微分几何答案(第二章)

第二章 曲面论

§1曲面的概念

1.求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r={ucosv0 ,u sinv0,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u{cosv0,sinv0,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r={ a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0}={ av0, bv0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ av0, bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;

v-曲线为r=｛a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v｝=｛au0, bu0,0｝+v{a,-b,2u0}表示过点(au0, bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线。

3．求球面r={acossin,acossin,asin}上任意点的切平面和法线方程。 解 r={asincos,asinsin,acos} ，r={acossin,acoscos,0}

xacoscos任意点的切平面方程为asincosyacossinasinsinacoscoszasinacos00

acossin即 xcoscos+ycossin+zsin-a=0 ；

法线方程为

xacoscosyacossinzasin 。

coscoscossinsinx2y24．求椭圆柱面221在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有

ab一个切平面 。

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x2y2解 椭圆柱面221的参数方程为x=cos, y=asin, z = t ,

abr{asin,bcos,0},rt{0,0,1}。所以切平面方程为：

xacosasin0ybsinbcos0zt00，即xbcos+yasin － ab = 0 1此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。

a35．证明曲面r{u,v,}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。

uva3a3xyuv证 ru{1,0,2}，rv{0,1,2}。切平面方程为：3z3 。

uvauvuv3a2与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为：

uv13a393V3|u|3|v|a是常数。

6|uv|2

§２ 曲面的第一基本形式

1. 求双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.

2222解 ru{a,b,2v},rv{a,b,2u},Eruab4v,

Frurva2b24uv,Grv2a2b24u2,

∴I = (ab4v)du2(ab4uv)dudv(ab4u)dv。

２．求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。

2解 ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}，Eru1，Frurv0，

2222222222Grv2u2b2，∴I =du2(u2b2)dv2，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。

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３．在第一基本形式为I =dusinhudv的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。 解 由条件dsdusinhudv,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入ds得

22222222ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2，ds=coshvdv , 在曲线u = v上，从v1到v2的弧长为

|coshvdv||sinhv2sinhv1|。

v1v24．设曲面的第一基本形式为I = du(ua)dv，求它上面两条曲线u+v=0,u–v=0的交角。

分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。

22解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E1，Fv0，Gua，曲线2u+v=0与u–v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为E1，Fv0，Ga。曲线

2222u+v=0的方向为du=-dv,u–v=0的方向为δu=δv, 设两曲线的夹角为，则有

cos=

EduuGdvuEdu2Gdv21a2。 2221aEuGv5．求曲面z=axy上坐标曲线x=x0 ,y=y0的交角.

解 曲面的向量表示为r={x,y,axy}, 坐标曲线x=x0的向量表示为r={ x0,y,ax0y } ，其切向量ry={0，1，ax0}；坐标曲线y=y0的向量表示为r={x , y0,axy0}，其切向量rx={1，

rxrya2x0y00，ay0}，设两曲线x=x0与y=y0的夹角为，则有cos=

2222|rx||ry|1ax01ay06. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.

解 对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有

Eduδu+F(duδv+dvδu)+Gd vδv=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为

Eδu+Fδv = 0 .

同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu+Gδv=0 .

7.在曲面上一点,含du ,dv的二次方程Pdu+ 2Q dudv + Rdv＝０，确定两个切方向

22 15

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（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.

证明 因为du,dv不同时为零，假定dvP(0，则所给二次方程可写成为

2Qdu2duduuduuRduu=，+=……①又根据二方)+2Q+R=0 ,设其二根,, 则

dvdvdvvdvvPdvvPduuduu向垂直的条件知E+F(+)+G = 0 ……②

dvvdvv将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .

8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu=Gdv.

证 用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，v０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,

22根据题设条件,又交角公式得

(EduvFdvu)2(FduvGdvv)2(EduFdv)2(FduGdv)2，即。 2222EGEudsGvds展开并化简得E(EG-F)du=G(EG-F)dv,而EG-F>0，消去EG-F得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu=Gdv.

