上海中考专题训练25题专题训练与答案解析

在Rt△ABC中，C90，BC2，Rt△ABC绕着点B按顺时针方向旋转，使点

C落在斜边

AB上的点

D

，设点

A

点E重合，联结AE，过点E作直线EM与射线CB垂直，交点为M． （1）若点M与点B重合如图10，求cotBAE的值；

（2）若点M在边BC上如图11，设边长ACx，BMy，点M与点B不重合，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围； （3）若BAEEBM，求斜边AB的长．

2．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）

如图，已知在梯形ABCD中，AD // BC，AB = DC = 5，AD = 4．M、N分别是边C 图10

B(M) E A D A D E C M 图11

B AD、BC上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME // DN，MF // AN，联结EF．

（1）如图1，如果EF // BC，求EF的长；

3（2）如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的，求AM的长；

8（3）如果BC = 10，试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．

B

3．（本题满分14分）

如图，已知矩形ABCD，AB =12 cm，AD =10 cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F。已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，当点

N

（第25题图）

A E

M

D

A M

D

E

F C

B

N

F C

（图1）

Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动.设运动时间为t（单位:s）.

（1）求证: DE=CF；

（2）设x = 3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；

（3）设△PAQ关于直线PQ对称的图形是△PA'Q，当t和x分别为何值时，点A'与圆心

O恰好重合，求出符合条件的t、x的值.

PDEFC

O

4．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

RAQB第25题图

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，AB=4，AD=3，

sinBCD25，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H． 5（1）求证：∠BCD=∠BDC；

（2）如图1，若以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，求DP的长；

（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△

ECF相似，求DP的长．

、5.

A

P D H

A

P D H

F B （第25题图1）

B C

C

（第25题图2）

E

6、（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

已知：⊙O的半径为3，OC弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，ECOBOC，

射线CE CE与射线OB相交于点F．设ABx, CEy （1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域； （2）当OEF为直角三角形时，求AB的长； （3）如果BF1，求EF的长．

（备用图2）

E O D C

第25题

O F B 备用图1

A O

7．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

A

D (已知：如图七，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A

图七) B C

4＝90°，AD＝6，AB＝8，sinC＝，点P在射线DC上，

5点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP＝x，BQ＝y．

（1）求证：点D在线段BC的垂直平分线上； （2）如图八，当点P在线段DC上，且点Q在线

A Q B D P

C

（图八） A D B C

(备用) 段AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）若以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C 为圆心、CP为半径的⊙C相切，求线段DP的长．

1.解：（1）当点M与点B重合，由旋转得：BCBD2，ACED，

CBAEBD，EDBC90∵EMCB∴EBC90 ∴CBAEBD45…………1分

A ∴CABCBA45∴ACCB2

∴AB22 …………………………………1分 ∴DEDB2

∴AD222 ……………………………1分

D E AD21………………1分 DE（2）设EM与边AB交点为G

由题意可知：1290，3CBA90

∴cotBAE又23，∴1CBA∵EBDCBA， ∴1EBD，∵EDGBDE，∴△EDG∽△BDE

C

B(M)

EDDG…………………………………………1分 BDED∵BCBD2，ACEDx

x2xDG∴，∴DG…………………………1分

22xMBBC由题意可知：cosABC……………1分 BGAB4x22 ABx4，GB2y2∴……………………1分 224xx42H 4x22x4……………………1分 ∴y2x4定义域为0x2…………………………1分

∴

E 1 A D 2 G C

3 B M （3）当点M在边BC上时，由旋转可知：ABEB，∴AEBBAE

设CBAx，则ABEx，∵BAEEBM，分别延长EA、BC交于点H ∴AEBBAEEMB2x，∵ABEBAEAEB180∴x36 易得：HABHABE36 ，HBEBAEAEB72 ∴AHABBE，HBHE，∵ACB90，∴HCBC2

ABAE，又BEAB HBBEAB4AB，∴AB225(负值舍去) AEHEHA4AB，∴

4AB∴AB225…………………………2分

∴HBHE4，∴△BAE∽△HBE，∴

当点M在边CB的延长线上时，∵AEBBAE，BAEEBM

A ∴AEBEBM∴AE∥MC∴BAECBA

E D ∵CBAEBA∴EBMCBAEBA ∴CBA60，∵cosCBA∴AB4…………………………2分 综上所述：AB225或4.

2．解：（1）∵ AD // BC，EF // BC，∴ EF // AD．……………………………（1分）

又∵ ME // DN，∴ 四边形EFDM是平行四边形．

∴ EF = DM．…………………………………………………………（1分） 同理可证，EF = AM．…………………………………………………（1分） ∴ AM = DM．

BC，BC2 AB1AD2．……………………………（1分） 235（2）∵ S四边形MENFSADN，∴ SAMESDMFSADN．

88SS5即得 AMEDMF．……………………………………………（1分）

SADNSADN8∵ AD = 4，∴ EFAM∵ ME // DN，∴ △AME∽△AND．

SAMEAM2∴ ．……………………………………………………（1分） SADNAD2SDMFDM2同理可证，△DMF∽△DNA．即得 ．……………（1分） SADNAD2设 AM = x，则 DMADAM4x．

x2(4x)25∴ ．………………………………………………（1分）

16168即得 x24x30．解得 x11，x23．

∴ AM 的长为1或 3．………………………………………………（1分） （3）△ABN、△AND、△DNC能两两相似． ……………………………（1分）

∵ AD // BC，AB = DC，∴ ∠B =∠C．

由 AD // BC，得 ∠DAN =∠ANB，∠ADN =∠DNC．

∴ 当 △ABN、△AND、△DNC两两相似时，只有 ∠AND =∠B一种情况．……………………………………………………………………（1分） 于是，由 ∠ANC =∠B +∠BAN，∠ANC =∠AND +∠DNC， 得 ∠DNC =∠BAN．∴ △ABN∽△DNC． 又∵ ∠ADN =∠DNC，∴ △AND∽△DNC． ∴ △ABN∽△AND∽△DNC． ∴

