ｒ （３） 式中： 是Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ样本的经验分布函数；尺 表 示 的Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ统计量。由于通过小样本试验不可 能得出０（Ｆ），所以采用０（Ｆ ）近似代替０（Ｆ）。 ４）用Ｒ 的分布去模拟 的分布。即有０（Ｆ） （Ｆ ）一 ，可以得到Ⅳ个０（Ｆ）的样本，即可统计 求出未知参数０的分布及其特征值。 ２参数置信区间估计 在总体分布未知的情况下，Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ抽样提供 了经典统计方法难以实现的区间估计方案。利用上 面的分布 ，将 （ ）简记为 （）， ＝１，２，…， ・７２・ 装备环境＿Ｔ程 ２０１３年ｌ０月 Ⅳ，下面使用５种方法估计未知参数０的置信区间。 算完成，定义： ２．１正态近似法 正态近似法是利用当０ 的分布服从或近似服从 ６。＝ 一 【 １ Ｎ舶 （Ｊ－））】 式中： （７） 为标准正态分布函数的反函数；，（・） 正态分布的特点，计算出～组自助样本均值 和方 为示性函数，其定义如下：差Ｖａｒ（０ ），设定显著性水平 ，０的（１一 ）标准 Ｉ（０ （ ））：Ｉ１，？ （ ））＜０ （８） Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ置信区间为： ［０ ——Ｚ１一￣２Ｖａｒ（０ ），０ ＋ＺＩ＿￣２Ｖａｒ（０ ）］ （４） 其中Ｚｊ＿ 为标准正态分布的（１一号）百分 数。 ２．２百分位法 百分位法是利用Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ经验分布的第 ／２和 １一 ／２分位点分别是在（１一 ）置信水平下统计量０ 置信区间上、下限的一种估计方法。即将ｂ （． ）按 从小到大的顺序依次排列，可以得到顺序统计量 ０ （ ），ｋ＝ｌ，２，…，Ｊ７ｖ，则（１一 ）下统计量０的置信 区间的上、下限为： ［ｂ （ ）， （（ 一詈）Ⅳ）】 （５） ２．３ 百分位法 一百分位法是在对百分位Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法改进的 基础上得到的，分别计算原样本和自助样本标准差 估计￣／Ｖａｒ（ｂ ），￣／Ｖａｒ（ｂ （）），针对每组自助样 本，计算ｔ统计量，即ｔ ＝（０ （ ）一０）／ ￣／Ｖａｒ（ｂ （ ）），ｊ＝ｌ，２，…，Ｊ７ｖ；然后将ｔｉ 依大小顺序 排列。获得参数０置信度为（１一 ）的Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ区间 估计为： ［０一ｔＮ ．（１训）・ＪＶａｒ（ ），０一ｔＮ 们・￣／Ｖａｒ（ｂ）］ （６） ２．４纠偏百分位法 应用上述３种区问估计方法时，如果出现大部 分Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ估计量ｂ （）小于０，这就意味着 Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ模拟“低估”了 ，为了纠正这一偏差，置信 边界必须向大值移动。这个过程通过纠偏量易。的计 ｔＯ，０ （ ））＞０ 考虑纠偏后，可构造纠偏百分位估计的置信区 间［０ （Ｎ・Ｐ ），０ （Ｎ・Ｐ ）］，其中Ｐ。＝ （Ｚ ＋ ２ｂ。）；Ｐ：＝ （Ｚｌ－ａ／２＋２ｂ。）； （・）为标准正态分布函数； ｚ 为标准正态分布分位数。 ２．４纠偏加速百分位法 纠偏加速百分位法是在纠偏百分位法基础上使 用加速参数ａ进行修正。