9．设曲面的第一基本形式为

I =

u u=av V=1 o v 22222222du2(u2a2)dv2，求曲面上三条曲线u = av, v=1

相交所成的三角形的面积。

解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城

的三角形的面积是

0122a221u=-av S=

auadudvuadudv

ua0uaa =2

0uuadudv=2(1)u2a2du

au022a1a 16

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22a(ua2)2uu2a2a2ln(uu2a2)]|0=[ 3a23=a[22ln(12)] 。 310．求球面r={acossin,acossin,asin}的面积。

解 r={asincos,asinsin,acos} ，r={acossin,acoscos,0}

2222E =r2=a,F=rr= 0 , G = r =acos .球面的面积为：

2S =

d220a4cos2d2a22cosd2a2sin|24a2.

2211.证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos,tsin,t21} (t>1, 0<<2)之间可建立等距映射 =arctgu+v ,t=u21 .

分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射

 =

arctgu+v ,t=u21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.

证明 螺面的第一基本形式为I=2du+2dudv+(u+1)dv, 旋转曲面的第一基本形式为

222t2)dt2t2d ,在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu+v ,t=u21 , 则其第I=(12t1一基本形式为:

u21u21222(1)du(u1)(dudv) 222uu11uu21122222221)dudu2dudv(u1)dvduudv=(=2+2 dudv+(+1)=I . 22u1u 17

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所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射  =arctgu+v ,t=u21 .

§3曲面的第二基本形式

1. 计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式. 解 ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv={-coshusinv,coshucosv,0}

ruu={coshucosv,coshusinv,0},ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},

rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},Eru2= cosh2u,Frurv=0,Grv2=cosh2u.

所以I = coshu

2du2+ cosh2udv2 .

n=

rurvEGF2=

1{coshucosv,coshusinv,sinhusinv}, 2coshuL=coshusinh1221, M=0, N=

coshusinh12=1 .

所以II = -du+dv 。

222. 计算抛物面在原点的2x35x14x1x22x2第一基本形式,第二基本形式.

2解 曲面的向量表示为r{x1,x2,522x12x1x2x2}, 2rx1{1,0,5x12x2}(0,0){1,0,0},rx2{0,1,2x12x2}(0,0){0,1,0},rx1x1{0,0,5}, rx1x2{0,0,2} ,rx2x2{0,0,2}, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,

I=dx1dx2, II=5dx14dx1dx22dx2.

3. 证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-∞2222解 ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0},

ruv={-uucosv,cosv,0},rvv={-ucosv,-usinv,0},Eru21，Frurv0，

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Grv2u2b2， L=0, M =

bub22 , N=0 .所以有EN-2FM+GL=0 .

4. 求出抛物面z1(ax2by2)在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 2解 rx{1,0,ax}(0,0){1,0,0},ry{0,1,by}(0,0){0,1,0},rxx{0,0,a},rxy{0,0,0}

adx2bdy2ryy{0,0,b},E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率kn. 22dxdy 5. 已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0解 设平面与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为1d2,即(C)的曲率为

k11d2,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于1d2,所以(C)的法曲

率为knk1d2=1 .

II,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比I6. 利用法曲率公式kn例。

证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv

IILdu22MdudvNdv211LMN1kn或-，所以()，即第一、第二类

IREFGREdu22FdudvGdv2R基本量成比例。

7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。 证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv}，

rru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}，uu={0,0,0}，rvv={-ucosv,-usinv,0}，

L=

(ru,rv,ruu)EGF2=0, N=

(ru,rv,rvv)EGF2=0 .所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而u族曲线是

直线，v族曲线是螺旋线。

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8. 求曲面zxy的渐近线.

22解 曲面的向量表示为r{x,y,xy},rx{1,0,y},ry{0,1,2xy},rxx{0,0,0},

2rxy{0,0,2y},ryy{0,0,2x},Erx214y4,Frxry2xy2,Gry214x2y2. L0,M2y14xyy2224,N2x14xyy2224.

渐近线的微分方程为Ldx2MdxdyNdy,即4ydxdy2xdy0,一族为dy=0, 即

2yc1,c1为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即lnx2yc2,或x2yc,c为常数..

9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.

证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.

