2019届山西省高三考前适应性训练二（二模）数学（理）试
题
一、单选题 1．已知集合A．【答案】C
【解析】解一元二次不等式求得集合，然后求两个集合的交集. 【详解】 由【点睛】
本小题主要考查两个集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．设命题A．C．【答案】B
【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断出正确选项. 【详解】
原命题是特称命题，否定是全称命题，注意要否定结论，故本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题. 3．已知向量A． 【答案】A 【解析】对【详解】 对故选A. 【点睛】
本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，考查向量夹角的计算，属于基
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两边平方得
，即
，解得
.
两边平方，利用数量积的运算公式，求得两个向量的夹角. 满足
B．
，则与的夹角为 C．
D．
，则
为
B．D．
，解得
，所以
，故选C.
B．
C．
，则
D．
础题. 4．椭圆C：
的右焦点为F，过F作轴的垂线交椭圆C于A，B两
点，若△OAB是直角三角形(O为坐标原点)，则C的离心率为 A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意得出心率. 【详解】 过
作轴的垂线交椭圆于
，即，
【点睛】
本小题主要考查直线与椭圆的交点，考查椭圆离心率的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
5．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是 A．【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性和在选项. 【详解】
对于A选项，由于函数的定义域为除A选项.对于B选项，由于对于C选项，眼熟
在
上递增，在
，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，排
，所以函数不是奇函数，排除B选项.上递减，排除C选项.由于A,B,C三个
内的单调性，对选项逐一分析排除，由此得出正确
B．
C．
D．
两点，故，也即，解得
，故选C.
，由于三角形
，化简得
是直角三
两点的坐标，利用
列方程，化简后求得椭圆的离
角形，故
选项不正确，故本小题选D. 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的定义域，属于基础题. 6．如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q—BMN的正视图如图2所示时，此三棱锥俯视图的面积为
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A．1 【答案】D
B．2 C． D．
【解析】根据三棱锥的正视图确定面积. 【详解】
由正视图可知，为三角形选D.
的中点，
的位置，由此画出俯视图并计算出俯视图的
两点重合，是的俯视图.
的中点.画出图像如下图所示，
.故
即是几何体
【点睛】
本小题主要考查由三视图还原原图，考查俯视图面积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.
7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为
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A．－2 【答案】A
B． C．3 D．
【解析】运行程序，计算【详解】 运行程序，
，
的值，当时，输出的值.
，判断否，，判断否，，判断否，
，判断否，
，判断
，判断否，周期为，以此类推，
否，【点睛】
，判断是，输出
.故选A.
本小题主要考查计算循环结构程序框图输出结果，属于基础题.
8．以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为
1 81C．
6A．【答案】C
B．D．
5 67 8【解析】计算出题目所给几何体的体积，除以正方体的体积，由此求得相应的概率. 【详解】
画出图像如下图所示，几何体为EGHIJF，为正四棱锥.设正方体的边长为2，故
14V2221GH2，故EGHIJF，所以概率为
33VEGHIJFVABCDA1B1C1D1413，故选C.
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【点睛】
本小题主要考查几何概型概率计算，考查椎体的体积计算，属于基础题. 9．函数A．C．
在
上的值域为
B．D．
【答案】B
【解析】利用特殊角的三角函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 由于
项.故本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查三角函数的值域，属于基础题. 10．双曲线若A．
左、右焦点为F1，F2，直线
，则双曲线C渐近线方程为
B．
C．
D．
与C的右支相交于P，
，故排除A,C选项.由于
，故排除D选
【答案】C
【解析】求得点的坐标，利用双曲线的定义求得值，进而求得的值，由此求得双曲线的渐近线方程.
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，并由此列方程，解方程求得的
【详解】
由，解得，根据双曲线的定有，双曲线的焦点
，故
，解得
故选C. 【点睛】
，故
，两边平方化简得，所以
，即
，
，即双曲线的渐近线方程为
本小题主要考查双曲线的定义，考查双曲线和直线交点坐标的求法，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题.
