经济应用数学习题及答案

经济应用数学习题

第一章 极限和连续 填空题

1. limsinxxx0 ；

2.函数 ylnx是由 yu，ulnv，vx复合而成的； 3当 x0 时，1cosx 是比 x 高 阶的无穷小量。 4. 当 x0 时， 若 sin2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a 选择题

2x （ C ）

x05arcsinx1.lim2

（A） 0 （B）不存在 （C）

2 （D）1 52.f(x) 在点 xx0 处有定义，是 f(x)在 xx0处连续的（ A ）

（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）无关条件

计算题

1.

cosx1 2x02xcosx1sinx1解：lim＝ lim2x0x02x4x4求极限 lim1411xx()2. lim(1)x＝lim(1)x4e4 x0x044exex1lim1 3.lim2x02x1x0xx

导数和微分

填空题

u(x)u'(x)v(x)u(x)v'(x)] =1若 u(x) 与 v(x) 在 x 处可导，则 [ 2v(x)[v(x)]2.设f(x)在x0处可导，且f(x0)A，则lim代数式表示为

2h0f(x02h)f(x03h)用A的

h5A ；

f(12x)f(1)= 4e 。

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3f(x)ex，则limx0文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

选择题

1. 设 f(x) 在点 x0 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A） lim（C） limf(x)f(x0)f(x)f(x0) 存在 （B） lim不存在

xx0xx0xx0xx0xx0f(x)f(x0)f(x)f(x0)存在 （D） lim不存在

x0xxx02. 设f(x)在x0处可导，且limx1，则f(x0)等于

f(x02x)f(x0)4（ D ）

（A） 4 （B） –4 （C） 2 （D） –2 3. 3设 yf(x) 可导，则 f(x2h)f(x) = （ B ）

（A） f(x)ho(h) （B） 2f(x)ho(h) （C） f(x)ho(h) （D） 2f(x)ho(h) 4.

f(x)f(x) 存在，则 lim 等于（ B ）

x0x0xx1（A）f(x) （B）f(0) （C）f(0) （D）f(0)

2设 f(0)0 ，且 lim函数 yef(x)，则 y\" （ D ）

（A） ef(x) （B） ef(x)f\"(x)

（C） ef(x)[f'(x)]2 （D） ef(x){[f'(x)]2f\"(x)}

5.

6函数 f(x)(x1)x的导数为（ D ）

（A）x(x1)x （B） (x1)x1 （C）xxlnx （D） (x1)x[7函数 f(x)xxxln(x1)] x1 在 x0 处（ D ）

（A）连续但不可导 （B） 连续且可导

（C）极限存在但不连续 （D） 不连续也不可导

计算与应用题

dy1. 设 yln(xy) 确定 y 是 x 的函数，求

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解： y'[ln(xy)]'11(xy)'(yxy') xyxy2. 2设 eyylnx 确定 y 是 x 的函数，求 解：eyy'y'lnxyxdyy ydxx(elnx)dy dx3. 3求 ye13xcosx 的微分

解：dyy'dx(3e13xcosxe13xsinx)dxe13x(3cosxsinx)dx

e2x4. 4求 y 的微分；

x2e2xxe2xe2x(2x1)e2x(2x1)解：y dydx

x2x2x2'sinxeax1x05设f(x) 在(,)上连续，求a的值。 x2ax0 lim(cosxae)…………………………2分

x0ax 1a………………………………………2分

又

f(x)在(,)上连续，即limf(x)f(0)2a…………2分

x0a1……………………………………………………1分

11xx,x01x,x0 （其中k0) 6设f(x)asinkx,x0x(1) 求f(x)在点x0的左、右极限；(2) 当a和k取何值时，f(x)在点x0连续。

（1）limf(x)limx0x0sinkxk …………………2分 x3word版本可编辑.欢迎下载支持.

