洛阳市2018年中招模拟试卷（一）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.在实数0，－1.5,1，－5中，比－2小的数是（ ）A. 0 B. －1.5 C. 1 D. －5 2.据统计，2017年，我国国内生产总值达到82.7万亿元，数据“82.7万亿”用科学计数法表示为（ ）
12131213
A. 82.7×10 B. 8.27×10 C. 8.27×10 D. 82.7×10 3.下列运算正确的是（ ）
A.8 －2＝2 B.（－3）2＝6 C.3a4－2a2＝a2 D.（－a3）2＝a5
4.如图所示是8个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
x＞－1
5.把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
x＋2≤3
A. B. C. D.
6.某校九年级（1）班全体学生进行体育测试的成绩（满分70分）统计如表：根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
成绩（分） 人数（人） 45 2 50 6 55 10 60 7 65 6 68 5 70 4 A. 该班一共有40名同学 C.该班学生这次测试成绩的众数是55分 B. 该班学生这次测试成绩的中位数是60分 D.该班学生这次测试成绩的平均数是59分
1
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°,分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两
2弧相交于点M和N点,作直线MN交AB于点D，交BC于点E，若AC＝3,BC＝4,则DE等于（ ） A. 2 B.
10 1515 C. D. 382
8.关于x的一元二次方程（a－5）x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）
A.a≥1且a≠5 B. a＞1且a≠5 C. a≥1 D. a＞1
9.如图，平面直角坐标系中，直线y＝－x＋a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点3
A,与反比例函数y＝－（x＜0）的图像交与点C，若BA∶AC＝2∶1,则a的值为（ ）
x
A. －3 B. －2 C. 3 D. 2
10．如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点设AC＝2，BD＝1,AP＝x，△AMN的面积为y，则y与x的函数图像的大致形状是（ ）
A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）
x＋11
11.计算：2 ＋＝ .
x－11－x
12.如图，把一块等腰直角三角形的三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝115°，那么∠2是 度.
13.如图是两个质地均匀的转盘，现转动转盘①和转盘②各一次，则两个转盘指针都指向红的部分的概率为 .
14.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为弧AB的中点，D是OA的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2.
15.如图在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G处，当△CGB为等腰三角形时，则AP的长为 .
B
CO三、解答题（本大题共8小
题，共75分）
DA16.（8分）先化简再求值 （a＋2b）（a－2b）－(a－b)2＋5b(a＋b),其中a＝2－3，b＝2＋3.
17.（9分）中华文明,源远流长：中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分。为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 频数 10 20 30 a 80 频率 0.05 0.10 b 0.30 0.40 请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a＝___ ，b＝___ ； (2)请补全频数分布直方图； (3)这次比赛成绩的中位数会落在___分数段；
(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人?
18.（9分）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD.
(1)求证：FD是⊙O的切线；
3
(2)若⊙O的半径为5，sinF＝，求DF的长。
5
19.（9分）如图所示,某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端点Q的仰角为31°,沿水平地面向前走100米到达B处,测得信号塔顶端P的仰角是68∘,求信号塔PQ的高度.(结果精确到0.1米,参考数据：sin68∘≈0.93,cos68∘≈0.37,tan68∘≈2.48,tan31∘≈0.60,sin31∘≈0.52,cos31∘≈0.86)
k
20.（9分）如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标是(3,3),AB⊥x轴于点B,反比例函数y＝的图象中的一支x经过线段OA上一点M，交AB于点N，已知OM＝2AM. (1)求反比例函数的解析式；
(2)若直线MN交y轴于点C，求△OMC的面积。
y AC MN
xO
21.（10分）某通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案： 方案A:按流量计费，0.1元/M；
方案B:20元流量套餐包月，包含500M流量，如果超过500M，超过部分另外计费（见图象），如果用到1000M时，超过1000M的流量不再收费； 方案C:120元包月，无使用.
用x表示每月上网流量(单位：M),y表示每月的流量费用(单位：元)，方案B和方案C对应的y关于x的函数图象如图所示，请解决以下问题：
(1)写出方案A的函数解析式，并在图中画出其图象； (2)直接写出方案B的函数解析式；
(3)若甲乙两人每月使用流量分别在300—600M，800—1200M之间，请你分别给出甲乙二人经济合理的选择方案.
22.（10分）在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.
(1)如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，
易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；
(2)将图1中的Rt△EGF绕点O顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘). 如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出写出线段MN的长；
(3) 图3, 旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN的数量关系是 ；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是 .
GF GFCCMN GCNMF
ABABEDD（E） ABD（E）图3图2图1
1
23. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝−x＋2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y＝ax2
23
＋bx＋c关于直线x＝对称，且经过A. C两点，与x轴交于另一点为B.
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ的⊥最大值，并求此时△APC的面积；
y(3)在抛物线的对称轴上找出使△ADC为直角三角形的点D,直接写出点D的坐标.