方法二：任取曲线:rr(s)，它的主法线曲面为S:(s,t)r(s)t(s)，

s(s)t(s)t()(1t)t，t，stt(1t)

在曲线上，t = 0 ,st,曲面的单位法向量曲线在它的主法线曲面上是渐近线.

10. 证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.

证 曲面的向量表示为 r={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。

nstEGF2，即n，所以

rx{1,0,f'},ry{0,1,g'}.rxx{0,0,f''},rxy{0,0,0},ryy{0,0,g''},

因为Mrxy网。

rxryEGF20,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭

11.确定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率线.

解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0}，rvv={-ucosv,-usinv,0}，

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ruv={-sinv,cosv,0},Eru21，Frurv0，Grv2u2b2， L=0, M=

N=0,曲率线的微分方程为:

bub22 ,

dv210dudv0bu2b2du2u2b20,即dv021ub2du,积分得两族曲率线方程:

vln(uu2b2)c1和vln(u2b2u)c2.

12.求双曲面z=axy上的曲率线.

解 E1a2y2,Fa2x2y2,G1a2x2,L0,Ma1axay2222,N=0 .

dy2由1a2x2dxdya2x2y2a1axay222dx21a2x2=0得(1a2y2)dx2(1a2x2)dy2,积分得两

2202022族曲率线为ln(ax1ax)ln(ay1ay)c.

13.求曲面r{(uv),a2buv(uv),}上的曲率线的方程. 22a2b2v2a2b2uva2b2u2,F,G,L0, 解 E4442,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:

2EGFabM=

(a2b2u2)dv2(a2b2v2)du2,积分得:

ln(ua2b2u2)ln(va2b2v2)c .

14.给出曲面上一曲率线L,设 L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L

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是一平面曲线.

证法一：因 L是曲率线,所以沿L有dnndr,又沿L 有•n=常数,求微商

得nn0,而n//dn//dr与正交,所以n0,即-·n=0,则有=0,或

·n=0 .

n=0 ，若=0,则L是平面曲线；若·L又是曲面的渐近线，则沿L ，这时dn=0，n=0 ，

n为常向量，而当L是渐近线时，=n，所以为常向量，L是一平面曲线.

证法二：若n ，则因ndr‖ ，所以n‖ ，所以dn‖，由伏雷

内公式知dn‖（）而L是曲率线，所以沿L有dn‖，所以有=0,从而曲线为平面曲线；

若不垂直于n， 则有•n=常数,求微商得nn0,因为L是曲率线，所

以沿L有dn‖dr，所以n0，所以n0，即-·n=0 ，若=0，则问题得

证；否则·n=0 ，则因n0，有n‖，dn‖d‖（-）‖ ，矛盾。

15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。

证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。

16．求正螺面的主曲率。

解 设正螺面的向量表示为r={ucosv,usinv,bv}.

解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0}，

rvv={-ucosv,-usinv,0}，ruv={-sinv,cosv,0},Eru21，Frurv0，Grv2u2b2， L=0, M =

bub22 , N=0,代入主曲率公式

22

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a2（EG-F）-（LG-2FM+EN）N+LN-M=0 得=2。 22(ua)22N22N所以主曲率为 1aa, 。 22222uaua2217．确定抛物面z=a(xy)在（0，0）点的主曲率.

22解 曲面方程即ryy{0,0,2a}，r{x,y,a(xy)}，rx{1,0,2ax}ry{0,1,2ay}，

rxx{0,0,2a}，rxy{0,0,0},ryy{0,0,2a} 。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,

N=2a .所以N-4aN+4a=0 ，两主曲率分别为 1 = 2 a ,2= 2 a .

18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.

证 曲面上的给定点处两主曲率分别为1、2，任给一方向及与其正交的方向+22则这两方向的法曲率分别为n()1cos2sin，

222，

n(2)1cos2(2)2sin2(2)1sin22cos2 ，即 n()n()12为常数。

219.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数.

22证 由n1cos2sin 得 tg21 ,即渐进方向为 21arctg数.

1,2=-arctg1.又-2+1=21 为常数,所以为1为常数,即1为常22220. 求证 正螺面的平均曲率为零. 证 由第3题或第16题可知.

