初等数论计算题答案

初等数论第三次作业

计算题

1. 求75与105的最大公因数。

解：因为75 = 3错误!未找到引用源。52，105 = 3错误!未找到引用源。到引用源。7，

所以75与105的最大公因数是15。

2. 求66与121的最大公因数。

解：因为66=6×11,121=11×11，

所以66与121的最大公因数是11

3．求不定方程3x - 4y = 1的一切整数解。

答；因为（3,4）= 1，所以不定方程有整数解。

观察知x = 3，y = 2是其一个整数解。

x34t由公式知其一切整数解为y23t，t为整数。

错误!未找5

4．求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。

答；因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。观察知其一个整数解是

x01y03。

x12t于是其一切整数解为y37t，t取一切整数。

5．解同余式3x  1 (mod 7)。

答；因为（3,7）= 1，所以同余式有解且有一个解。

x57t由3x - 7y = 1得y23t，

所以同余式的解为x5(mod7)

6．解同余式3x  8 (mod 10)。

答；因为（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。由3x10y8得一个解

x06

y01，所以同余式的解为x6(mod10)。

7．解同余式28x  21 (mod 35)。

答：因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x  21(mod 35)有解，且有7个解。同余式28x  21(mod 35)等价于4x  3(mod 5)，解4x  3(mod 5)得x  2(mod 5)，故同余式28x  21(mod 35)的7个解为x  2，7，12，17，22，27，32(mod 35)。

8．解同余式组：

x1(mod3)x2(mod5)。

答；由x1(mod3)得x3k1，将其代入x2(mod5)

得3k12(mod5)，

解得k2(mod5)，即k5t2，

所以x15t7，所以解为x7(mod15)。

9. 求不定方程3x + 2y = 2的一切整数解。

解：因为(3,2) = 1，所以不定方程有整数解。

显然x0,y1是其一个特解，

所以不定方程的一切整数解为错误!未找到引用源。，其中t取一切整数。

10.解同余式4x1(mod5)

答；因为（4,5）= 1，所以同余式有解且有一个解。

x57t由4x - 5y = 1得y23t，

所以同余式的解为x5(mod7)