高考数学-圆锥曲线点差法

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

本文用这种方法作一些解题的探索。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程

x2y21内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。 例1、过椭圆

1解：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)

 M(2,1)为AB的中点 x1x24 y1y22

又A、B两点在椭圆上，则x14y116，x24y216

两式相减得(x1x2)4(y1y2)0 于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0

22222222y1y2xx4112

x1x24(y1y2)42211即kAB，故所求直线的方程为y1(x2)，即x2y40。

22y221，例2、已知双曲线x经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M2是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)

则x1x22，y1y22

yy2x111，x221

22222两式相减，得

yy212 (x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0 kAB1x1x22故直线AB:y12(x1) y12(x1)2由2y2 消去y，得2x4x30

x12 (4)242380

这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）

若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

y2x211的一条弦的斜率为3，它与直线x的交点恰为这条弦的中点M，求例3、已知椭圆

75252点M的坐标。

1解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则x0

2x1x22x01 ， y1y22y0

yxyx又 111，221

75257525两式相减得25(y1y2)(y1y2)75(x1x2)(x1x2)0

yy23即2y0(y1y2)3(x1x2)0 1

x1x22y02222y1y2313  3，即y0

x1x22y0211点M的坐标为(,)。

22y2x21,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 例4、已知椭圆

7525解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则

x1x22x， y1y22y

 kyxyx又 111，221

75257525两式相减得25(y1y2)(y1y2)75(x1x2)(x1x2)0

yy23x 即y(y1y2)3x(x1x2)0，即1x1x2y k2222y1y23x3 3，即xy0

x1x2yxy053535353,)Q(,) 由y2，得P(x2122227525点M在椭圆内

5353x) 它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为xy0(22三、

求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y3x2截得的弦的中点的横坐标为

1，求椭圆的方程。 2y2x222解：设椭圆的方程为221，则ab50┅┅①

ab设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则

11x0，y03x02 x1x22x01，y1y22y01

22yxyx又12121，22221 abab22两式相减得b(y1y2)(y1y2)a(x1x2)(x1x2)0

即b(y1y2)a(x1x2)0

222222a2y1y2a2 2  23┅┅②

bx1x2b联立①②解得a75，b25

22y2x21 所求椭圆的方程是

7525四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

x2y21，试确定的m取值范围，使得对于直线y4xm，椭圆上总有不同例6、已知椭圆43的两点关于该直线对称。

解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y4xm的对称两点，P(x,y)为弦P1P2的中点，

则3x14y112，3x24y212 两式相减得，3(x1x2)4(y1y2)0 即3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0

22222222x1x22x，y1y22y，

y1y21

x1x24y3x 这就是弦P1P2中点P轨迹方程。

它与直线y4xm的交点必须在椭圆内

y3xxm322联立，得 则必须满足y3x，

4y4xmy3m213213322m即(3m)3m，解得 13134五、注意的问题

（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。