高三文科数学数列专题练习

高三文科数学数列专题练习

1.已知数列annN是等比数列,且an0,a12,a38.

(1)求数列an的通项公式; (2)求证:(3)设bn11111； a1a2a3an2log2an1,求数列bn的前

100项和.

1.解：(1)设等比数列an的公比为q. 则由等比数列的通项公式ana1qn1得a3a1q31,q284, 2又an0,q2LL2分 数列an的通项公式是an22n12nLL3分. 数列bn的前100项和是S100100310099 12分210200LL22.数列{an}中，a18，a42，且满足an2an1常数C (1)求常数C和数列的通项公式； (2)设T20|a1||a2|(3)Tn|a1||a2||a20|， |an|,nN 2．解：（1）C＝－2，an10－2n 29n－n , n5(3)Tn 240－9nn, n52n,n为奇数；3.已知数列an=，求S2n 2n－1,n为偶数；4.已知数列an的相邻两项an,an1是关于x的方程x22nxbna11.

0(nN*)的两根,且

(1)求证:数列an12n是等比数列; 3(2)求数列bn的前n项和Sn.

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4.解：证法1:∵an,an1是关于x的方程x22nxbnanan12n,∴bnanan1.0(nN*)的两根,

1n112an2n, 33由anan12n,得an1故数列an1212n是首项为a1,公比为1的等比数列. 3330(nN*)的两根, 证法2:∵an,an1是关于x的方程x22nxbnanan12n,∴bnanan1. 1n11an12n12nan2n1an23133∵, 11n1nan2nan2an2333故数列an1212n是首项为a1,公比为1的等比数列. 333(2)解:由(1)得an∴bnanan11n11n1n21,即an2n1333. 1nnn1212n119 12n1n221. 9∴Sna1a2a3an n1n11122. 325.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？

6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展-来源网络，仅供个人学习参考

旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1，

5本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1.

4(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 7.在等比数列{an}(n∈N*)中，已知a1＞1，q＞0．设bn=log2an，且b1＋b3＋b5=6，b1b3b5=0． (1)求数列{an}、{bn}的通项公式an、bn； (2)若数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与an的大小． 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，

点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上。 （1）求a1和a2的值； （2）求数列{an}，{bn}的通项an和bn； （3）设cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn。 8.解：（1）∵an是Sn与2的等差中项

∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2 ···3分 a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4 （2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，

又Sn—Sn-1=an，(n2,nN*) ∴an=2an-2an-1， ∵an≠0，

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∴

ann

2(n2,nN*)，即数列{an}是等比树立∵a1=2，∴an=2 an1∵点P(bn，bn+1)在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0， ∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1，

···8分

（3）∵cn=(2n-1)2n

∴Tn=a1b1+a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n， ∴2Tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1 因此：-Tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1， 即：-Tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1， ∴Tn=(2n-3)2n+1+6 14129.已知数列an的前n项和为Sn,a1且SnSn1an1， 数列bn满足b1119且3bnbn1n(n2且nN)． 4（１）求an的通项公式； （２）求证：数列bnan为等比数列; （３）求bn前n项和的最小值． 9.解：(1)由2Sn2Sn12an11得2an2an11,anan1……2分 11n……………………………………42411(2)∵3bnbn1n,∴bnbn1n, 3312∴ana1(n1)d分 324332∴由上面两式得bnan1,又b1a1119130

bn1an1344∴bnan1bn11n1n11bn11n11(bn11n3); 34∴数列bnan是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分 (3)由(2)得bnan30(233131n11111)，∴bnan30()n1n30()n1 3324323=130(1)n2(11)120(1)n20，∴bn是递增数列………11分 -来源网络，仅供个人学习参考

当n=1时,b1119<0；当n=2时,b2310<0；当n=3时,b3510<0；当n=4

4443时,

b4710>0，所以,从第49434项起的各项均大于0,故前3项之和最小.

12且S31(135)301010411…………………………13分 10.已知等差数列an的前9项和为153．

（1）求a5； （2）若a2第2n项 ，按原来的顺序组成一个新的数列cn，求数列cn的前n项和Sn. 10.解：（1）S99(a1a9)92a59a5153a517228，，从数列an中，依次取出第二项、第四项、第，……，

………5分 a15 d3（2）设数列an的公差为an3n2a2a1d8d，则a5a14d17 ………9分 Sna2a4a8…a2n3(248…2n)2n3·2n12n6…12分 11.已知曲线C：yex（其中e为自然对数的底数）在点P1,e处的切线与x轴交于点Q1，过点Q1作x轴的垂线交曲线C于点P1，曲线C在点P1处的切线与x轴交于点Q2，过点Q2作x轴的垂线交曲线C于点P2，……，依次下去得到一系列点P1、P2、……、Pn，设点Pn的坐标为xn,yn（nN*）． （Ⅰ）分别求xn与yn的表达式； （Ⅱ）求xiyi． i1n11.解：（Ⅰ）∵yex，

