2020版高中数学课时作业13等比数列的前n项和新人教A版必修5

[基础巩固](25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( ) A．135 B．100 C．95 D．80

解析：由等比数列的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，603公比为＝. 402

33

∴a7＋a8＝40×＝135.

2

答案：A

2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝( ) A．－2 B．2 C．3 D．－3

a11－q33a11－q22

解析：∵S3＋3S2＝0，∴＋＝0，即(1－q)·(q＋4q＋4)＝0.解得q＝－

1－q1－q2或q＝1(舍去)．

答案：A

3．在等比数列{an}中，a1＋an＝82，a3·an－2＝81，且数列{an}的前n项和Sn＝121，则此数列的项数n等于( )

A．4 B．7 C．6 D．5

a1＝1，

解析：在等比数列{an}中，a3·an－2＝a1·an＝81，又a1＋an＝82，所以

an＝81a1＝81，

an＝1.

或

1－81q当a1＝1，an＝81时，Sn＝＝121，解得q＝3.

1－q由an＝a1qn－1

得81＝3

n－1

，解得n＝5.

同理可得当a1＝81，an＝1时，n＝5.故选D. 答案：D

4．等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝( ) 4－1

A．2－1 B. 3

nn1－－41－－2C. D.

33

解析：设等比数列{an}的公比为q，

a1q＝1，

则3

a1q＝4，

33

nn

1a1＝－，2或q＝－2.

1a1＝，

2解得q＝2

所以a2，a4，…，a2n构成以a2＝1为首项，q＝4为公比的等比数列，所以a2＋a4＋…＋a2n1×1－44－1

＝＝.

1－43

答案：B

5．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )

A．12 B．10 C．8 D．6

解析：由题意可知q＝2.设该数列为a1，a2，…，a2n，则an＋an＋1＝24.又a1＝1，∴q＋q＝24，即2

答案：C

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15

＝________.

解析：记b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，b5＝a13＋a14＋a15，依题意{bn}构成等比数列， 其首项b1＝1，公比为q＝＝－2，

1－－2则{bn}的前5项和即为{an}的前15项和S15＝＝11.

1－－2答案：11

7．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于________． 解析：因为S30≠3S10，所以q≠1.

S30＝13S10，由

S10＋S30＝140

5

2

nnn－1

nn－1

＋2＝24，解得n＝4，故项数为8.

nb2

b1

S10＝10，得

S30＝130，

30

所以a1－q1－q120

10

10

a11－q10

＝10，1－q

＝130，

2

所以q＋q－12＝0. 所以q＝3，

a11－q2010

所以S20＝＝S10(1＋q)

1－q＝10×(1＋3)＝40. 答案：40

8．已知正项数列{an}满足an＋1－6an＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________． 解析：因为an＋1－6an＝an＋1an，所以(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，因为an>0，所以an＋1＝3an，所以{an}为等比数列，且公比为3，所以Sn＝3－1.

答案：3－1

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q. 解析：因为a3an－2＝a1an， 所以a1an＝128， 解方程组

a1an＝128，

nn2

2

2

a1＋an＝66，

得a1＝，an＝2①或a1＝2，an＝② 将①代入Sn＝由an＝a1qn－1

a1－anq1

，可得q＝， 1－q2

可解得n＝6.

将②代入Sn＝由an＝a1qn－1

a1－anq，可得q＝2， 1－q可解得n＝6.

1

故n＝6，q＝或2.

2

33an*

10．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N.

52an＋1

1

为等比数列； －1(1)求证：数列an

111

(2)记Sn＝＋＋……＋，若Sn<100，求最大正整数n.

a1a2an解析：(1)因为所以

1

21＝＋， an＋133an1

11－1＝－. an＋13an3

1

又因为－1≠0，

a1

1*

所以－1≠0(n∈N)．

an－1

1

所以＝，

13－1

1

an＋1an12又－1＝， a13

121

所以－1是首项为，公比为的等比数列．

33an

121n－1

(2)由(1)可得－1＝·，

an3311n所以＝2·＋1.

an3

Sn＝＋＋…＋ a1a2an111

＝n＋2＋2＋…＋n

33311

－n＋1331

＝n＋2·＝n＋1－n，

131－3

11

若Sn<100，则n＋1－n<100，因为函数y＝n＋1－n单调递增，所以最大正整数n的值为

3399.

111

[能力提升](20分钟，40分)

11．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n等于( ) 1n14nA.(2－1) B.(1－2) 35

2

2

2

2

2

2

1n1nC.(4－1) D.(1－2) 33

解析：在数列{an}中，由a1＝1，an＋1＝2an， 可得an＝2

2

n－1

，

2

2

2

2

则Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n ＝1－4＋16－＋…＋4

2n2n－2

2

－4

2n－1

1－－4112n4n＝＝(1－4)＝(1－2)．故选B. 1－－455答案：B

1*

12．已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N)的最小

8值为________．

a513

解析：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得，数列{an}的公比满足q＝＝，解得qa28

1＝， 2

1

∴a1＝2，a3＝，

21

∴an＝n－2，

21

∴anan＋1＝2n－3，

2又a1a2＝2，a2a31

＝， a1a24

1

∴数列{anan＋1}是以2为首项，为公比的等比数列，

4

1n21－

481n8

∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝1－∈2，，

13431－4

∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1的最小值为2. 答案：2

13．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)设等差数列{an}的公差是d. 依题意a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6， 从而d＝－3.

所以a2＋a7＝2a1＋7d＝－23， 解得a1＝－1.

所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.

(2)由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列． 得an＋bn＝cn－1

，即－3n＋2＋bn＝cn－1

n－1

，

所以bn＝3n－2＋c.

2

所以Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c＋…＋c＝

n－1

)

n3n－1

2

＋(1＋c＋c＋…＋c2n－1

)．

从而当c＝1时，

Sn＝n3n－1

23n＋n＋n＝；

2

2

n3n－11－cn当c≠1时，Sn＝＋. 21－c14．设数列{an}(n＝1,2,3…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

11

(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值．

1 000an

解析：(1)由已知Sn＝2an－a1， 有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2)． 从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1. 又因为a1，a2＋1，a3成等差数列， 即a1＋a3＝2(a2＋1)． 所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)， 解得a1＝2.

所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 故an＝2.

11

(2)由(1)得＝n，

an2

11n1－

111221

所以Tn＝＋2＋…＋n＝＝1－n. 22212

1－21

由|Tn－1|<，

1 000

n11， 得1－n－1<21 000

即2>1 000.

因为2＝512<1 000<1 024＝2， 所以n≥10.

1于是，使|Tn－1|<成立的n的最小值为10.

1 000

9

10

n