一元二次方程
、本章知识结构框图
二、具体内容
(一) 、一元二次方程的概念 1理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为 1未知数的最高次数为 2,整式方程，可化为一般形式； 2 •正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
(1 )明确只有当二次项系数 a 0时，整式方程ax2 bx c 0才是一元二次方程。 (2) 各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数 ). (3) 熟练整理方程的过程
3•—元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4 •列出实际问题的一元二次方程 (二) 、一元二次方程的解法
1 •明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而 把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2•根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3•体会不同解法的相互的联系； 4 •值得注意的几个问题：
2 2
(1)开平方法：对于形如 x n或(ax b) n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解 形如x2 n的方程的解法：
当n 0时，x 当 n 0 时，x-i x2 0 ； 当n 0时，方程无实数根。
2
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 配方法的一般步骤：
（x m） n的方程，再运用开平方法求解。
① 移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ② “系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为
1；
③ 配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 ④求解:
若n
（x m）2 n的形式；
0时，方程的解为x m 、、n，若n 0时，方程无实数解。
（3）公式法： 兀二次方程 ax
2
bx c 0(a 0)的根 x -
b b2 4ac
2a
，且这两个实数根不相
当b 4ac 0时，方程有两个实数根
等；
当b 4ac 0时，方程有两个实数根 ，且这两个实数根相等，写为 Xi
2
X2
b ； 2a
；
2当b 4ac 0时，方程无实数根•
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定
2
a,b,c的值；③代入b2 4ac中计算其值，判
断方程是否有实数根；④若 b 4ac 0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一 元二次方程。）
（4） 因式分解法：
① 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 若 ab 0，则 a 0或 b 0 ； ② 因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得 到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5） 选用适当方法解一元二次方程
① 对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次 根式的化简问题。
② 方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6） 解含有字母系数的方程
（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定
0,那么这两个因式至少有一个为
0，即:
不要忘记对字母的取值进行讨论。 （三）、根的判别式
1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值范围。
1） = b2 4ac
②当
0 0
方程无实数根；
时 （ 2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程
ax2 bx c
0 （ a 0）
a 0
①当
0时 a
0
（
方程有实数根；
a0
方程有两个不相等的实数根；当
0时 0时
方程有两个相等的实数
）
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型
（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ① 先计算出判别式（关键步骤）； ② 用配方法将判别式恒等变形； ③ 判断判别式的符号； ④ 总结出结论 .
例：求证：方程 （a2 1）x2 2ax （a2 4） 0 无实数根。
（ 4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方 程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为 程可能会有两个实数根或无实数根。
（ 5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面 分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧
（ 6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （ 7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 （四）、一元二次方程的应用
1. 数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
2. 几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要
0，
次方
结合几何知识检验。
3增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（
a ）,增长率（x）,变化的次数（n ）,
变化后的基数（b ），这四者之间的关系可以用公式 a（1 x）n b表示。 4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去） （五）新题型与代几综合题
（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？
600平方米，在场地的北面有一堵
50
40米、宽10米的仓库，但面积只有 400平方米，不合要求，问应
。
（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄） 符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？ （
36岁）
：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿
⑶已知：
a,b,c分别是 ABC的三边长，当m 0时
2 _ —
，关于x的一元二次方程
c(x2 m)
b（x m） 2 max 0有两个相等的实数根，求证:
ABC是直角三角形。
（4）已知: a,b,c分别是 ABC的三边长，求证：方程 b2x2
(b2
a2 ）x c2 0没有实数根。
（5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2 4x 4
2
4mx 4m 4m 5 0 的根
都是整数？ （ m 1）
(6)已知关于x的方程x2 2x
1 -
2
0，其中m为实数，(1)当m为何值时，方程没有实
x 2x 2m
数根 ? (2)当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。 答案: (1) m 2 (2) x 1, 1 , 2.
