一、小球放盒子问题（分组问题）
（1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。
解析：分步乘法计数原理， 每个小球都有六种放法 答案：66。
（2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。
解析：思路一：分步乘法计数原理， 第一个小球有6种放法
第二个小球有5种放法 !
……
第六个小球有1种放法 即6*5*4*3*2*1；
思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A6 6。 答案：720。
（3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。 解析：平均分组的问题
因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6个小球编号为ABCDEF， 首先从6个球中选出2个，为C2 6； —
然后从剩下的4个球中选出2个，为C2 4； 最后剩下2个球，为C2 2；
2
但是：C2 6取出AB球、C4取出CD球、剩EF球；
2
C2 6取出AB球、C4取出EF球、剩CD球；
2
C2 6取出CD球、C4取出AB球、剩EF球；
2
C2 6取出CD球、C4取出EF球、剩AB球；
2
C2 6取出EF球、C4取出AB球、剩CD球；
2
C2 6取出EF球、C4取出CD球、剩AB球；
2 2 3
得到的结果是一样的，故按照C2 6C4C2组合完成后还应除去A3，
2 2 3
答案：C2 6C4C2/A3
~
（4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。 解析：平均分组后再分配的问题
2 2 3
平均分组得到的结果为C2 6C4C2/A3，分完组后三堆小球还要放到不同的盒 子里，即再进行一个A3 3的排列
2 2
答案：C2 6C4C2
（5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。 解析：非平均分组的问题
因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆， ]
首先从6个球中选出1个，为C1 6； 然后从剩下的5个球中选出2个，为C2 5； 最后剩下3个球，为C3 3；
注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，
2 3 3
因此C1 6C5C3即为最后结果，不需要再除以A3
2 3
答案：C1 6C5C3
（6）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个不同的盒子里。 解析：非平均分组再分配的问题
2 3 3
非平均分组得到的结果为C1 6C5C3/A3，分完组后三堆小球还要放到不同的 ,
盒子里，即再进行一个A3 3的排列
2 3 3
答案：C1 6C5C3A3
（7）6个不同的小球按1、1、1、3的数量，分别放到4个相同的盒子里。 解析：部分平均分组的问题
分成的四堆中，有三堆数量一样，设想6个小球编号为ABCDEF， 首先从6个球中选出3个，为C3 6； 然后从剩下的3个球中选出1个，为C1 3； 再从剩下的2个球中选出1个，为C1 2； 最后剩下1个球，为C1 1； |
1 1
但是：C3 6取出ABC球、C3取出D球、C2取出E球、剩F球；
1 1
C3 6取出ABC球、C3取出D球、C2取出F球、剩E球；
1 1
C3 6取出ABC球、C3取出E球、C2取出D球、剩F球；
1 1
C3 6取出ABC球、C3取出E球、C2取出F球、剩D球；
1 1
C3 6取出ABC球、C3取出F球、C2取出D球、剩E球；
1 1
C3 6取出ABC球、C3取出F球、C2取出E球、剩D球；
1 1 1 3
得到的结果是一样的，故按照C3 6C3C2C1组合完成后还应除去A3，
1 1 1 3
答案：C3 6C3C2C1/A3
（8）6个不同的小球按1、1、1、3的数量，分别放到4个不同的盒子里。 【
解析：部分平均分组再分配的问题
1 1 1 3
部分平均分组得到的结果为C3 6C3C2C1/A3，分完组后四堆小球还要放到不 同的盒子里，即再进行一个A4 4的排列
1 1 1 3 4
答案：(C3 6C3C2C1/A3)A4
（9）6个不同的小球按1、1、2、2的数量，分别放到4个相同的盒子里。 解析：部分平均分组再分配的问题
2 1 2 2
答案：C2 6C4C2/（A2A2）
（10）6个不同的小球按1、1、2、2的数量，分别放到4个不同的盒子里。 ]
解析：部分平均分组再分配的问题
2 1 2 2 4
答案：[C2 6C4C2/（A2A2）]A4