计算步骤如下： １）利用刀割法剔除第ｉ个观测样本后得到样本 特征估计值０（ｉ），ｉ＝１，２，…，ｎ； ２）计算上述 个０（ｉ）的平均值，记为０（・）＝ ＇－…２（ ）； 一 ３）根据式（９）计算加速参数ａ的估计结果： 口：—五一 —： ———— （＼ ９） ６【∑（（ （・）一 （ ）） ４）执行纠偏百分位法，获得偏差修正参数ｂ０； ５）根据如下公式计算修正后的第ａ／２和１一 ／２ 分位点系数参数： ［６０＋ 】（１０） ［６０＋等 ］（１１ 同百分位法，第ａ／２和１一ａ／２分位点分别是 在（１一 ）下统计量０的置信区间的上、下限 ［０ （ Ｎ），０ （ Ｎ）］。 ３基于Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法的随机振动环境 测量数据归纳流程 在获得飞行实测数据后，需要经过样本选取、数 第１Ｏ卷第５期 张建军等：Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法在小样本随机振动环境测量数据归纳中的应用研究 。７３・ 据预处理分析和集合检验，方可计算得到飞机平台 计量 ＝／Ｘｂ ＋ Ｏ＂ｂ ； 某区域的功率谱密度样本。然后利用预先给定的概 ５）重复３），４）步Ⅳ次，ＪＶ≥１０００； 率值和置信度，采用各种区间估计方法进行容差上 限估计，就可确定该平台区域振动环境条件，如公式 （１２）所示。 ｘ （Ｊｖ， ，１３）＝ ＋ｚ （１２） ６）计算ＪＶ组自助统计特征参数 （ ），ｊ＝ｌ， ２，…，Ｊ７Ｖ，给定置信度 ，利用上述置信区间估算方法 计算上限 （Ⅳ，．ｙ， ）。 使用如上提出的Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ参数置信区间估计 法，进行某一频率点随机振动环境测量数据的上限 估计，详细步骤如下。 １）输人多次测量功率谱密度 Ｄ＝（ Ｄ ， ＰＳＤ ，…，ＰＳＤ．），计算样本均值 和方差无偏估计 ２ ７）估算所有频率点容差上限，获得随机振动实 测谱。 ４仿真验证分析 为了对比目前常用参数上限估计方法与上述各 ｏｒ ； 种基于Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ的参数置信区间估计方法在小样本 进行下面的验证 ２）根据 ：一ＰＳＤｉ－Ｉ￣规范化所有频点谱密度 随机振动测量数据归纳中的优劣，模拟计算。 ｏｒ 数据，拟合经验分布函数，给定概率值 ，确定等效 Ｐ９９或Ｐ９５分位点ｚ口数值； 假定功率谱密度样本服从对数正态分布ｘ＝ｌｇ ＰＳＤ～Ｎ（一２，０．５ ）。从中随机抽出１０组容量为１０的 ３）以原始谱密度为基础进行再抽样，获得 子样，采用３类方法分别计算实测功率谱谱密度的 Ｐ９９／９０置信上限，概率为０．９９的母体容差上限真值 １个Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ样本ＰＳＤｂ＝（ＰＪＳＤ “，ＰＳＤ；“，…， ＰＳＤ，￣ ），计算Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ子样样本均值 和方差无 偏估计 ： 查标准正态分布表为一０．８３６８。其中自助抽样为 ２０００组，将各组子样的均值和标准差、估算结果及与 真值偏差见表１，估算偏差比较如图１所示。 表１和图１中ＮＴＬ表示使用ＧＪＢ１５０Ａ中单边容 ４）由Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ自助样本ＰＳＤ￣，构造Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ估 表１各组正态分布子样数据均值、标准差和上限估算结果 Ｔａｂｌｅ １ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ，ｓｔａｎｄａｒｄ ｄｅｖｉａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｕｐｐｅｒ ｌｉｍｉｔ ・７４・ 装备环鬻敞早｝ ０ ０ ０ Ｏ ０ 样本序哆 图１不同归纳方法上限估算偏差比较 Ｆｉｇ．１ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｕｐｐｅｒ ｌｉｍｉｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｅｌＴｏｒ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ 差上限方法的计算结果，ＧＪＢ／Ｚ １２６表示使用了 标１２６中针对随机振动测量数据容差上限系数计算 的结果，Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法分别使用了５种置信区间估计 方法获得容差上限。从图１中各种估算方法与真值 偏差绝对值可以清晰看出，与容差上限真值一０．８３６８ 相比，百分位法和 一百分位法容差上限估算结果与 真值最相近，其余估算方法与真值相近程度从ｄ，Ｎ 大依次为纠偏百分位法、纠偏加速百分位法、正态近 似法、ＮＴＬ法和ＧＪＢ／Ｚ １２６—９９方法。尤其是从ＮＴＬ 和ＧＪＢ／Ｚ １２６方法估算结果可以看出，二者估算值远 大于母体真值，平均偏差分别高于真值３５％和 ５２％。可见在小样本条件下，常用的参数上限估算 方法确定的Ｐ９９／９０容差上限严重偏离实际情况，已 不适用于随机振动环境数据测量归纳。 从表１中估算值与真值的偏差正负可以看出， 纠偏百分位法、纠偏加速百分位法、正态近似法、 ＮＴＬ法和ＧＪＢ／Ｚ １ ２６方法均大于真值，而百分位法和 ｆ一百分位法容差上限部分估算值低于母体真值。由 于采用百分位法和ｔ一百分位法中低于母体真值的估 算值确定环境条件，可能无法保证经过该条件考核 的产品能够完全耐受极端振动环境应力，因此文中 优先选用自助纠偏百分位法用于小样本下随机振动 环境测量数据归纳。为了能充分利用最接近母体真 值的ｆ一百分位法归纳测量数据，经过多次抽样模拟 计算，发现将Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法估算置信度提高后，ｆ一百 分位法的估算结果不仅逼近母体真值，并且全部分 布于大于母体真值的范同内。 分析图１中数据可以发现，所有容差上限估算 境丁程 ２０１３年１０月 方法无一例外地受到了子样信息优劣程度的影响， 即子样统计特征能否较好地反映总体特征的影响。 如第６组样本和第８组样本，样本方差和均值分别严 重偏离了母体方差和均值，相应各种估算方法获得 的容差上限值均偏离真值，尤其是ＮＴＬ方法和ＧＪＢ／ Ｚ １２６方法对子样信息的优劣程度最为敏感。由此， 受正态分布中小样本抽样的局限性，各个归纳方法 的估算偏差与样本量之问的关系在后续应用实例中 进行研究。 综合以上分析，文中选择自助纠偏百分位法和 卜百分位法用于小样本下随机振动环境测量数据归 纳。 ５应用实例 现获取某飞机舱段某飞行状态区问内９０条谱 样本数据，依次从中任选５条、ｌ０条、２０条、５０条和 ９０条样本分别使用ＮＴＬ、ＧＪＢ／Ｚ １２６法、自助纠偏百 分位法和Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ—ｔ百分位法估算实测谱上限，其 中假设使用９０条谱样本估算的容差上限为实际真 值。为了对比各种估算方法在实测数据归纳中的应 用效果，计算各实测谱的均方根及与真值偏差见表２ 和如图２所示 琳 样本个数 冈２ ４种归纳方法估算实测谱均方根偏差比较 Ｆｉｇ．２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ＲＭＳ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ４ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈ— ｏｄｓ ｗｉｔｈ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｖａｌｕｅ 在Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法中确定等效分位点值时，为避 免某一特定频段数据样本太少导致制作的直方图精 度较差问题，将所有频段样本规范化后进行混合，最 终确定选用不同数量谱样本时Ｐ９９分位点值。 