(完整word版)二次函数知识点复习

二次函数知识点

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念:一般地,形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0,而b， c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2。 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数,b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 y轴 a0 0，0 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y 随x的增大而减小;x0时，y有最小值0． 性质 x0时，y随x的增大而减小；x0时，ya0 向下 开口方向 向上 0，0 顶点坐标 2。 yax2c的性

y轴 随x的增大而增大；x0时,y有最大值0． 质:上加下减.

性质 x0时,y随x的增大而增大；x0时，y随 x的增大而减小；x0时，y有最小值c． x0时,y随x的增大而减小；x0时，y随a的符号 对称轴 y轴 a0 0，c a0 向下 0，c 开口方向 向上 y轴 3。 yaxh的性

2x的增大而增大；x0时，y有最大值c． 质：左加右减.

a的符号 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 xh时，y随x的增大而增大；xh时，ya0 h，0 随x的增大而减小；xh时,y有最小值0． 1

(完整word版)二次函数知识点复习

xh时,y随x的增大而减小；xh时，ya0 4。

向下 h，0 X=h 随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． yaxhk的性质：

2

a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 xh时，y随x的增大而增大;xh时，ya0 h，k 随x的增大而减小;xh时，y有最小值k． xh时,y随x的增大而减小；xh时,ya0 三、二数图平移

1。 平移步骤:

向下 次函象的

h，k X=h 随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． k； 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，2k处,具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k

2。 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减,上加下减”． 方法二：

⑴yax2bxc沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成

yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yax2bxc沿轴平移:向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成ya(xm)2b(xm)c（或

ya(xm)2b(xm)c）

2

(完整word版)二次函数知识点复习

四、二次函数

yaxhk222yaxbxc的比较 与

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即

b4acb2b4acb2yax，其中h，． k2a4a2a4a2yaxbxc图象的画法 五、二次函数

2五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方向、对称轴

及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0,x2，0（若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）。

画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.

2yaxbxc的性质 六、二次函数

b4acb2b 1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．

2a4a2a4acb2bbb当x时，y随x的增大而减小；当x时,y随x的增大而增大；当x时，y有最小值．

4a2a2a2ab4acb2bb 2。 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，时，y随x的．当x2a4a2a2a4acb2bb增大而增大;当x时，y随x的增大而减小;当x时，y有最大值．

4a2a2a七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；

2. 顶点式:ya(xh)2k（a,h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛

物线与x轴有交点，即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上,a的值越大，开口越小,反之a的值越小，开口越大; ⑵ 当a0时,抛物线开口向下，a的值越小,开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小． 2。 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴．

3

(完整word版)二次函数知识点复习

bb ⑴ 在a0的前提下，当b0时，0，即抛物线的对称轴在y轴左侧;当b0时，0，即抛

2a2a物线的对称轴就是y轴；当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2ab0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，bb0，即抛物线的对称轴就是y轴；当b0时，0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a2a总结起来，在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定:对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0 2a 3. 常数项c⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1。 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2。 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小)值，一般选用顶点式； 3。 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况):

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况。 图象与x轴的交点个数:

0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程① 当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，b24acaxbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1。

a2② 当0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数，都有y0； 2'当a0时,图象落在x轴的下方，无论x为任何实数,都有y0．

2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

4

(完整word版)二次函数知识点复习

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号,或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

下面以a0时为例，揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系：

0

0 0 抛物线与x轴有两个交点 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 一元二次方程无实数根。 十一、函数的应用

刹车距离二次函数应用何时获得最大利润

最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x为自变量的二次函数y(m2)x2m2m2的图像经过原点， 则m的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两

个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o—1 x 0 x 0 —1 x A B C D 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔

性的综合题，如：

5已知一条抛物线经过（0,3），（4，6)两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式.

34． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题，如： 已知抛物线yax2bxc(a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－错误!

（1）确定抛物线的解析式;（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

5

(完整word版)二次函数知识点复习

由抛物线的位置确定系数的符号

例1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，O）、（x1，0),且1〈x1<2，与y轴的正半轴的交点

在点(O，2)的下方．下列结论：①a会用待定系数法求二次函数解析式

例2。已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线

2

2

x=2,则抛物线的顶点坐标为（ ）

A（2，-3) B.(2,1） C（2，3) D．(3，2) 答案：C

125例3、已知抛物线y=x+x—．

22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长．

【点评】本题(1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

1例4、 “已知函数yx2bxc的图象经过点A（c，－2），

2求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象;若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整.