(六) 相关练习 (一) 一元二次方程的概念
1
•一 元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一兀
一二次方程的一般形式，再写出二次 一次项，常数项:
(1) 5x2
项,
2
3x (5x , 3x, 2)2
(2) 、2 6x2 15x 0 (6x2,15x, .2)
(3) 3y(y 1) 7(y 2) 5 (3y2, 4y, 9)
(4)
(m m) )
(m .m) (m 2)2 7 5m (2m2,0, 3)
(5) (5a 1)2 4( a 3)2 (3a ,2a, 5)2
2
.应用一元 .次方程的定义求待定系数或其它字母的 值
(1) m为何值时，关于x的方程(
m 2)xm
(m 3)x 4m是一元二次方
程。
⑵若分式罕一
0,则x
3 •由方程的根的定义求字母或代数式值 (1)关于x的一元二次方程(a 1)x2 a2 1 0有一个根为0,则a
(2)
已知关于x的一元二次方程 ax
2
bx c 0(a 0)有一个根为1, 一个根为
(0, 0)
(m -2 )
,则a b c
12 2
(3) 已知c为实数，并且关于x的一元二次方程 x 3x c 0的一个根的相反数是方程 x
2
3x c 0
的一个根，求方程x 3x c 0的根及c的值。
(0,-3, c=0)
(二)一元二次方程的解法 1.开平方法解下列方程： (1) 5x 125
0 (捲 5,x2 5)
(3) y2 361 0 (原方程无实根) 2(5)
2(3x 1) 1 2.5 5
3
2.配方法解方程： (1) x2 2x 5 0 (x 1
、
6 )
(3) 2y 4y 3
2
2
(2) 169(x 3) (4) (1 .. 3)m2 0 2
) y 5y 1 0 2
(m1
x
56 13，x2
2 0)
m(2(3. 公式法解下列方程:
(1) 3x 6x 2
2
3 .3 (2) p2 3 2. 3p ( Pi P2 . 3 )
3
2
11 (3) 7y 11y ( yi
7,y2
(5) x 2 (x 2)(2x
1) 3
4.因式分解法解下列方程: (1)
1 ( x 6)
4
x2
9 0 (3) 8x2
10x 3 0 (X1 1
X
4
(5) 6x2
3、3x 2 2x 6 ( x1
(7) (x2 3x)2 2(x2 3) 8 0 (x1
3
-)
2
-3 2，x2
2,x2
2
(4) 9n 5n 2 (原方程无实数根)
2 _
(2)
y 4y 45 0 ( y1
(4)
7x2
. 21x 0 (人
2
(6) (x 5) 2(x 5) 1 ( 1, X3 4凶 1 )
9,y2
5)
0也
.3 )
x-i
X2 6)
5•解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）
(1) .. 2(2x 7)
2
.128 ( x - . 2) (2) 2m m 1
2 2 2
2(m 2m) (m
2
(3) 6x(x 2) (x 2)(x
3) (4)yL2
y(3 2y) y(3y 1)
3
2 3
2 2
(5) 81(2x
5) 144(x 3)
6 •解含有字母系数的方程解关于x的方程）：（
(1x 2mx m n 0
2 2 2
) (2) x 3a 4ax 2a 1 2 2
2
(3) (m n)x
2nx m n (m n 0)
(4) a2(x2 x 1) a(x2 1) (a2 1)x
(Xi
2K
3 -) 5
(X27 1
10
(x-i m n, x2
m n)
3a 1,x2 a 1)
1, X2
（讨论a）
(三)一元二次方程的根的判别式
1不解方程判别方程根的情况：
2 2
(1) 4x x 3 7x (有两个不等的实数根) (2) 3(x
2) 4x (无实数根)
(3) 4x2
5 4、.5x
(有两个相等的实数根)
2. k为何值时，关于x的二次方程kx2 6x 9 0
(1)有两个不等的实数根 (k 1且 k 0)
(2)有两个相等的实数根 (k 1) (3)无实数根 (k
1)
3•已知关于x的方程 4x2 (m 2)x
1 m 有两个相等的实数根 求m的值和这个方程的根.
(m 2, x1
1 x2 或 m 10, 2
捲 x2
4 .若方程 x2 2(a 1)x a2
4a 5 0有实数根，求：正整数 a. ( a 1, a 2, a 3)
2 2 2
5.对任意实数 m,求证：关于x的方程(m 1)x 2mx m
4 0无实数根.
3
2)
（当k 1 0时，原方程有一个实数根,
k 1
k 1 0 时, 解得
21，所以当k
21
4
且k 1时方程有两个实数根。
0 k
综上所述，当21
k 4
时, 方程有实数根 •）
7 .设m为整数, 40时，方程x2
2
2（ 2m 3）x 4m 14m
8 0有两个相异整数根，
求
的值及方程的（当 m =12时，方程的根为x-j 16, x2 26 ；当m=24时，方程的根为x1 38, x2
根。
（四）一元二次方程的应用
m 52)
1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积 3， 4， 5，面积为 6）
2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少 求这个两位数 .（84）
4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小 4，
3．某印刷厂在四年印刷 1997 万册书，已知第 后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？
年印刷了 342 万册，第二年印刷了 500万册，如果以
（550, 605）
4．某人把 5000 元存入银行，定期一年到期后取出 还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是
300 元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期 275元，求存款的年利率？（不计利息税）
（10%）
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出 20 件，每件盈利 40元， 为了扩大销售增加盈利，尽快减
1 元，商场每天可多售 出 2 件，
少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价
若商场平均每天要盈利 1200元，每件衬衫应降价多少元？ （ 20元）
6.已知甲乙两人分别从正方形广场 ABCD的顶点B、C同时出发，甲由 C向D运动，乙由B向C运动,
甲的速度为每分钟 1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为 40千米，问几分钟后，两人相距
210
千米？ （2分钟后）
7.某科技公司研制一种新产品， 决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品， 签订的合同上约定两
年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路，使公司在两年到期时除还清 贷款的本金和利息外，还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同 百分数.（20%）
，试求这个
&如图，东西和南北向两条街道交于 O点，甲沿东西道由西向东走,
速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒 的位置。（甲离O84米，乙离O13米） 9•已知关于x的方程（n 1）x2 mx 1
3米，当乙通
过O点又继续前进50米时，甲刚好通过 O点，求这两人在相距 85米 时，每个人
0①有两个相等的实数根•
东
（1） 求证：关于y的方程m2y2 2my m2 2n2 3 0②必有两个相等的实数根。 （2）
根，求代数式
若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个m2n 12n的值。（14）
k
10. 一次函数y x 6和反比例函数 y — , （1） k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图
x
象有两个交点？（ 2）设（1）中的两个公共点为 A、B, AOB是锐角还是钝角？ （ k 9且k 0 ；钝角）