选取谱样本数据量分别为５和９０时，各方法归 纳实测谱如图３和图４所示。 对比表２和图２中估算结果可以看出，在样本数 第ｌ０卷第５期 张建军等：Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法在小样本随机振动环境测量数据归纳中的应用研究 ‘７５・ 表２不同母样本数时各种方法估算的实测谱均方根 Ｔａｂｌｅ ２ Ｍｅａｓｕｒｅｄ ｓｐｅｅｔｍｍ ＲＭＳ ｗｉｔｈ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｂｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓａｍｐｌｅ ｎｕｍｂｅｒ 实测 …＝０．３８９ ０４样本个数＝５ ｌ 二、 １ 实测谱ｇ…＝０．３４５ ６３样本个数：５ 一 ． ）／ 悔密 捌器 一 池 誊 景 ｌ ｌ００ ｌ０ 频率／Ｈｚ ｂ ＧＪＢ １２６法估箅结果 实测谱ｇ～＝Ｏ．２６４ ７７样本个数＝５ ？ ｌ Ｉ ● － 一 ～ ＼ 、 枢 翘 测瓤 能 是 星 频率／Ｈｚ 频率／Ｈｚ 白助纠偏玎分化法估算结果 ｄ匀助ｔ—ｗＮ－分位法估算结果 图３谱样本数为５各种方法谱密度容差上限估算 Ｆｉｇ．３ Ｕｐｐｅｒ ｌｉｍｉｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｄｅｎｓｉｔｙ ｔｏｌｅｒａｎｃｅ ｂｙ ５ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｈｅｎ ｓａｍｐｌｅ ｎｕｍｂｅｒ ｉｓ ５ 为５时，ＮＴＬ法、ＧＪＢ／Ｚ １２６—９９法计算谱密度上限远 随着样本数从５增加到９０时，各种估算方法均 高于实际值，尤其是ＮＴＬ法估算得到的实测谱均方 不断逼近真值。当样本数取ｌＯ时，自助法基本靠近 根基本比实际值高约４０％。自助法估算结果与实际 真值，均方根值比真值仅高３％，而ＮＴＬ法和ＧＪＢ／Ｚ 值相近，所估算均方根值仅比实测值低约５％。同 １２６法分别比真值高２３％，１５％；当样本个数增加到 时，在该样本量下，还可在自助法中通过提高置信度 ５０时，ＧＪＢ／Ｚ １２６和自助法估算结果之间基本无差 获取更为准确的估计结果，例如使用Ｐ９９／９３原则。 别；当样本量达到９０时，４种方法估算结果之间已无 ・７６・ 装备环境工程 二、 ｌＮ ＝、 ｝Ｎ ● ● 一 ＼ 一 ＼ 链 船 量 暑 频率／Ｈｚ 频率／Ｈｚ ｂ ＧＪＢ １２６法估算结果 ａ ＮＴＬ法估算结果 ＝、 Ｉ二、 ＩＮ Ｎ 墨 ● ● 一 一 、 、 魁 枢 艇 魁 口 枢 楔 Ｒ 昌 频率／Ｈｚ ｔ 频率／Ｈｚ ｄ自助ｔ一百分位法估算结粜 白助纠偏 分位法估算结果 图４谱样本数为９０各种方法谱密度容差上限估算 Ｆｉｇ．４ Ｕｐｐｅｒ ｌｉｍｉｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｄｅｎｓｉｔｙ ｔｏｌｅｒａｎｃｅ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｈｅｎ ｓａｍｐｌｅ ｎｕｍｂｅｒ ｉｓ ９０ 差别。说明随着实测样本量的增加，Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法 采用了二次抽样技术，增加了样本容量，与传统的参 的优势降低，４种方法估算结果差异逐渐变小，同时 数容差上限法相比，提高了小样本情况下的估计精 由于Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法相对ＮＴＬ法和ＧＪＢ／Ｚ １２６—９９法 度，可为平台振动环境条件的确定提供一个新的选 计算量偏大，此时不建议使用。