ABBNANAD，． ………………………………………（1分） NCCDBNAN设 BN = x，则 NC = 10 –x．∴

5x． 10x5即得 x210x250．解得 x5．……………………………（1分） 经检验：x = 5是原方程的根，且符合题意． ∴ BNCN5． ∴

AN4． 5AN即得 AN25．……………………………………………………（1分） ∴ 当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，AN的长为25．

3．（本题满分14分）

（1）证:作OH⊥DC于点H，设⊙O与BC边切于点G，联结OG. （1分）

∴∠OHC=90° PDEHFC∵⊙O与BC边切于点G ∴OG=6，OG⊥BC

OGR∴∠OGC=90°

∵矩形ABCD ∴∠C=90° ∴四边形OGCH是矩形 ∴CH=OG

∵OG=6 ∴CH=6 （1分） ∵矩形ABCD ∴AB=CD

∵AB=12 ∴CD=12 ∴DH=CD﹣CH=6 ∴DH= CH

∴O是圆心且OH⊥DC ∴EH=FH （2分） ∴DE=CF. （1分）

AQB第25题图(1)

（2）据题意，设DP=t，PA=10-t，AQ=3t，QB=12-3t，BR=1.5t（0 < t < 4）. （1分）

∵矩形ABCD ∴∠A=∠B=90° 若△PAQ与△QBR相似，则有 ①

APAQ10-t3t14 t （2分） QBBR12-3t1.5t5APAQ10-t3t t126914或t2-26914（舍）（2分） BRQB1.5t123t②

（3）设⊙O与AD、AB都相切点M、N，联结OM、ON、OA. ∴OM⊥AD ON⊥AB 且OM=ON=6 又∵矩形ABCD ∴∠A=90°

(P)MDEHFC ∴四边形OMAN是矩形

又∵ OM =ON ∴四边形OMAN是正方形 （1分） ∴MN垂直平分OA

∵△PAQ与△PA'Q关于直线PQ对称 ∴PQ垂直平分OA ∴MN与PQ重合 （1分）

∴ MA = PA = 10-t = 6 ∴ t = 4 （1分） ∴AN = AQ = x t = 6 ∴x = ∴当t = 4 和x =

OGRAN（Q）B第25题图(2)

3 （1分） 23时点A'与圆心O恰好重合. 24

5

6．解：（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H

∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=x，CE=y

∴BD1111ABx，EHECy ………………………………1分 222222236x2∵在Rt△ODB中，ODBDBO，OB=3 ∴OD= ………1分

2∵OC=OE ∴∠ECO=∠CEO ∵∠ECO＝∠BOC

∴∠CEO=∠BOC 又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB

∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD …………………………1分

y ∴236x2 2∴y36x2……………………………………………………………………1分 函数定义域为（0＜x＜6）………………………………………………………1分 （2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况： ①若∠OFE＝90º，则∠COF＝∠OCF＝45º ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=45°

又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°， ∴∠AOB=90° ∴△OAB是等腰直角三角形

∴AB2OB32…………………………………………………2分

②若∠EOF＝90º ， 则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30º……………………1分 ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=60° 又∵OA=OB

∴△OAB是等边三角形

∴AB=OB=3…………………………………………………………………2分

（3）①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，

OC29可得：△CFO∽△COE，CE＝，

CF295∴EF＝CE–CF＝2． ……………………………………………2分

22②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，

OC29可得：△CFO∽△COE，CE＝，

CF497∴EF＝CF–CE＝4． ……………………………………………2分

44

7、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 解：（1）作DH⊥BC于H（见图①） …………（1分）

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，

∴∠B＝90°, ∠BHD=90° ∴四边形ABHD是矩形

∴DH=AB，BH=AD …………（1分）

又∵AD＝6，AB＝8 ∴DH=8，BH=6 在Rt△DHC中, sinC＝

4,可设DH=4k, DC=5k 5∴DC=10, HC=102826，

∴BH=HC=6 …………（1分） 又∵DH⊥BC

∴点D在线段BC的垂直平分线上 …………（1分） （2）延长BA、CD相交于点S（见图②）， …………（1分）

∵AD∥BC且BC＝12 ∴AD=∴

1BC 2

SASDAD1 SBSCBC2

∴SD=DC=10，SA=AB=8 ∵DP＝x，BQ＝y, SP=x+10 由△SPQ～△SAD得∴SQ

SQSD5 ………（1分） SPSA45(x10) …………（1分） 4557BQ16(x10)x

44257∴所求解析式为yx， …………（1分）

4214定义域是0≤x≤ …………（1分）

5(说明：若用勾股定理列出：ADAQDPQBBCPC亦可，方法多样．)

（3）由图形分析，有三种情况：

（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，

222222由BQ+CP=BC，572

x10x12，解得x 423

（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切， …………（2分） （ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，

57x, CP = x-10 …………（1分） 425734若两圆外切，BQ+CP=BC，即xx1012,解得x…………（1分）

423此时BQ若两圆切，BQCPBC，即

57x(x10)12 4257x(x10)12 解得x22 4257x(x10)12 解得x74（不合题意舍去） 42 …………（1分）

综上所述，⊙B与⊙C相切时，线段DP的长为

234，或22 ． 33