11．电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位(bit)”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节(Byte)”是更大的存储单位，1Byte=8bit，因此1字节可存放从00000000(2)至11111111(2)共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为 A．254 【答案】B
【解析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果. 【详解】
恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为
，
，，共个.转化为十进制并相加得
B. 【点睛】
本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题. 12．函数A．0 【答案】A
【解析】利用导数求得函数零点. 【详解】
的最小值，这个最小值为正数，由此判断函数
没有
B．1
的零点个数是
C．2
D．与a有关
，故选
，
，
，
，
B．381
C．510
D．765
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依题意，令.，，
令，解得，故函数在上递减，在
，由于
没有零点.故选A.
上递增，函数在，故
，也
处取得极小值也即是最小值，即是函数【点睛】
的最小值为正数，故函数
本小题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，综合性较强，属于中档题.
二、填空题
13．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是
，则
________．
【答案】
的值.
【解析】根据图像求得点A,B对应的复数，然后求【详解】 由图像可知【点睛】
，故
.
本小题主要考查复数的减法运算，考查复数模的运算，考查复数与复平面内点的对应，属于基础题.
14．某校高三(1)班，高三(2)班，高三(3)班分别有3人，2人，1人被评为该校“三好学生”．现需从中选出4人入选市级“三好学生”，并要求每班至少有1人入选，则不同的人选方案共有____种(用数字作答)． 【答案】9
【解析】利用列举法列举出所有可能的方法数. 【详解】
给学生编号，（1）班为
，（2）班为
，（3）班为，则符合题意的选法为：1246，
1256，1346，1356，2346，2356，1456，2456，3456，共种.
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【点睛】
本小题主要考查利用列举法求解简单的排列组合问题. 15．【答案】
的和，然后利用裂项求和法求得表达式的值.
_____．
【解析】先求得【详解】 由于
，而.
，所以所求表达式
【点睛】
本小题主要考查等差数列前项和，考查裂项求和法，属于基础题.
16．已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上，AB为球O的直径，AB=4，AD=2，BC=【答案】
为直径得出三角形
和三角形
是直角三角形，当平面的高和三角形
平
，则四面体ABCD体积的最大值为_______。
【解析】根据面
时，四面体的体积取得最大值.计算出三角形的面积，由
此计算出最大体积. 【详解】 由于
为直径，故三角形
和三角形
,
.当平面.
是直角三角形，三角形
.设三角形
平面
和三角形中
边上
是直角三角形，
的高为，由等面积公式得体的体积取得最大值.【点睛】
时，四面
本小题主要考查球的几何性质，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.
三、解答题
17．在△ABC中，已知(1)求(2)
【答案】（1）；（2）3
【解析】（1）根据三角形面积公式求得面积的表达式，然后根据角度和边长求得面积的
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的平分线BD交AC于点D，BA=2BC。
与△BDA的面积之比；
，求边BC的长．
比值.（2）根据（1）中求得的面积比求得长. 【详解】 （1）设
与
的面积分别为,
又因为(2)设
则
，所以
,即
.
，然后利用余弦定理列方程，解方程求得
，则
.因为
平分
，所以
.
.由（1）得
，解得
，所以，即
.
.在中，由余弦定理得
【点睛】
本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，属于中档题.
18．如图，平面ABCD⊥平面CDEF，且四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，
，M是线段DE上的点，满足DM=2ME．
(1)证明：BE//平面MAC；
(2)求直线BF与平面MAC所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）连接面线
（2）以的方向向量和平面
，交
于，连接的方向为
，利用比例证得轴，建立空间直角坐标系
，由此证得
平
，通过计算直
的法向量，由此求得线面角的正弦值.
【详解】 （1）连接平面
，，交
于，连接平面
，所以
，由于
平面
，所以
.所以
.由于
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（2）因为平面两两垂直，分别以
平面，的方向为
，所以平面，可知
.设.设平面
则的
轴，建立空间直角坐标系，
法向量而
角的正弦值为
，则
，设所求角为，则.
