1990考研数二真题及解析

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

3xcost(1) 曲线上对应于点点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿. t36ysint1x(2) 设yetansin1,则y＿＿＿＿＿＿. x(3)

10x1xdx＿＿＿＿＿＿.

(4) 下列两个积分的大小关系是：(5) 设函数f(x)12ex3dx＿＿＿＿＿＿ exdx.

2131, |x|1,则函数f[f(x)]＿＿＿＿＿＿.

0, |x|1

二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

x2(1) 已知limaxb0,其中a,b是常数,则 ( )

xx1(A) a1,b1 (B) a1,b1 (C) a1,b1 (D) a1,b1

(2) 设函数f(x)在(,)上连续,则df(x)dx等于 ( )

(A) f(x) (B) f(x)dx (C) f(x)C (D) f(x)dx

(3) 已知函数f(x)具有任意阶导数,且f(x)[f(x)],则当n为大于2的正整数时,f(x)

的n阶导数f(n)2(x)是 ( )

(B) n[f(x)]n1(A) n![f(x)]2nn1

(C) [f(x)] (D) n![f(x)] (4) 设f(x)是连续函数,且F(x)2nexxf(t)dt,则F(x)等于 ( )

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(A) e(C) exf(ex)f(x) (B) exf(ex)f(x)

xf(ex)f(x) (D) exf(ex)f(x)

f(x), x0(5) 设F(x)x,其中f(x)在x0处可导,f(0)0,f(0)0,则x0

f(0), x0是F(x)的 ( ) (A) 连续点 (B) 第一类间断点

(C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能由此确定

三、(每小题5分,满分25分.) (1) 已知lim(xxax)9,求常数a. xa(2) 求由方程2yx(xy)ln(xy)所确定的函数yy(x)的微分dy. (3) 求曲线y(4) 计算

1(x0)的拐点. 1x2lnx(1x)2dx.

(5) 求微分方程xlnxdy(ylnx)dx0满足条件yxe1的特解. 四、(本题满分9分)

x2y2在椭圆221的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所

ab围图形面积为最小(其中a0,b0). 五、(本题满分9分)

证明：当x0,有不等式arctanx六、(本题满分9分)

设f(x)1. x2x1lnt1dt,其中x0,求f(x)f(). 1tx

七、(本题满分9分)

过点P(1,0)作抛物线yx2的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形,

求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积.

八、(本题满分9分)

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求微分方程y4y4ye之通解,其中a为实数.

ax1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】y133(x3) 88【解析】将t6代入参数方程得x,y在t6处的函数值:xt6313,yt; 886得切点为(313,). 88过已知点(x0,y0)的法线方程为yy0k(xx0),当函数在点(x0,y0)处的导数

yxx0时,k01.所以需求曲线在点t处的导数. y(x0)6由复合函数求导法则,可得

dydydtdydxdtdxdt3sin2tcostdxtant, dt3cos2tsint精选

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yxt61； 3法线斜率为k133.所以过已知点的法线方程为y3(x3).

88【相关知识点】复合函数求导法则：

如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为

dydydyduf(u)g(x)或. dxdxdudx1tantan1111112(2)【答案】exsec2sinexcos2

xxxxx【解析】原函数对x求导,有

tan11tan11tan11xxxyesinesinesin

xxxetan1x11tan111xtansinecos

xxxx1tantan1111112exsec2sinexcos2. xxxxx【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式：

f(x)g(x)2.复合函数的求导法则:

f(x)g(x)f(x)g(x).

如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x) 在点x可导,且其导数为

dydydyduf(u)g(x)或. dxdxdudx(3)【答案】

4 15【解析】 对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去 掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果.

方法1：换元法,令1xt,原积分区间为0x1,则01x1,进而01x1,新积分区间为0t1；当x0时,t1,当x1时,t0,故新积分上限为0,下限为1.

d1xdtdt11dxdx,则dx2tdt.

2t21x精选

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2原式 (1t)t(2tdt)

10112t2t4dt2t3t5

0503111142.

3515方法2：拆项法,xx11,

原式 x11011xdx

1321xdx1xdx

0035222241x21x2.

35153500111(4)【答案】 【解析】由于ex3,e在[2,1]连续且ex3x3ex,根据比较定理得到

312exdx312exdx.

3【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下：

若f(x)与g(x)在区间[a,b](a,b为常数,ab)上连续且可积,且f(x)g(x),则有

baf(x)dxg(x)dx.

ab(5)【答案】1

【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域,不能遗漏,求出复合后函数的所有可能的解析式.

