西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷 专业： 数学与应用数学 2013年6月 课程名称【编号】： 近世代数 【0194】 T卷 开卷 考试时间：80分钟 满分：70分 答案必须做在答题卷上，做在试题卷上不予记分。 1．（每小题1分，共10分）指出下列判断正确还是错误 （1） 整数的减法满足结合律。 （2） 一个恰含5个元素的群一定是循环群。 （3） 一个群中阶大于2的元素的个数是奇数。 （4） 循环群一定是交换群。 （5） 所有的环都存在一个单位元。 （6） 整数环是整环。 （7） 每个域都包含有理数域。 （8） 两个理想的交集还是一个理想。 （9） 整数环含有零因子。 （10） 整数环是一个欧氏环。 4.（10分）证明一个指数为2的群一定是一个不变子群。 5.（10分）求出整数模15剩余类加群的所有子群。 6.（10分）设环R=Z（i）= {a+bi|a，b是整数}，A=（1+ i）是R的理想，证明 剩余类环R/A是一个域。 7.（10分） 设F是一个含4个元素的域，证明： （1）F的特征是2。 （2）对F的元a， 若a0，1，那么a是方程x2=x+1的根。 答卷提交要求：考试题提前公布，学生下载考试题后按要求完成，在考务管理系统安排的考试当日提交完成的答卷到所在学习中心。（注意：答卷上注明学生所在学习中心，学生姓名及学号。） 2．（每小题2分，共10分）指出下列命题是否正确，并简述理由 （1） （2） （3） （4） （5） 全体正整数组成一个乘法群。 整数环与偶数环同构。 域上的多项式环是唯一分解环。 整系数多项式环Z[x]的理想（2，x）是一个主理想。 循环群的子群也是循环群。 3．（每小题2.5分，共10分）回答下列问题 （1） （2） （3） （4） 列出2个群的实例，其中一个是有限群，另一个是无限群。 叙述子群的定义。 证明复数域的任何含1的子环都是整环。 有理数域是否包含真子域？ - 1 -