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1x1x(1x)e12f(x)lim()lime lim……2分 1x0x01xx0e(1x)x （

x01x2）

x0因为

f(x)在

x0处连续，满足

limf(x)limf(x)f(0)…………2分 2 所以kae ……………………1分

导数的应用

填空题

1. 设需求函数 Qp(83P) ，P为价格，则需求弹性值

EQEP

P22

2. 函数 yx33x 的单调递减区间是 （－1，1） 二．选择题

1.函数 ysinx 在区间 [0, π]上满足罗尔定理的 ξ = （ C ）

（A） 0 （B）

 （C） （D） 422. 函数 yf(x) 在点 xx0 处取得极大值，则必有（ D ）

（A） f(x0)0 （B） f(x0)0 （C） f(x0)0 且 f(x0)0 （D） f(x0)0 或不存在 应用题

1已知某商品的需求函数为x =125-5p，成本函数为C(x)=100 + x + x2,若生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2) 最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。

2.某工厂生产某种产品 吨，所需要的成本 C(x)5x200 （万元）,将其投放市场后，所得到的总收入为 R(x)10x0.01x2 （万元）。问该产品生产多少吨时，所获得利润最大， 最大利润是多少？ 解：L(x)R(x)C(x)=0.01x25x200，L'(x)0.02x5

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令L'(x)0 得 x250

该产品生产250吨时所获利润最大，最大利润是 L(250)425（万元）

Q，成本函数为 C202Q ，求产量5为多少时利润最大？并验证是否符合最大利润原则。

3.已知某产品的需求函数为P10Q2202Q 解：L(Q)R(Q)C(Q)PQC(Q)10Q52L'(Q)Q8，令 L'(Q)0 得 Q20

52又 L\"(Q)0 ，所以符合最大利润原则。

54某商店以单价100元购进一批服装，假设该服装的需求函数为Q400p（p为销售价格）。（12分）

(1) 求收入函数R(Q)，利润函数L(Q)；

(2) 求边际收入函数及边际利润函数；

(3) 销售价格定为多少时，才能获得最大利润，并求出最大利润。 解：(1) p400Q，R(Q)QpQ(400Q)，………………2分 C(Q)100Q，

L(Q)R(Q)C(Q)Q(400Q)100Q300QQ2…………2分 (2) 边际收入函数为R'(Q)4002Q ………………………1分 边际利润函数为L'(Q)3002Q ………………………1分 (3) 令L'(Q)3002Q0，得Q150件。…………………1分

因L(150)分

因为是唯一的极值点，所以就是最大值点，………………………1分 即p400Q400150250元时，可获得最大利润。……………1分

最大利润为L(150)300QQ22500元。…………………2分 第五章

填空题

2''20，所以当Q150时，函数取得极大值， ……1

不定积分

1.

设 exsinx 是 f(x) 的一个原函数，则 f(x) =

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exsinx；

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2.1xlnxdx lnlnxC

43. 若

f(x)dxx2C ，则

xf(1x2)dxx2x2c；

选择题

1. 设 F(x)G(x)，则 （ B ）

（A） F(x)G(x) 为常数 （B） F(x)G(x)为常数 （C） F(x)G(x)0 （D）

ddxF(x)dxddxG(x)dx 2. 已知函数 f(x) 的导数是 sinx ，则 f(x) 的所有原函数是（ B （A）cosx （B）cosxC （C）sinx （D）sinxC3.若 f(x)dxx2e2xC ，则 f(x) （ D ）

（A）2xe2x （B）2x2e2x （C）xe2x （D）2xe2x(1x) 三计算

1.求不定积分 xe3xdx

原式=xd(1e3x)1xe3x1e3xdx1xe3x11e3xd(3x)=1xe3x133333339e3xC2. 2. x1x21dx

解：原式x1111x21dxx21dx2x21d(x21)x21dx

3. 求

11exdx

解：令t1ex则xln(t21)

原式=11121tt212tdt2t21dt(t1)(t1)dt(t11t1)dt

4. 求 xlnxdx

解：原式lnxd(1x2)1x2111122lnx2x2xdx2x2lnx4x2C

定积分

填空题

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）

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1 1.