根据f(x)的定义知,当|x|1时,有f(x)1.代入f[f(x)],又f(1)1.于是当|x|1时,复合函数f[f(x)]1；

当|x|1时,有f(x)0.代入f[f(x)],又f(0)1,即当|x|1时,也有f[f(x)]1. 因此,对任意的x(,),有f[f(x)]1.

二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】C

【解析】本题考查多项式之比当x时的极限. 由题设条件,有

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x2(1a)x2(ab)xblimaxblim0, xx1xx1(1a)x2(ab)xb1a0,分析应有 否则lim0. xab0,x1所以解以上方程组,可得a1,b1.所以此题应选C. (2)【答案】B

【解析】由函数的不定积分公式:

若F(x)是f(x)的一个原函数,

f(x)dxF(x)C,dF(x)f(x)dx,有

d[f(x)dx][f(x)dx]dxf(x)dx.

所以本题应该选(B). (3)【答案】A

【解析】本题考查高阶导数的求法.

为方便记yf(x).由yy,逐次求导得

2y2yy2y3,y3!y2y3!y4,L,

由第一归纳法,可归纳证明y假设nk成立,即y(k)(n)n!yn1.

k!yk1,则

(k)k1ky(k1)yk!yk1!yy k1!y所以nk1亦成立,原假设成立.

(4)【答案】A 【解析】对F(x)k11,

exxf(t)dt两边求导数得

F(x)f(ex)(ex)f(x)(x)exf(ex)f(x).

故本题选A.

【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：

若F(t)(t)(t)f(x)dx,(t),(t)均一阶可导,则

F(t)(t)f(t)(t)f(t).

2.复合函数求导法则：

如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)

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在点x可导,且其导数为(5)【答案】B

【解析】由于 limF(x)limx0x0dydydyduf(u)g(x)或. dxdxdudxf(x)f(x)f(0), limx0xx0由函数在一点处导数的定义, f(x0)limx0f(x0x)f(x0)ylim,

x0xx0x得limF(x)f(0)0f(0)F(0),

所以函数不连续,且极限存在但不等于函数值,故为第一类(可去)间断点,故本题选B. 【相关知识点】1. 函数yf(x)在点x0连续：设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果limf(x)f(x0),则称函数f(x)在点x0连续.

xx02.函数f(x)的间断点或者不连续点的定义：设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点.

(1) 在xx0没有定义；

(2) 虽在xx0有定义,但limf(x)不存在；

xx0(3) 虽在xx0有定义,且limf(x)存在,但limf(x)f(x0);

xx0xx0通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限f(x0)及右极限f(x0)都存在,那么x0称为函数f(x)的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点,

称为第二类间断点.

三、(每小题5分,满分25分.)

(1)【解析】此题考查重要极限：lim(1)e.

x1xxaaaax(1)(1)eaxaxxxae2a9, limlim()limxxxxaxaaae(1)x(1)axx得2aln9aln3. 或由 lim(xxax2a2axaxxax2a)lim1xxaxae2a,

同理可得aln3.

(2)【解析】方程两边求微分,得

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2dydxln(xy)d(xy)(xy)dln(xy)

(dxdy)ln(xy)(xy)2ln(xy)dx.

3ln(xy)dxdy, xy整理得 dyuuvuv(3)【解析】对分式求导数,有公式,所以 2vv2x2(3x21)y,y, 22(1x)(1x2)3令y0得x111,y在此变号,即是x时,y0;x时,y0; 333故拐点为(13,). 34【相关知识点】1.拐点的定义：设函数f(x)在点x0的某一邻域连续,函数f(x)的图形在点

x0处的左右侧凹凸性相反,则称(x0,f(x0))为曲线f(x)的拐点.

2.拐点判别定理：

(1)设函数f(x)在(x0,x0)连续,在去心邻域(x0,x0)\\x0,就是区间

(x0,x0)内不包括点x0二阶可导,且f(x)(xx0)在0xx0上不变号,则 (x0,f(x0))为拐点.

(2)设函数f(x)在(x0,x0)二阶可导,f(x0)0,又f(x0)0,则(x0,f(x0)) 为拐点.

本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了. (4)【解析】由

dxd(1x)1d有

(1x)2(1x)2(1x)lnx1lnx11dxlnxd()分部法()dx (1x)21x1xx1xxlnxln|1x|C, C为任意常数. 1x

注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计

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算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.

【相关知识点】分部积分公式：假定uu(x)与vv(x)均具有连续的导函数,则

uvdxuvuvdx,或者udvuvvdu.