点评: 对于第（1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式.对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

1［解答] （1）根据yx2bxc的图象经过点A（c，－2)，图象的对称轴是x=3,

2122cbcc2,得b

3,122b3,解得

c2.所以所求二次函数解析式为y（2)在解析式中令y=0,得

12x3x2.图象如图所示。 212x3x20，解得x135,x235. 2所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是

6

(完整word版)二次函数知识点复习

(35,0).

5令x=3代入解析式,得y,

215所以抛物线yx23x2的顶点坐标为(3,),

225所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,)等等。

2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例5、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元）•与产品的日销售量y（件)之间的关系如下表:

x(元） 123… 5 0 0 y(件） 221… 5 0 0 若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y(件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？

15kb25, 【解析】(1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=—1，b=40，•即一次函数表达

2kb20式为y=—x+40．

(2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

22

w=(x-10）(40-x）=—x+50x-400=-（x-25)+225．

产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：(1）设未知数在“当某某为何值时,什么最大（或最小、最省)\"的设问中，•“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例6、你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( )

A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B

二次函数单元测评

7

(完整word版)二次函数知识点复习

一、选择题

1.下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ )

A. B。 C. D。

2. 函数y=x2—2x+3的图象的顶点坐标是（ ）

A. （1，—4） B.(—1,2） C。 (1,2) D。（0，3） 3. 抛物线y=2（x—3）2的顶点在（ ）

A. 第一象限 B。 第二象限 C。 x轴上 D. y轴上 4. 抛物线

的对称轴是( )

A.

x=—2 B.x=2 C。 x=-4 D。 x=4

知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ) ab〉0，c>0 B。 ab>0，c<0 ab<0，c〉0 D. ab〈0，c<0

5. 已

A.

C.

6.

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点A。 一 B。 二 C. 三 D. 四

在第___象限（ ）

7。 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象的顶点P的横坐标图象交x轴于点A(m，0)和点B,且m〉4，那么AB的长是（ ） A。 4+m B。 m C。 2m-8 D. 8-2m

是4，

8.

若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是（ )

称

轴

9。 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对

8

(完整word版)二次函数知识点复习

为直线x=-1，P1（x1，y1）,P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线 上的点，且—1〈x1〈x2，x3〈-1，则y1，y2，y3的大小关系是( )

A。 y1〈y2的函数关系式是（ ） A。二、填空题

11。 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.

12。 若将二次函数y=x2—2x+3配方为y=（x-h)2+k的形式,则y=________. 13. 若抛物线y=x2-2x—3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为_________。

14。 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0）两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15。 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点,交y轴于C点，且△ABC是直角三角形,请写出一个符合要求的二次函数解析式________________。

16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0（m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的

B。

C。

D.

的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线

情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s)满足:(其中g是常数,通常取10m/s2).

若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m。

17。 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0,3）的抛物线的解析式为______________ 18。 已知抛物线y=x2+x+b2经过点

三、解答下列各题

19. 若二次函数的图象的对称轴方程是

,则y1的值是_________.

，并且图象过A（0，-4)和B(4，0）

9

(完整word版)二次函数知识点复习

（1）求此二次函数图象上点A关于对称轴 （2)求此二次函数的解析式；

对称的点A′的坐标；

20.在直角坐标平面内,点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+（k-5）x-（k+4） 的图象交 x轴于点A(x1，0）、B(x2，0），且(x1+1)(x2+1)=—8。 （1)求二次函数解析式;

(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P,求△POC的面积.

21。已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0），点C(0，5），另抛物线经过点（1,8)，M为它的顶点。 （1）求抛物线的解析式； (2)求△MCB的面积S△MCB。

10

(完整word版)二次函数知识点复习

22.某商店销售一种商品，每件的进价为2。50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13。50元时，销售量为500件,而单价每降低1元，就可以多售出200件。请你分析，销售单价多少时，可以获利最大。

11