如何用判别式法求函数值域

如何用判别式法求函数值域

十堰市柳林中学 顾安国

用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。

一、判别式法求值域的理论依据

x2xy2xx1的值域 例1、 求函数

象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

x2xy2xx1得： 解：由

（y-1）x2+(1-y)x+y=0 ①

上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

(1y)24y(y1)1令0，解得y1,又y13x2x1y2的值域为，1xx13

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为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？

我们可以设计以下问题让学生回答：

1、 当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）

22当x=2时，y=? (3) 当y=3时，x=?（2）

以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？

2（因为将y=0和y=3代入方程①，方程的△≥0）

2、 当y=-1时，x=?

当y=2时，x=?

以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？

（因为将y的值代入方程①式中△<0,所以无解）

3、 当y在什么范围内，可以求出对应的x值？

x2xy2xx1的值域怎样求？ 4、 函数

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若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。

二、判别式法求值域的适用范围

前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？

3x22x1yx21的值域 例2、 求

从表面上看，此题可以用判别式法求值域。

由原函数得：（y-3）x2+2x+(1-y)=0

△ =4-4（y-3）(1-y)≥0

即（y-2）2≥0 ∴y∈R

但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。问题出在哪里呢？

我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x-1）,因此原函数可以化简为

y3x1(x1)x1，用反函数法可求得y3，又x≠1代入可得y≠2，故可求得原函数

的值域为

yyR,y2,且y3。

因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注意的是约

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分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x≠1，故y≠2。

x5(x3,5)23x2x1的值域

例3、 求函数

y此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？

x53x22x1得：3yx2+(2y-1)x+y+5=0

由

y1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y可以取到0

2）当3y≠0时，令△=(2y-1)2－4×3y (y+5)≥0

解得：

1258258y144

258258,1144 由1）、2）可得原函数的值域为33上面求得的值域对不对呢？显然y=17在所求得的值域范围内，但当y=17时，可

求得x=23,5，故了限定了自变量x的取值范围的函数不能用判别式法求值域。

1,0此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为17。

综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：

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1） 分子分母的最高次为二次的分式函数；

2） 分子分母无公约数；

3） 未限定自变量的取值范围。

最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x2项）系数是否含有y，若含有y，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。

2008-6-9

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