(5)【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为

ydx11y. xlnxxlnx由于 exlnx|lnx|,两边乘以lnx得(ylnx).

xlnxxdxC, lnxC通解为 y. 2lnx1lnx1代入初始条件yxe1可得C,所求特解为y. 222lnx积分得 ylnx

四、(本题满分9分)

dyb2xxdxydy2. 【解析】对椭圆方程进行微分,有220dxayab过曲线上已知点(x0,y0)的切线方程为yy0k(xx0),当y(x0)存在时,ky(x0).

b2xxXyY所以点(x,y)处的切线方程为Yy2(Xx),化简得到221.

ayaba2b2,； 分别令X0与Y0,得切线在x,y上的截距分别为

xy又由椭圆的面积计算公式ab,其中a,b为半长轴和半短轴,故所求面积为

1a2b21Sab,x(0,a).

2xy4a,b为常数,欲使得S的最小,则应使得xy最大；从而问题化为求uxy(y由椭圆方程所

确定)当x(0,a)时的最大值点.

x2y2yxy令uxy,uxyy0,得y,再对221两边求导得22y0,联

abxab精选

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合可得xa(唯一驻点),即在此点uxy取得最大,S取得最小值. 2a必为最小2由于limS(x)limS(x),所以S(x)在(0,a)上存在最小值,xx0xa0点,所求P点为ab,. 22

五、(本题满分9分)

【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为f(x),另一边剩下0,再在给定区间内讨论f(x)的单调性即可证明原不等式.

令f(x)arctanx111,则f(x)0 (x0).因此,f(x)在 22x21xx(0,)上单调减；又有limarctanxx2,所以

11limf(x)lim()lim0, xx2xxx2故0x时,f(x)limf(x)0,所以原不等式得证.

x

六、(本题满分9分)

11lnt111dt,由换元积分t,dt2du,t:1u:1x；【解析】方法1：f()x 11txuuxt1u所以 f()1xx1x1lntdt1tx1lnudu.

u(u1)由区间相同的积分式的可加性,有

f(x)f()=

1x1xxlntlntlnt1dtdtdtln2x.

1t(t1)11tt2方法2：令F(x)f(x)f(),则

1x1lnx1lnxF(x)x2.

11x1xxxln由牛顿-莱布尼兹公式,有

F(x)F(1)x1lnx1dxln2x, x2

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而F(1)11lnx11dx0,故F(x)f(x)f()ln2x. xx2【相关知识点】牛顿-莱布尼兹公式：设函数f(x)在[a,b]上连续,F(x)为f(x)在[a,b]上的任意一个原函数,则有

baf(x)dxF(x)aF(b)F(a).

b

七、(本题满分9分)

【解析】先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得 y 1 y1,过曲线上已知点(x0,y0)的切线方程

2x2为yy0k(xx0),当y'(x0)存在时,ky'(x0). 所以点(x0,x02)处的切线方程为

y O 1 2 3 x

yx021(xx0),

2x02此切线过点P(1,0),所以把点P(1,0)代入切线方程得x03,再x03代入抛物线方程得

y01,y(3)111.由此,与抛物线相切于(3,1)斜率为的切线方程为

22322x2y1.

旋转体是由曲线yf(x),直线x2y1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的,求旋转体体积V：

方法1：曲线表成y是x的函数,V是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得

V31312(x1)dx(x2)2dx

243111(x1)3(x22x).

1432623方法2：曲线表成x是y的函数,并作水平分割,相应于y,ydy小横条的体积微元,如上图所示,

2dV2y(y2)(2y1)dy,

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于是,旋转体体积 V2142312132(y2yy)dy2yyy06. 03241【相关知识点】1.由连续曲线yf(x)、直线xa,xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：Vbaf2(x)dx.

2.设f(x)在[a,b]连续,非负,a0,则曲线yf(x),直线xa,xb及x轴围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为：V2

八、(本题满分9分)

【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程r4r40的根为

2baxf(x)dx(可用微元法导出).

r1r22,原方程右端eaxex中的a.

当a2时,可设非齐次方程的特解YAe,代入方程可得A2axax1, 2(a2)当a2时,可设非齐次方程的特解YxAe,代入方程可得A所以通解为 y(c1c2x)e2x1, 2eax (a2), (a2)2y(c1c2x)e2xx2e2x (a2).

2*【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y(x)是二阶线性非齐次方程

yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 yP(x)yQ(x)y0的通解,则yY(x)y*(x)是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解

Y(x),可用特征方程法求解：即yP(x)yQ(x)y0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程

变为ypyqy0.其特征方程写为rprq0,在复数域内解出两个特征根r1,r2； 分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为yC1erx12C2er2x;

rx(2) 两个相等的实数根r1r2,则通解为yC1C2xe1;

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(3) 一对共轭复根r1,2i,则通解为yexC1cosxC2sinx.其中C1,C2为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解y(x),可用待定系数法,有结论如下：

x*kx如果f(x)Pm(x)e,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)xQm(x)e

*的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

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