，令，得平面的一个法向量.故直线
与平面
，所成的
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求线面角的正弦值，属于中档题. 19．如图，抛物线
的焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线E及其准线相
交于A，B，C三点，过F斜率为的直线与E及其准线相交于M，N，P三点．
(1)若；
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(2)若的倾斜角互补，
或
的面积比为4：1，求直线
的方程．
【答案】（1）8；（2）
【解析】（1）写出直线的方程，代入抛物线方程，求得（2）设出直线的方程，代入抛物线方程，求得用
，由弦长公式求得.
，根据相似三角形以及对称性，利
的倾斜角互补可求得
列方程，解方程求得点坐标，进而求得的方程.根据
的方程. 【详解】 （1）
，代入
.
（2）设则
，由，令
互补，故【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20．某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：
，解得
.
，设
及对称性得
.所以
，代入，把
得代入上式得，由于
的倾斜角
，
中得
设
，则
，所以
将频率作为概率，解答下列问题： (1)当
及以上的概率；
(2)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为222个，求
的值(每组数据以中点值代替)；
时，从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加工零件数达到240
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(3)在(2)的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达200的员工为C级；达到200但未达280的员工为B级；其他员工为A级．工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A，B，C三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20，30，50．现从样本中随机抽取1人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量X的分布列和期望． 【答案】（1）0.42；（2）
；（3）
及以上的频率，根据二
【解析】（1）先求得的值，然后求得员工日加工零件数达到项分布概率计算公式，计算出所求概率.
（2）先求得的值，然后根据平均数的估计值列方程，求得的值，进而求得的值. （3）的可能取值为【详解】 （1）依题意以相应的概率可视为则
，故员工日加工零件数达到
及以上的频率为
，所
，列出分布列并求得数学期望.
，设抽取的名员工中，加工零件数达到
.
，可知
及以上的人数为，
,故所求概率为
（2）根据后三组数据对应频率分布直方图的纵坐标为因此
，解得，
，故根据频率分布直方图得到的样本平均数估计值为
，解得
.
，进而
，故
(3)由已知可得的可能取值为20,30,50， 且
，所以的分布列为
所以【点睛】
.
本小题主要考查频率分布直方图，考查离散型随机变量分布列和数学期望的求法，属于中档题. 21．已知函数
．
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(1)当(2)若
时，求的图象总在
的单调区间； 的图象下方(其中
，减区间时，利用
为；（2）
的导函数)，求的取值范围．
【答案】（1）增区间【解析】（1）当
（2）原命题等价于用导数求得【详解】 （1）当为
（2）由题意得
，则
，则
递减，所以所以当
时，，故
【点睛】
. ，当
.
时，
的导数求得函数的单调区间.
恒成立，分离常数得
的最大值为，即
.
恒成立，利
，故函数的递增区间为，减区间
恒成立，即
令
时，，所以，
递增，当
，，所以
恒成立.令，则
递增；当在时，
时，
上递减，，
，令
，，
递减.所以
本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 22．已知直线的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点O为极点，轴的
．
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(1)写出曲线C的直角坐标方程； (2)若直线与曲线C交于A，B两点，且【答案】（1）【解析】（1）把
（2）设出直线的方程，根据角.
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或
，求直线倾斜角的值．
代入曲线的方程，化简求得曲线的直角坐标方程；
列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得倾斜
【详解】 （1）把
（2）易知直线的斜率存在，可设直线的方程为到直线的距离为，由直角三角形可知
，所以【点睛】
本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线和圆相交的弦长公式，属于中档题. 23．已知函数(1)当(2)不等式
时，画出函数
． 的图象；
恒成立，求m的取值范围．
或
.
，所以
，设圆心，解得
或
代入曲线的方程得
.
【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）当为
，由此得到
时，求得
表达式，进而画出函数图像.（2）求得
的最小值
成立，利用零点分段法解绝对值不等式求得的
取值范围. 【详解】
（1）当时，，画出图像如下图所示：
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（2）因为，所以不等式成
立，等价于成立，该不等式转化为或或
，解得
【点睛】
.
本小题主要考查含有绝对值的函数图像的画法，考查绝对值不等式的解法，属于中档题.
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