（11）6个不同的小球放到5个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。
解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案，5个盒 子6个球，满足每盒至少一个，那么有且只有一个盒子放2个，其他盒子 放一个；即小球按照2、1、1、1、1的数量，分别放到5个不同的盒子中。
1 1 1 1 4 6
答案：（C2 6C4C3C2C1/A4）A6
（12）6个不同的小球放到3个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。
解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案： —
1 4 2 3
1 1 4，部分平均分组再分配的问题：（C1 6C5C4/A2)A3
2 3 3
1 2 3，非平均分组再分配的问题的问题：C1 6C5C3A3
2 2
2 2 2，完全平均分组再分配的问题：C2 6C4C2
1 4 2 3 1 2 3 3 2 2 2
答案：（C1 6C5C4/A2)A3+C6C5C3A3+C6C4C2
（13）6个相同的小球放到3个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。 解析：思路一：首先应该确定小球个数的分配方案，再分类讨论：
1 1 4，小球相同小盒不同，只需选出一个盒子装4个小球：C1 3 1 2 3，3堆不同数量的小球，排序后往3个不同的盒子里装：A3 3 2 2 2，每个盒子装2个小球，只有一种方案：1 -
思路二：隔板法
__ __ __ __ __
相当于在6个小球之间放2个板儿 第一个板儿左侧的球放第一个盒子里 两个板儿中间的球放第二个盒子里 第二个板儿右侧的球放第三个盒子里
3
答案：C1 3+A3+1
（14）6个不同的小球放到3个相同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。 解析：分类讨论分组的问题，首先应该确定小球个数的分配方案： —
1 4 2
1 1 4，部分平均分组的问题：C1 6C5C4/A2
2 3
1 2 3，非平均分组的问题：C1 6C5C3
2 2 3
2 2 2，平均分组的问题：C2 6C4C2/A3
1 4 2 1 2 3 2 2 2 3
答案：C1 6C5C4/A2+C6C5C3+C6C4C2/A3
（15）6个相同的小球放到3个相同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。 解析：首先应该确定小球个数的分配方案： 1 1 4 1 2 3 2 2 2
因为盒子没有区别，随便放，则小球的分配方案就是最后的方案 答案：3 》
二、排列的捆绑法
（1）6个座位坐6个人，要求甲乙丙3个人必须相邻；
解析：将甲乙丙三个人捆绑为一个元素，与另外三个人进行排列A4 4，然后对甲乙 丙松绑A3 3。
甲 乙 丙 人 人 人 —
3
答案：A4 4A3
（2）6个座位坐甲乙丙3个人，要求3个人必须相邻；
解析：将甲乙丙三个人捆绑为一个元素，与三个空位进行排列A1 4，然后对甲乙丙 松绑A3 3。
甲 乙 丙 空位 空位 空位 <
3
答案：A1 4A3
（3）6个座位坐3个人，要求3个空位相邻；
解析：将三个空位捆绑为一个元素，与三个人进行排列A4 4。 人 空位 空位 空位 人 人 】
注意：空位不用进行松绑。 答案：A4 4
三、排列的插空法
（1）6个座位坐6个人，要求甲乙丙3个人不相邻；
3 3 3
解析：先排另外的三个人A3 。 3，再将甲乙丙进行插空排列A4（C4A3）
: 人 人 ________ ________ ________ ________
3
答案：A3 3A4
（2）6个座位坐甲乙丙3个人，要求这3个人都不相邻； 解析：只需将空座位摆上，甲乙丙进行插空排列A3 4即可
空位 空位 空位 ~
________ ________ ________ ________
答案：A3 4
（3）6个座位坐3个人，要求这3个空位都不相邻；
3
解析：先排三个人A3 3，再将空位进行插空C4
人 人 ________ 人 ________ ________ ________ /
注意：空位插空时只选不排，因此不是A3 4
3
答案：A3 3C4
四、捆绑法和插空法相结合
（1）6个座位坐6个人，甲乙相邻，丙与甲乙都不相邻；
2 2
解析：先排三个人A3 3，甲乙整体捆绑后和丙进行插空A4，再将甲乙松绑A2
人 人 人 {
________ ________ ________ ________
2 2
答案：A3 3A4A2