在样本数较小时（如 择。在各种自助方法中，Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ纠偏百分位法和 ｓｔｒａｐ—ｔ百分位法相对更靠近真值，误差更小，一 １０），将ＮＴＬ法和ＧＪＢ／Ｚ １２６法用于随机振动环境数 Ｂｏｏｔ据归纳，最终确定的振动环境条件将比实际情况偏 定程度上克服了实测样本量小的缺点，具有较强的 严酷，从而会造成对产品的过设计或过试验甚至造 推广应用空间。 成破坏性，而Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法估算值更接近工程实际， 因此可作为一种小样本下随机振动环境测量数据归 参考文献： 【１］ＥＦＲＯＮ Ｂ．Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ Ｍｅｔｈ０ｄｓ：Ａｎｏｔｈｅｒ Ｌｏｏｋ ａｔ ｔｈｅ Ｊａｃｋｎｉ￣ 纳的参考方法。 ｆＪ】．ＴｈｅＡｎｎａｌｓ ｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，１９７９，７（１）：１—２６． ６结论 讨论了小样本下振动实测数据容差上限估计的 非参数Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法，通过仿真和实例应用分析，可 得到以下结论。 Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法无需假设参数的先验分布特性， ［２】ＥＦＲＯＮ Ｂ，ＴＩＢＳＨＩＲＡＮＩ Ｒ．Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｂｏｏｔｓｔｒａｐ 【Ｍ】．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｃｈａｐｍａｎ＆Ｈａｌｌ Ｌｔｄ，１９９３． 【３】李洪双，吕震宙．小子样场合下估算母体百分位值置信 下限和可靠度置信下限的Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法［Ｊ】．航空学报， ２００６，２７（５）：７８９—７９４． ｆ４１万越，吕震宙，范字．小子样疲劳寿命分散系数置信区间 （下转第８０页） ・８Ｏ・ 装备环境工程 ２０１３年１０月 特别指出的是ＡＢ中２种缓蚀剂浓度之和必须与Ａ， 避免二者混合使用，至于二者抑制机理还有待进一 Ｂ单独作用时的浓度相等。当Ｓ＞Ｉ时，有缓蚀协同作 步研究。 用；当Ｓ＜１时，有拮抗作用；当Ｓ＝Ｉ，无任何相互作 用。总质量浓度为５００ ｍｇ／Ｌ时，不同浓度比的缓蚀 参考文献： 剂复配后对应的效应系数结果见表４。 表４复配后效应系数 Ｔａｂｌｅ ４ Ｅｆｆｅｃｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｆｔｅｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ［１】ＭＵ Ｇｕａｎ－ｎａｎ，ＬＩ Ｘｉａｎｇ－ｈｏｎｇ，ＱＵ Ｑｉｎｇ，ｅｔ ａ１．Ｓｙｎｅｒｇｉｓｔｉｃ Ｅｆｅｃｔ ｏｎ Ｃｏｒｒｏｓｉｏｎ Ｉｎｈｉｂｉｔｉｏｎ ｂｙ Ｃｅｒｉｕｍ（ＩＶ）Ｉｏｎ ａｎｄ Ｓｏｄｉｕｍ Ｍｏｌｙｂｄａｔｅ ｆｏｒ Ｃｏｌｄ Ｒｏｎｅｄ Ｓｔｅｅｌ ｉｎ Ｈｙｄｒｏｃｈｌｏｒｉｃ Ａｃｉｄ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｃｈｉｍｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２００４，６２（２４）： ２３８６－－２３９０． Ｐ（葡萄糖酸钠）／（ｍｇ・Ｌ ）Ｐ（Ｎａ ＭｏＯ ）／（ｍｇ・Ｌ ）ｒｔ／％ Ｓ ［２］杨敏．