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21. 求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率. 证 在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a,N=0,H=

LG2FMNE0, 22(EGF)LNM22 K==-a. 2EGF22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.

证法一： 由H=

122=0有1=2=0或1=-20 .

22若1=2=0,则沿任意方向,n()1cos2sin=0 ,即对于任意的

IILdu22MdudvNdv20,所以有L=M=N=0,对应的点为平点. du:dv ,kn22IEdu2FdudvGdv若1=-20,则K=12<0 ,即LN-M<0,对应的点为双曲点.

2证法二：取曲率网为坐标网，则F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 ，

所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 。若LNM=0，则L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，若LNM< 0,则曲面上的点是双曲点。

23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.

证法一： 如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点. 若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网. 若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由19题, 渐近方向满足tg2221=1, 2即1=/4,2=-/4, 两渐近线的夹角为 证法二：所以L(2,即渐近曲线网构成正交网.

H0LG2FMNE0渐近线方程为Ldu22MdudvNdv20

，所以

du2duduuNduu2M)2MN0，所以,dvdvdvvLdvvL 24

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EduuF(duvdvu)Gdvvdvv[E=dvv[EduuduuF()G] dvvdvvN2MF()G]0 ，所以渐近网为正交网。 LL1H(12)0 ，所以高斯曲率

2K120 ，所以

证法三：M0LNM20 ，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取曲面上的两

族渐近线为坐标网，则L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的点是平点，若

M0 ，则H0LG2FMNE0 ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以渐近网为

正交网。

24. 在xoz 平面上去圆周y = 0,(xb)za(ba),并令其绕轴旋转的圆环面,参数方程为 r={(b+acos)cos , (b+acos)sin , asin},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。 解 E=a, F=0 , G=(bacos), L = a, M=0, N=cos(b+acos),

LN -M=a cos(b+acos), 由于b> a > 0 , b+acos > 0,所以LN -M的符号与cos的

222222232<<2时, LN -M>0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧

223的点为椭圆点；当-<<，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当=22232或 时，LN -M=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。

2符号一致,当0≤<和

25．若曲面的第一基本形式表示为I(u,v)(dudv)的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面r{g(t)cos,g(t)sin,f(t)}上存在等温网。

证 旋转曲面r{g(t)cos,g(t)sin,f(t)}的第一基本形式为

'2'2'2'2gfgfdt，v=,则在新参数下，Ig2(t)(dt2d2) ，做参数变换u2gg222Ig2[t(u)](du2dv2),为等温网。

26．两个曲面S1、S2交于一条曲线（C），而且（C）是S1的一条曲率线，则（C）也是S2 25

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的一条曲率线的充要条件为S1、S2沿着（C）相交成固定角。

证 两个曲面S1、S2交于曲线（C），n1、n2分别为S1、S2的法向量，则沿交线（C），

n1与n2成固定角的充要条件为n1·n2=常数，这等价于d(n1·n2)=0,即

dn1·n2+n1·dn2=0 ,而（C）是S1的一条曲率线，因此dn1与（C）的切向量dr共线，则与

n2 正交，即dn1·n2=0，于是n1·dn2=0，又dn2⊥n2，所以n1·dn2= dn1·n2=0的充

要条件为dn2// dr，即（C）是S2的曲率线。

27．证明在曲面(S)上的一个双曲点P处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点P的挠率是K,另一条在点P的挠率是-K，其中K是(S)在P点的高斯曲率。

证 曲面在双曲点P处，有两条渐近线过点P，沿渐近线有n=，且II=0，于是有dn=d .则dnd22III2HIIKIKI，即d2Kds2,或

2d2()K，所以有()2K,K。 ds28．证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。

证 设给出的曲面(S): r=r(u,v)上的点r(u,v)与(u,v)D内的点一一对应，其球面像上的点为n=n(u,v),由于nunvk(rurv),所以|nunv|k|rurv|=

|LNM2|EGF2 ，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M

20,则nunv0。

说明球面像上的点n(u,v)与区域D内的点一一对应，因此曲面(S) 上的点与球面像上的点一一对应。



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