∴曲线C：yex在点P1,e处的切线方程为yeex1，即yex． 此切线与x轴的交点Q1的坐标为0,0， ∴点P1的坐标为0,1．……2分 ∵点Pn的坐标为xn,yn（nN*），

∴曲线C：yex在点Pnxn,yn处的切线方程为yexexxxn，……4分

nn-来源网络，仅供个人学习参考

令y0，得点Qn1的横坐标为xn1xn1．

∴数列xn是以0为首项，1为公差的等差数列． ∴xn1n，yne1n．（nN*）……8分

（Ⅱ）∴xiyix1y1x2y2x3y3.........xnyn

i1n……14分

12.在数列an中，a12,an1ann1(2)2n(nN,0) （1） 求证：数列{ann2()n}是等差数列； （2） 求数列an的前n项和Sn； 12.解：（1）由an1ann1(2)2n,(nN*,0)，可得 所以{ann2()n}是首项为0，公差为1的等差数列. （2）解：因为ann2()nn1即an(n1)n2n,(nN*) 设Tn223(n2)n1(n1)n……① Tn324(n2)n(n1)n1……② 当1时，①②得(1)Tn234n(n1)n1

13.在等差数列an中，公差d  0，且a56， （1）求a4a6的值． （2）当a33时，在数列an中是否存在一项am（m正整数），使得a3，a5，am成等比数列，若存在，求m的值；若不存在，说明理由． （3）若自然数n1 , n2 , n3 ,  , nt , , (t为正整数)满足5a3 , a5 ,an1 , ,ant , 成等比数列，当a32时，用t表示nt

13.解：（1）在等差数列an中，公差d  0，且a56，

则2a5a4a6 , a4a612……………………3分 -来源网络，仅供个人学习参考

（2）在等差数列an中，公差d  0，且a56，a33

a12d333则  d= , a10 ,ann1nN

22a14d6又

a52a3am则363am , 12=3m1 ,  m=9………7分 2（3）在等差数列an中，公差d  0，且a56，a32 则a12d2  d=2 , a12 ,an2n4 ,nN

a14d6a563 , 首项a32， ant23t1 a32又因为公比q又因为an2nt4 ,  2nt423t1 , nt3t12nN…………12分 t14.已知二次函数f(x)ax2bx满足条件:①f(0)(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; f(n)f(1);②f(x)的最小值为1. 84(Ⅱ)设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn,求数列{an}的通项公式; 5(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若5f(an)是bn与an的等差中项,试问数列{bn}中第几项的

值最小?求出这个最小值. 1ab0a121214.解:(1)由题知:a0,解得,故f(x)xx.………2分 122bb21284a4(2)Tna1a2an54an15n1n2n2, (n2), Tn1a1a2(n1)2(n1)2T4annTn15(n2),

n14又a1T11满足上式.所以an5(nN)……………7分

(3)若5f(an)是bn与an的等差中项,则25f(an)bnan, -来源网络，仅供个人学习参考

从而10(1an21an)bnan,得bn5an26an5(an3)29.

22554因为an5n1(nN)是n的减函数,所以

当an3,即n3(nN)时,bn随n的增大而减小,此时最小值为b3;

5当an3,即n4(nN)时,bn随n的增大而增大,此时最小值为b4.

5又a333a455,所以b3b4, 22424即数列{bn}中b3最小,且b356224.…………12分 1255515.已知函数f（x）=x－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与+x轴的交点为（xn+1,0）（nN）， （Ⅰ）用xn表示xn+1； （Ⅱ）若x1=4，记an=lgxn2，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛xn｝的

xn22通项公式； （Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3. 15.解：（Ⅰ）由题可得f'(x)2x． 所以曲线yf(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是：yf(xn)f'(xn)(xxn)． 即y(xn24)2xn(xxn)． 令y0，得(xn24)2xn(xn1xn)． 即xn242xnxn1． 显然xn0，∴xn1xn22xn． xn2xn2(xn2)2(xn2)2（Ⅱ）由xn1，知xn122，同理xn12．

2xn2xn2xn2xnx2x2x2x22lgn 故n1(n)2．从而lgn1，即an12an．所以，数列{an}成

xn12xn2xn12xn2x2x2等比数列．故an2n1a12n1lg12n1lg3．即lgn2n1lg3．

x12xn2从而

xn232xn2n1所以xn2(3332n1n11)12 ，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知xn2(321)2n1n11-来源网络，仅供个人学习参考

bn13211111∴bnxn22n10∴2n2n12n1211

bn331313133当n1时，显然T1b123．当n1时，bn1bn1(1)2bn2(1)n1b1

3331b1[1()n]13∴Tnb1b2bnb11b1(1)n1b133()n3．

133313 综上，Tn3(nN*)．

4n1

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