1x32xsinxdx = 0

2.(tsint3dt)

0xsinx3

d3. f(x)dx = dxab0

bb4设 f(x) 在 [a,b]上连续，则

f(x)dxf(t)dt =

aa0

5

e1dx 2x(lnx)1

6若(x)7若x131xecosttdt，则'(x) ecosxx 1。 121 120f(t)dtx，则f(7)

解 f(x31)3x21,当x2时，（f7）＝18设fx是连续函数，且fxx2f(t)dt,则fx x -1 。

0解 设A0f(t)dt,A0xdx2AA2AA

选择题

1. 下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有 （ A ）

xx3（A）  （B） dx dx221x011x451112121 （C） 0x(x5)232edx （D） 1e1dx xlnxx2. 设 f(x) 为连续函数，则

f(t)dt为 （ C ）

a（A）f(t) 的一个原函数 （B）f(t) 的所有原函数 （C）f(x) 的一个原函数 （D）f(x) 的所有原函数

x3.

0f(t)dt11f(x)，且 f(0)1，则 f(x)（ C ） 227word版本可编辑.欢迎下载支持.

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x2（A） e （B）

11x1e （C） e2x （D） e2x 224.

1dx（ D ） 2x1（A） -2 （B） 2 （C） 0 （D） 发散

计算

x21. 1. 求定积分 dx 21x011x21解：＝ (1)dx(xarctanx)1dx02201x41x0112. 求定积分 解：令t51dx x1x9x 则 xt2 当x1时，t1,当x9时,t3

151解：lnxdx1(lnx)dx1elnxdx

e 解：

2bb111limdx limdxdxb2(x1)(x1)b2x21x215求函数f(x)x20(2t)etdt在(,)内的最大和最小值.

2解 因f(x)为偶函数，则只需求f(x)在[0，+）内的最值.

令f'(x)2x2(2x2)ex0，则得驻点为x2.

且当0x2时，f'(x)0, 当x2时, f'(x)0，

故x2 为f(x)在[0，+]的极大值点，也是最大值点，且

f(x)(2t)edt(2t)e而 f()xlim0tt0etdt1

0所以 minf(x)f(0)0.

多元函数微分学及其应用

填空题

1. 若Zexyyx2，则Zxexyx2

y二元函数Zxexy全微分dZexy(1xy)dxx2exydy ； 选择题

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1. 设函数zln(xy)，则 （A）

z 等于（ C ） x1x1y （B） (C) (D) yyxxZ等于（ D ） x2. 设Zsin(xy2),则

（A）xycos(xy2) （B）xycos(xy2) (C) y2cos(xy2) (D) y2cos(xy2) 3. 设 Z3xy，则

Z= （ D ） x（A）y3xy （B）3xyln3 （C）xy3xy1 （D） y3xyln3 计算与应用题

1. 设 ZZ(x,y)由方程eZx2ylnZ0确定，求dZ 解：令F(x,y,Z)eZx2ylnZ0

Fy'Fx'Zx2x2ZZ2xy2xyZ'' ， yFZeZ1ZeZ1xFZeZ1ZeZ1ZZ2ZZx1xyxx2y解： [ln(xy)]222xxyxy(xy)x(xy)2. 设 Zlnx2y2,求偏导数 解：

Zx1x2y22x2y22xx 22xy4计算二重积分

，其中D是由yx,y5x,x1 (x6y)dxdyD所围成的区域。

解：(x6y)dxdydxyy5xD015xx(x6y)dy

5.求积分解： dy01011yyx03xy2dx

1ydy100323331314113xydx(yy)dy(yy)0 022x2348216. 计算二重积分(xy)d， 其中D由曲线yx2,x1,x轴围成

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x2 解：(xy)ddxD01o(xy)dy

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