（2）6个座位坐3个人，要求甲乙相邻，丙与甲乙都不相邻；
2
解析：需将空座位摆上，甲乙整体捆绑后和丙进行插空A2 4，再将甲乙松绑A2
空位 空位 ________ ________ 空位 ________ ________ ~
2
答案：A2 4A2
（3）6个座位坐3个人，要求两个空位相邻，另一个空位不相邻；
2
解析：先排三个人A3 3，再将空位进行插空A4
人 人 人 ________ ________ ________ ________ 注意：空位不用松绑 &
2
答案：A3 3A4
五、两类人和多面手的问题
（1）11个人中5人会唱，6人会跳，从中选出6个人去参加晚会。 解析：选出去6个人没有任何，从11个人中任意选择即可
0 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1
C6 11=C5C6+C5C6+C5C6+C5C6+C5C6+C5C6 答案：C6 11
（2）11个人中5人会唱，6人会跳，从中选出6个人去参加晚会，会唱和会跳的都不少
于两个人。 、
解析：分类讨论，确定会唱和会跳的人数的可能情况
2人唱4人跳 3人唱3人跳 4人唱2人跳
4 3 3 4 2
C2 5C6+C5C6+C5C6
4 3 3 4 2
答案：C2 5C6+C5C6+C5C6
（3）11个人中4人会唱，5人会跳，还有2个既会唱又会跳，从中选出3个会唱3个会
跳的去参加晚会。
解析：有多面手参与，分类讨论
{
3
没有多面手参与的情况：C3 4C5 有一个多面手参与的情况：先用C1 2选出被选中的多面手，
2 3
多面手唱：C1 2C4C5
3 2
多面手跳：C1 2C4C5
有两个多面手参与的情况
3
两个多面手都唱：C1 4C5
1
两个多面手都跳：C3 4C5
2 2
多面手一个唱一个跳：C2 4C5A2
3 1 2 3 1 3 2 1 3 3 1 2 2 2
答案：C3 4C5 +（C2C4C5+C2C4C5）+（C4C5+C4C5+C4C5A2）
（4）将8名医护人员（3医生、5护士）分配到甲乙两所医院，有多少种方案
解析：思路一：每个人都有两种分配方法，用分步乘法计数原理：28 、
1 2 3 4 5 6 7 8
思路二：用分组的思想：C0 8+C8+C8+C8+C8+C8+C8+C8+C8 C0 8代表将0个人分配到医院甲，8个人分配到医院乙； C1 8代表将1个人分配到医院甲，7个人分配到医院乙； C2 8代表将2个人分配到医院甲，6个人分配到医院乙； C3 8代表将3个人分配到医院甲，5个人分配到医院乙； C4 8代表将4个人分配到医院甲，4个人分配到医院乙； C5 8代表将5个人分配到医院甲，3个人分配到医院乙； C6 8代表将6个人分配到医院甲，2个人分配到医院乙； C7 8代表将7个人分配到医院甲，1个人分配到医院乙； C8 8代表将8个人分配到医院甲，0个人分配到医院乙； ￥
注意：连接思路一和思路二的桥梁正是二项式定理，而思路而又能拆解成如下形 式，想一想为什么。
8 =C0 +C1 +C2 +C3 +C4 +C5 +C6 +C7 +C8 。 28=（1+1）888888888
0 0
C0 8=C3C5；
0 1 1 0
C1 8=C3C5+C3C5；
0 2 1 1 2 0
C2 8=C3C5+C3C5+C3C5；
0 3 1 2 2 1 3 0
C3 8=C3C5+C3C5+C3C5+C3C5；
0 4 1 3 2 2 3 1
C4 8=C3C5+C3C5+C3C5+C3C5；
0 5 1 4 2 3 3 2
C5 8=C3C5+C3C5+C3C5+C3C5；
1 5 2 4 3 3
C6 8=C3C5+C3C5+C3C5；
2 5 3 4
C7 8=C3C5+C3C5；
3 5
C8 8=C3C5。 答案：28 六、隔板法
（1）6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放一本书
解析：先把6本书并排成一排，它们之间有5个空，在5个空中选出3个空放3 个板。6本书自动被隔成了四组，对应着四个盒子放入即可。
注意：经典隔板法的条件是：对相同元素进行分组；每组至少含有一个元素。 答案：C3 5
（2）10本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放两本书
解析：思路一：10本书拿出4本来，分别放到4个盒子中，就变成了问题（1） 思路二：分类讨论，首先确定书的数量的分法 2 2 2 4 C1 4选出一个盒子放4本书 2 3 3 2 C2 4选出两个盒子放3本书
2 1
答案：C3 5=C4+C4
（3）X+Y+Z=10，X、Y、Z属于正整数
（4）X+Y+Z=10，X、Y、Z属于正整数，且X≥2，Y≥2，Z≥2。 （5）X+Y+Z=10，X、Y、Z属于非负整数
