代数式
一、选择题
1．如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2016个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ）
A．2018 B．2019 C．2017 D．2016
2．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（ ）
A．3n B．3n（n+1）
C．6n D．6n（n+1）
3．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x，y表示矩形的长和宽（x＞y），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．x+y=12 B．x﹣y=2 C．xy=35 二、填空题
4．一组按规律排列的式子：个式子是 （n为正整数）．
D．x+y=144
22
．（ab≠0），其中第7个式子是 ，第n
5．搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．
6．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，﹣1的
差倒数是．已知a1=﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，
依此类推，a2009= ．
7．把边长为3的正三角形各边三等分，分割得到图①，图中含有1个边长是1的正六边形； 把边长为4的正三角形各边四等分，分割得到图②，图中含有3个边长是1的正六边形； 把边长为5的正三角形各边五等分，分割得到图③，图中含有6个边长是1的正六边形； …依此规律，把边长为7的正三角形各边七等分，并按同样的方法分割，得到的图形中含有 个边长是1的正六边形．
8．一盒铅笔12支，n盒铅笔共有 支． 9．观察下列等式： 1、3﹣1=4×2； 2、4﹣2=4×3； 3、52﹣32=4×4；
4、（ ）﹣（ ）=（ ）×（ ）； …
则第4个等式为 ，第n个等式为 ．（n是正整数）
10．观察表一，寻找规律．表二，表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b的值为 ． 表一： 0 1 2 3 1 3 5 2 5 3 … 7 … 2
2
2
2
2
2
8 11 … 7 11 15 … … … … … … 表二： 11
2
14 a 表三： 11 13 17 b 11．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 ．
12．已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，观察上面规律，试猜22008的末位数是 ．
13．用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子 枚．（用含n的代数式表示）
14．观察下列图形它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个
★．
15．下列给出的一串数：2，5，10，17，26，□，50．仔细观察后回答：缺少的数是 ． 16．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形．若用有序实数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示分数示的分数是 ．
．那么（9，2）表
3
17．观察右表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有 次．1 2 3 4 … 2 4 6 8 … 3 6 9 12 … 4 8 12 16 … … … … … … 三、解答题
18．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
┅┅ （1）计算= ；
（2）探究= ；（用含有n的式子表示）
（3）若的值为
，求n的值．
4
代数式
参与试题解析
一、选择题
1．如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2016个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ）
A．2018 B．2019 C．2017 D．2016
【考点】平面镶嵌（密铺）． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据图象显示的规律找到，1个三角形，2个三角形，3个三角形组成的周长，得到规律为第n个三角形的周长为3+（n﹣1），所以可求得2016个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长． 【解答】解：由图中可知：1个三角形组成的图形的周长是3； 2个三角形组成的图形的周长是3+1=4； 3个三角形组成的图形的周长是3+2=5； …
那么2016个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是3+2015=2018． 故选A．
【点评】本题需注意要以第一图为基数来找规律．
2．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（ ）
A．3n B．3n（n+1）
C．6n D．6n（n+1）
【考点】平行四边形的性质． 【专题】压轴题；规律型．
5
【分析】从图中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系．从而求出第n个图中平行四边形的个数． 【解答】解：从图中我们发现 （1）中有6个平行四边形，6=1×6， （2）中有18个平行四边形，18=（1+2）×6， （3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）×6， ∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形． 故选B．
【点评】本题为找规律题，从前三个图形各自找出有多少个平行四边形，从中观察出规律，然后写出与n有关的代数式来表示第n个中的平行四边形的数目．
3．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x，y表示矩形的长和宽（x＞y），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．x+y=12 B．x﹣y=2 C．xy=35 D．x2+y2=144
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积的差列方程．
【解答】解：A、根据大正方形的面积求得该正方形的边长是12，则x+y=12，故A选项正确； B、根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2，则x﹣y=2，故B选项正确；
