精选高中模拟试卷
邛崃市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．
2． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④负的是（ ） A．①
B．②
C．③
D．④
．其中符号为
3． 函数f(x)2cos(x)（0，0）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ） A.3 2B.1 C. 2 D. 3
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.
222224． 已知a2，若圆O1：xy2x2ay8a150，圆O2：xy2ax2aya4a40恒有公共点，则a的取值范围为（ ）.
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A．(2,1][3,) B．(,1)(3,) C．[,1][3,) D．(2,1)(3,) 5． 执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（ ）
5353
A．9 B．11 C．13 D．15
6． 设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ） A．y2=4x或y2=8x
B．y2=2x或y2=8x
C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x
7． △ABC的外接圆圆心为O，半径为2，A．﹣3 B．﹣（x）=（ ） A．x3+2x2 A．2
B．x3﹣2x2 C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2
C．﹣2或8 D．2或8 的定义域是（ ）
D．（1，+∞）
9． 设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a﹣5|，9}，∁UA={5，7}，则实数a的值是（ ）
B．8
10．函数
C．
D．3
+
+
=，且|
|=|
|，
在
方向上的投影为（ ）
8． 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，+∞）
11．如图，该程序运行后输出的结果为（ ）
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A．7 B．15 C．31 D．63
12．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
二、填空题
13．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为 ．
14．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是 ． 15．下列说法中，正确的是 ．（填序号）
①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称； ③y=（
x
）﹣是增函数；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0．
16．已知是等差数列，为其公差, 是其前项和，若只有所有正确的序号是___________ ①
②
③
④
⑤
是中的最小项,则可得出的结论中
17．三角形ABC中，AB23,BC2,C60，则三角形ABC的面积为 . 18．向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥，则x﹣y= ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且ABC60，侧面PDC为等边三角形，
o且与底面ABCD垂直，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PADM；
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（Ⅱ）求直线PC与平面DCM所成角的正弦值．
20．若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
21．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]． （1）求实数m的值；
222
（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a+b+c的最小值．
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22．在△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0． （1）求角A的大小；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．
23．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量hx（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式hxfxgx（3x7，m为常数），其中fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求hx的表达式；
（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
24．【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数（1）当（2）当（3）当
时，求函数时，如果函数
的单调区间；
；
不存在极值点，求的取值范围.
时，解关于的不等式
，其中实数为常数，为自然对数的底数.
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邛崃市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题
1． 【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC 所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则
，
，0），B（1，0，0），C（0，
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角P（0，﹣，2），A（0，﹣ 所以=（1，，﹣2），
，0）
，设
=0， 令
， ，
，
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知则则所以
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=
=0，即﹣6+．
=0，解得t=
，
，因为平面PBC⊥平面PDC，
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
2． 【答案】B
【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，
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④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，
∴＞0，
其中符号为负的是②， 故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．
3． 【答案】D
211552.由22k（k），得2k)，∴T1212126555)，则f(0)2cos()3，故选D. （kZ），可得，所以f(x)2cos(2x666【解析】易知周期T2(4． 【答案】C
222O(x1)(ya)(a4)1【解析】由已知，圆的标准方程为，圆O2的标准方程为 222(xa)(ya)(a2) a2，要使两圆恒有公共点，则2|O1O2|2a6，即 ，∵
5a12|a1|2a6，解得a3或3，故答案选C
5． 【答案】C
【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5， 当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9， 当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13， 当a=13时，满足退出循环的条件， 故输出的结果为13， 故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
6． 【答案】 C
2
【解析】解：∵抛物线C方程为y=2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=， ∵以MF为直径的圆过点（0，2），
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∴设A（0，2），可得AF⊥AM， Rt△AOF中，|AF|=
=
，
∴sin∠OAF==，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
∵|MF|=5，|AF|=
∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8
22
因此，抛物线C的方程为y=4x或y=16x．
故选：C．
方法二：
2
∵抛物线C方程为y=2px（p＞0），∴焦点F（，0），
=，
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣， 因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
2
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p﹣10p+16=0，所以p=2或p=8． 22
所以抛物线C的方程为y=4x或y=16x．
故答案C．
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【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
7． 【答案】C
【解析】解：由题意， ++=，得到，又||=||=||，△OAB是等边三角形，所以四边形OCAB是边长为2的菱形， 所以