钢在干湿交替下的大气腐蚀［Ｊ］．装备环境工程， ２０１０，４（４）：６—９． ［３］吴荫顺．电化学保护和缓蚀剂应用技术［Ｍ】．北京：化学工 业出版社，２００６． ［４］李乃胜．葡萄糖酸钠与苯甲酸钠体系对铸铁片缓蚀协同 研究『Ｊ】．腐蚀科学与防护技术，２０１２，２４（４）：３１４—３１８． ［５】李言涛．羧甲基壳聚糖与其他缓蚀剂的协同缓蚀作用【Ｊ】 装备环境工程，２０１０，７（１）：１—５． 【６］ ＭＵ Ｏｕａｎ－ｎａｎ，ＬＩ Ｌｉｎ．Ｔｈｅ Ｃｏｒｒｏｓｉｏｎ Ｉｎｈｉｂｉｔｉｏｎ Ｓｙｎｅｒｇｉｓｍ 由表４反映出的数据可以看出， 均小于１，说明 ｏｆ Ｒａｒｅ Ｅａｒｔｈ Ｃｅｒｉｕｍ（１Ｖ）ｉｏｎ ａｎｄ Ａｎｉｏｎ—ｓｕｒｆａｃｔａｎｔ 葡萄糖酸钠与钼酸钠之间存在拮抗效应，该２种缓 蚀剂不适宜进行复配。因为复配后不仅缓蚀效率没 Ｆｏｒｍｉｌｄ Ｓｔｅｅｌ［Ｊ］．Ｃｏｒｒｏｓｉｏｎ ａｎｄ Ｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎ．２０００。２ １（８）： ３５１—３５２． 有提高，反而对缓蚀剂作用的发挥产生抑制。 【７】陈旭俊．孔蚀缓蚀剂及其理论研究评述一铁基合金孔蚀 缓蚀剂与缓蚀作用理论『Ｊ１．材料保护。１９９１，２４（６）：６． 【８】于丽花．环境友好型钼酸盐三元缓蚀剂的复配研究【Ｊ】． 水处理技术，２０１０，３６（１０）：５３—５５． 【９ 房娟娟．钼酸盐缓蚀剂研究进展及发展趋势【９】Ｊ】．山东化 工，２００８，３７（１１）：１７—１９． ３结论 １）葡萄糖酸钠是一种阴极型缓蚀剂，其质量浓度 为０～５００ ｍｇ／Ｌ时，在３％ＮａＣ１溶液中对１０ＣｒＳｉＮｉＣｕ 【１ ｏ］李玉明，刘静敏．钼酸盐与磷酸盐、硅酸盐复配缓蚀剂的 低合金钢的缓蚀效率随浓度的增大而增大。 研究『Ｊ１．腐蚀与防护，２００４，２５（６）：２４８—２５１． ２）钼酸钠是一种阳极型缓蚀剂，其质量浓度为 『ｌ１１刘福国，杜敏．复合缓蚀剂在３ｌ％ＮａＣ１溶液中的缓蚀性 ０ １０００ ｍｇ／Ｌ时，在３％ＮａＣ１溶液中对ｌＯＣｒＳｉＮｉＣｕ低 能『Ｊ１．腐蚀与防护，２００７，２８（１０）：５２３—５２４． ｌ２１成雷．ｃｅ盐与葡萄糖酸钠在３．５％ＮａＣ１溶液中对碳钢的 合金钢的缓蚀效率随浓度的增大先增大后减小。当 【浓度为５００ ｍｇ／Ｌ时，缓蚀效率为９４．７３％。 ３）葡萄糖酸钠与钼酸钠复配后有拮抗作用，不 利于二者缓蚀作用的发挥，因此在使用缓蚀剂时，应 缓蚀作用『Ｊ］＿南京工业大学学报，２０１０，３２（６）：１６一ｌ９． 【ｌ３］罗立新，江勇，郭云霞．宝浪油田腐蚀因素及防护技术研 究与应用ｆＪ１．河南石油，２００３，１７（３）：４０—４３． （上接第７６页） 法研究【Ｄ】．南京：南京理工大学，２００６． ７】谢桂华，张家生，刘荣桂．沉降计算系数的Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法置 随应力的变化规律研究『Ｊ１．航空计算技术，２００９，３９（１）： 【信区间估计［Ｊ１．中南大学学报，２０１ １，４２（９）：２８４３－－２８４７． ８一ｌ４． ８】ＷＩＬＬＩＡＭ Ｏ Ｈ，ＴＨＯＭＡＳ Ｌ Ｐ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ 【５】胡正东，夏请，张士峰，等．导弹精度评估的非参数 ［Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ Ｄｅｒｉｖｉｎｇ Ｖｉｂｒｏａｃｏｕｓｔｉｃ Ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法『Ｊ１．飞行器测控学报，２００７，２６（５）：７３—７７． 【６】董满才．多管火箭落点分布和射程与密集度试验评估方 Ⅲ．ＮＡＳＡ／ＴＭ，２００６．