C、根据4个矩形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即4xy=144﹣4=140，xy=35，故C选项正确；
D、（x+y）=x+y+2xy=144，故D选项错误． 故选：D．
【点评】此题关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，运用排除法进行选择．
2
2
2
6
二、填空题
4．一组按规律排列的式子：
．（ab≠0），其中第7个式子是 ﹣
，
第n个式子是 （﹣1）n （n为正整数）．
【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】观察给出的一列数，发现这一列数的分母a的指数分别是1、2、3、4…，与这列数的项数相同，故第7个式子的分母是a，第n个式子的分母是a；这一列数的分子b的指数分别是2、5、8、11，…即第一个数是3×1﹣1=2，第二个数是3×2﹣1=5，第三个数是3×3﹣1=8，第四个数是3×4﹣1=11，…每个数都比项数的3倍少1，故第7个式子的分子是b
3×7﹣1
7
n
=b，第n个式子的分子是
20
b3n﹣1；特别要注意的是这列数字每一项的符号，它们的规律是奇数项为负，偶数项为正，故第7个式子的符号为负，第n个式子的符号为（﹣1）． 【解答】解：第7个式子是﹣
，第n个式子是（﹣1）n
．
n
故答案为：﹣，（﹣1）
n
．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．对于本题而言难点就是变化的部分太多，有三处发生变化：分子、分母、分式的符号．学生很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是难点中的难点．
5．搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 83 根钢管．
【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】压轴题；规律型．
7
【分析】根据题意分析可得：搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，从串第2顶帐篷开始，每多串一顶帐篷需多用11根钢管．
【解答】解：第一顶帐篷用钢管数为17根； 串二顶帐篷用钢管数为17+11×1=28根； 串三顶帐篷用钢管数为17+11×2=39根；
以此类推，串七顶帐篷用钢管数为17+11×6=83根． 故答案为：83．
【点评】本题考查图形中的计数规律，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
6．定义：a是不为1的有理数，我们把差倒数是依此类推，a2009=
称为a的差倒数．如：2的差倒数是
，﹣1的
．已知a1=﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…， ．
【考点】规律型：数字的变化类；倒数． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．
【解答】解：根据差倒数定义可得：
=
=
，
=4，
．
显然每三个循环一次，又2009÷3=669余2，故a2009和a2的值相等．
【点评】此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．
7．把边长为3的正三角形各边三等分，分割得到图①，图中含有1个边长是1的正六边形； 把边长为4的正三角形各边四等分，分割得到图②，图中含有3个边长是1的正六边形； 把边长为5的正三角形各边五等分，分割得到图③，图中含有6个边长是1的正六边形； …依此规律，把边长为7的正三角形各边七等分，并按同样的方法分割，得到的图形中含有 15 个
8
边长是1的正六边形．
【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】分割含有边长是1的正六边形，其实你可以看个底部，要数六边形，可以看出三角形的三个顶点小三角形是不包含在内的，一开始你可以忽略它们，而底部每个小三角形都由一个正六边形所独有的底三角形，当大的正三角形边长为N时，所以底部有六边形有N﹣2个，上一层的两个顶点小三角形又可以忽略，而第二层有小三角形N﹣1个，所以第二层有六边形有N﹣1﹣2个，即N﹣3个，如此类推，再上几层就是N﹣4，N﹣5，N﹣6个，一直到从上数下第三层，再上一层的三角形已经不能再当六边形的底了，所以到此为止，所以共有的六边形是N﹣2+N﹣3+N﹣4+…+2+1=[（1+N﹣2）（N﹣2）]÷2=【解答】解：故当N=7时，
．
=15个．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
8．一盒铅笔12支，n盒铅笔共有 12n 支． 【考点】列代数式． 【专题】应用题．
【分析】本题考查列代数式，要注意文字中的数学关系，一盒12支，n盒则共有12n支． 【解答】解：12•n=12n．
【点评】本题考查列代数式，要明确一盒12支与n盒的关系．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
9．观察下列等式： 1、32﹣12=4×2；
9
2、42﹣22=4×3； 3、5﹣3=4×4；
4、（ ）﹣（ ）=（ ）×（ ）； …
则第4个等式为 62﹣42=4×5 ，第n个等式为 （n+2）2﹣n2=4×（n+1） ．（n是正整数） 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】观察几个式子可得①3﹣1=4×2可化为：（1+2）﹣1=4×（1+1）；②4﹣2=4×3可化为（2+2）﹣2=4×（2+1）；故第4个等式为6﹣4=4×5；第n个等式为（n+2）﹣n=4×（n+1）． 【解答】解：6﹣4=4×5， （n+2）﹣n=4×（n+1）．
【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
10．观察表一，寻找规律．表二，表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b的值为 37 ． 表一： 0 1 2 3 1 3 5 2 5 3 … 7 … 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8 11 … 7 11 15 … … … … … … 表二： 11 14 a 表三： 11 13 17 b 【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】压轴题；图表型．
10
【分析】每一竖行相隔的数是相同的，每相邻两个横行之间相隔的数也相隔1． 【解答】解：表二从竖行看，下边的数应比上面的数大3， ∴a=14+3=17．