在
方向上的投影为ACcos30°=2×
=
；
故选C．
【点评】本题考查了向量的投影；解得本题的关键是由题意，画出图形，明确四边形OBAC的形状，利用向量解答．
8． 【答案】A
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【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，
323232
因为当x＞0时，f（x）=x﹣2x所以f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=﹣x﹣2x，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），
32
所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x+2x，故选A．
9． 【答案】D
【解析】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|=3， ∴a=2，或a=8，
故选 D．
10．【答案】A
xx0
【解析】解：由题意得：2﹣1≥0，即2≥1=2，
x
因为2＞1，所以指数函数y=2为增函数，则x≥0．
所以函数的定义域为[0，+∞） 故选A
【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．
11．【答案】如图，该程序运行后输出的结果为（ ） D
【解析】解：因为A=1，s=1
判断框内的条件1≤5成立，执行s=2×1+1=3，i=1+1=2； 判断框内的条件2≤5成立，执行s=2×3+1=7，i=2+1=3； 判断框内的条件3≤5成立，执行s=2×7+1=15，i=3+1=4； 判断框内的条件4≤5成立，执行s=2×15+1=31，i=4+1=5； 判断框内的条件5≤5成立，执行s=2×31+1=63，i=5+1=6；
此时6＞5，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m值应是5． 故答案为5．
【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束．
12．【答案】D
【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； ②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
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故选D
【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．
二、填空题
13．【答案】 ﹣2 ．
n+1*
【解析】解：∵曲线y=x（n∈N），
n
∴y′=（n+1）x，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=x
n+1
*
（n∈N）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），
该切线与x轴的交点的横坐标为xn=∵an=lgxn，
∴an=lgn﹣lg（n+1）， ∴a1+a2+…+a99
，
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2．
故答案为：﹣2．
14．【答案】 m＞1 ．
2
【解析】解：若命题“∃x∈R，x﹣2x+m≤0”是假命题，
2
则命题“∀x∈R，x﹣2x+m＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m＜0， 解得m＞1，
故答案为：m＞1
15．【答案】 ②④
【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误； ②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确； ③y=（
x
）﹣是减函数，故错误；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确． 故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．
16．【答案】①②③④
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【解析】 因为只有确;，故④正确;
，无法判断符号，故⑤错误， 故正确答案①②③④
答案：①②③④
17．【答案】23 【解析】
试题分析：因为ABC中，AB23,BC2,C60，由正弦定理得是
中的最小项，所以
，
，所以
，故①②③正
BCAB，即AC，所以C30，∴B90，ABBC，SABC考点：正弦定理，三角形的面积．
1232，sinA，又23sinA21ABBC23． 2【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab及b、a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正
22弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式
111abcabsinC，ah，(abc)r，等等． 2224R18．【答案】 ﹣12 ．
【解析】解：∵向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥， ∴
==
，
解得x=﹣6，y=6， 故答案为：﹣12．
x﹣y=﹣6﹣6=﹣12．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．
三、解答题
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19．【答案】
o【解析】由底面ABCD为菱形且ABC60，∴ABC，ADC是等边三角形， 取DC中点O，有OADC,OPDC，
∴POA为二面角PCDA的平面角， ∴POA90．
o分别以OA,OC,OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图， 则A(3,0,0),P(0,0,3),D(0,1,0),B(3,2,0),C(0,1,0)． …… 3分
3333,1,),∴DM(,2,),2222 3),0),PADM0, PADCPADC(3,0,P∴ PADM …… 6分
（Ⅰ）由M为PB中点，M(（Ⅱ）由DC(0,2,0)，PADC0，∴PADC， ∴ 平面DCM的法向量可取PA(3,0,3), …… 9分 DPC(0,1,3)， 设直线PC与平面DCM所成角为， 则sin|cosPC,PA||zMyBOACPCPA36． |4|PC||PA|626 ．…… 12分 4x即直线PC与平面DCM所成角的正弦值为20．【答案】
【解析】解：由题意可得：
∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
2
∴f（2）﹣f（1）=a﹣a=a，解得a=0（舍去），或a=．
∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
2
∴f（1）﹣f（2）=a﹣a=
，解得a=0（舍去），或a=．
故a的值为或．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3，由题意得（2）由（1）可得a﹣2b+2c=2，
，解得m=2；
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2222222
由柯西不等式可得（a+b+c）[1+（﹣2）+2]≥（a﹣2b+2c）=4， 222
∴a+b+c≥
当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，
222
∴a+b+c的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．
22．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．
2
∴2cosA+3cosA﹣2=0，…2分
∴解得：cosA=，或﹣2（舍去），…4分 又∵0＜A＜π， ∴A=
…6分
，…
（2）∵a=2RsinA=
22222
又∵a=b+c﹣2bccosA=b+c﹣bc≥bc，
∴bc≤3，当且仅当b=c时取等号，… ∴S△ABC=bcsinA=
bc≤
， ． …
∴三角形面积的最大值为
23．【答案】（1） hx101324x7 （3x7）（2） x4.3 x33试
题解析：（1） 因为fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比，
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所以可设：fx则hxfxgxk12 ，gxk2x7，.k10，k20，x3k12k2x7则 ………………………………………2分 x3因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 k14k221k1102h521,h3.569所以，，即，解得：， ……………6分
k44922kk691241024x7 （3x7） ………………………………………8分 所以，hxx31024x7， （2） 由（1）可知，套题每日的销售量hxx3
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分 考点：利用导数求函数最值 24．【答案】（1）单调递增区间为【解析】试题分析：把
；单调递减区间为
，
．（2）
（3），所以函数化为，分
和
，两种情
代入由于对数的真数为正数，函数定义域为
求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入
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况解不等式；当试题解析：
时，，求导，函数不存在极值点，只需
恒成立，根据这个要求得出的范围.
（2）当记当所以当
时，
时，原不等式可化为
，则
时，在
，
单调递增，又
，故不等式解为
；
，显然不成立，
． ．
． ，
时，原不等式可化为
综上，原不等式的解集为
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