勾股定理全章知识点归纳总结(8.11)

勾股定理全章知识点归纳总结

一．基础知识点： 1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，

ac2b2）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c＝a+b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

2

2

2

2

2

2

（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

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2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2

+b2

＝c2

，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

方法一：4S1S正方形EFGHS正方形ABCD，42ab(ba)2c2，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S412abc22abc2

大正方形面积为S(ab)2a22abb2 所以a2b2c2

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共 2 页 DCHEFGbaAcBbaaccbbccaabDCHEFGbaAcBAaDcbcEaBbC法思博国际教育集团 九年级数学 教师：孙新 8月11日

111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证

2226：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，

a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；

2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）

二、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的长 ⑵已知AB17，AC15，求BC的长 题型二：利用勾股定理测量长度 BDAC例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 共 3 页 第 3 页

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例题2 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB是直角三角形吗？为什么？ 共 4 页 第 4 页

1AB那么△DEF4法思博国际教育集团 九年级数学 教师：孙新 8月11日

题型四：利用勾股定理求线段长度——

例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——

例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

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例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

题型六：旋转问题：

例1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。

变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长. .

变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°， 试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由.

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题型七：关于翻折问题

例1、 如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点

B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

题型八：关于勾股定理在实际中的应用：

例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

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