表三从竖行看，下边的数比上边的数大6，那么后面那行下边的数就该比上边的数大7． ∴b=13+7=20 ∴a+b的值为37．
【点评】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
11．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 （6，5） ．
【考点】坐标确定位置． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】寻找规律，然后解答．每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．
【解答】解：观察图表可知：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小． 实数15=1+2+3+4+5，
则17在第6排，第5个位置，即其坐标为（6，5）． 故答案为：（6，5）．
【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
12．已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，观察上面规律，试猜22008的末位数是 6 ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6顺次循环．那么2008÷4=502，则22008的末位数是应是循环的最后一个6．
11
【解答】解：∵以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6顺次循环，且2008÷4=502， ∴2
2008
的末位数是应是循环的最后一个6．
【点评】解决本题的关键是得到以2为底的幂的末位数字的循环规律．
13．用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子 3n+1 枚．（用含n的代数式表示）
【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】规律型．
【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
【解答】解：第一个图需棋子4； 第二个图需棋子4+3=7； 第三个图需棋子4+3+3=10； …
第n个图需棋子4+3（n﹣1）=3n+1枚． 故答案为：3n+1．
【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
14．观察下列图形它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 60 个
★．
【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有1×3=3个★， 第二个图形中有2×3=6个★，
12
第三个图形中有3×3=9个★， …
第20个图形共有20×3=60个★． 【解答】解：根据规律可知 第n个图形有3n个★，
所以第20个图形共有20×3=60个★．
【点评】解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．本题的关键规律为第n个图形有3n个★．
15．下列给出的一串数：2，5，10，17，26，□，50．仔细观察后回答：缺少的数是 37 ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】规律型．
【分析】第一个数是1+1=2； 第二个数是22+1=2；
缺少的是第6个数应为6+1=37．
【解答】解：缺少的是第6个数应为6+1=37．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到数列中的数和相应的数的平方之间的关系．
16．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形．若用有序实数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示分数示的分数是
．
．那么（9，2）表
2
22
13
【考点】坐标确定位置． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】观察图表寻找规律：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是1；每行第一个分数的分母为行号，如第n行为，第二个的分母为
；每行首尾对称．据此规律解答．
【解答】解：观察图表可知以下规律：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是1；每行第一个分数的分母为行号，如第n行为，第二个的分母为故（9，2）表示第9行，从左到右第2个数，即
=
；每行首尾对称．
．
．故答案填：
【点评】考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
17．观察右表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有 8 次． 1 2 3 4 … 2 4 6 8 … 3 6 9 12 … 4 8 12 16 … … … … … … 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】分析可得：第一行分别为1的1，2，3，…的倍数；第二行分别为2的1，2，3，…的倍数；第三行分别为3的1，2，3，…的倍数；…；2008=1×2×2×2×251；故2008在表格中出现的次数共有8次．
【解答】解：2008=1×2×2×2×251，故2008在表格中出现的次数共有8次．
14
【点评】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧． 三、解答题
18．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
┅┅ （1）计算（2）探究（3）若
【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】通过观察数据找到规律，并以规律解题即可． 【解答】解：（1）原式=1﹣
（2）原式=1﹣ （3）==由
=
=
+…+
﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=
；
﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=；
= =
；
；（用含有n的式子表示） 的值为
，求n的值．
，解得n=17，
经检验n=17是方程的根， ∴n=17．
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应
15
找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点．
16