P
CQ AOB
x洛阳市2018年中招模拟试卷（一）数学试卷参
一、选择题
1－5： DBABC, 6－10: DCADC 二、填空题
2 ＋－23－33
11. 0 12. 70° 13. 14. 15. 1或 822三、解答题
16.解：原式＝a2－4b2－(a2－2ab＋b2)＋5ab＋5b2
＝a2－4b2－a2＋2ab－b2＋5ab＋5b2 .......3分 ＝7ab ......6分
频数学生人数807060 当a＝2－3，b＝2＋3时
50 原式＝7（2－3）（2＋3）＝7（4－3）＝7 .......8分 4017.解：（1）a＝60；b＝0.15； .......2分 3020 （2）如图 .......4分 100（3） 80≤x＜90； .......6分 80＋60
（4）×3000＝2100（人） .......8分
200
5060708090100成绩/分 答：该校参加这次比赛的3000名学生中 成绩“优”等约有2100人....9分
18.（1）证明：∵∠CDB＝∠CAB,∠CDB＝∠BFD,
D ∴∠CAB＝∠BFD, ......2分
∴FD∥AC
∵∠AEO＝90° ∴∠FDO＝90°
FA ∴FD是⊙O的切线； .......4分
33
(2)解：∵AE∥FD,AO＝BO＝5, sinF＝ sin∠ACB＝ 55 ∴AB＝10,AC＝8,
∵DO⊥AC ∴AE＝EC＝4,AO＝5 ∴EO＝3 ∵AE∥DF ∴△AEO∽△FDO ....7分
AEEO3420
∴＝ ∴＝ ∴FD＝ ......9分
FDDO5FD319.解：延长PQ交直线AB于点M,
则∠PMA＝90° 设PM的长为x米 根据题意得∠PAM＝45°∠PBM＝68
∠QAM＝31° AB＝100
∴在 Rt△PAM中，AM＝PM＝x
BM＝AM－AB＝x－100 .........2分
PMx
在Rt△PBM中 ∵tan∠PBM＝ 即tan68°＝
BMx－100 解得x≈167.57 ∴AM＝PM≈167.57 ..........5分 QM
在Rt△QAM中 ∵tan∠QAM＝
AM
∴QM＝AM*tan∠QAM≈167.57×tan31≈100.54 ........8分 ∴PQ＝PM－QM＝167.57－100.54≈67.0(米)
因此，信号塔PQ的高度约为67.0米. .........9分
20.解：（1）过点M作MH⊥x轴于点H ∵AB⊥x轴于点B
∴MH∥AB ∴△OMH∽△OAB
CEOBPQABMyCMOANxHBOHMHOM
∴＝ ＝ ........2分
OBABOA ∵A点的坐标是（3,3） OM＝2AM OM2
∴OB＝3 AB＝3 ＝
OA3 ∴OH＝2 MH＝2 ∴M(2,2)
k
∵点N在反比例函数y＝的图像上 ∴k＝2×2＝4
x4
∴反比例函数的解析式为y＝ ..........4分
x （2）∵AB⊥x轴 A(3,3) ∴N点的横坐标为3
44445
把x＝3代入y＝ 得y＝ ∴N点的坐标为（3，） ∴AN＝3－＝
x3333OCOM10
∵OC∥AN ∴＝ ＝2 ∴OC＝2AN＝ ANAM3
111010
∴△OMC的面积： OC·OH＝××2＝ .........9分
2233
21.解：（1）方案A的函数解析式为y＝0.1x,图像如图所示：.....3分
（2）如图可知方案B
函数的图像经过 y单位：元方案A（500,20）（1000,130）
方案B130 ∴方案B的解析式为 120方案CQ100 .........6分
80N 20 （0≤x≤500）60 40M20 y=0.22x-90 （500﹤x≤1000）x O5001000单位：M 130 （x﹥1000）
（3）如图设方案A的函数图像与方案B的函数图像交于点M、N,与方案C函数图像交与点Q，则M（200,20），N（200,20），Q（1200,120）.由图像得，甲选用方案B, 乙选用方案A.（上网流量在200M以下的选用方案A，上网流量在200M和750M之间的选用方案B，上网流量在750M和1200M之间的选用方案A，上网流量在1200M以上的选用方案C，上网流量在200M或750M的选用方案A或B费用一样，上网流量是1200M的选用方案A或C费用一样.） .........10分 22.解：（1）EM＝EN;原因如下： ..........1分 ∵∠ACB＝90° AC＝BC D是AB边上的中点 ∴DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45° ∠CDB＝90° ∴∠CDF＋∠FDB＝90°
∵∠GDF＝90° ∴∠GDC＋∠CDF＝90° ∴∠CDM＝∠BDN 在△CDM和△BDN中
∠MCD＝∠B
DC＝DB
∠MDC＝∠BDN
∴△CDM≌△BDN ∴DM＝DN 即EM＝EN .........3分
(2)作DP⊥AC于P,则
∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1 ∵∠CDG＝15° ∴∠MDP＝30° PD
∵cos∠MDP＝
MD ∴DM＝
123＝ DM＝DN
332
GMPNADBCF ∵△MND为等腰直角三角形
2326
∴MN＝×2＝ ......8分
33
(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME .........10分
证明：如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P 则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°
∴AE＝PE ∵AB＝3AE ∴BE＝2AE ∴BE＝2PE 又∵∠MEP＋∠PEN＝90°
∠PEN＋∠NEB＝90°
∴∠MEP＝∠NEB
又∵∠MPE＝∠B＝45°
∴△PME∽△BNE MEPE1
∴＝ ＝ 即EN＝2EM
NEEB2
由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME 1
23.(1)令y＝−x＋2＝0，解得：x＝4，
2
即点A的坐标为(4,0).
3
∵A、B关于直线x＝对称， ∴点B的坐标为(−1,0).
2令x＝0，则y＝2， ∴点C的坐标为(0,2)，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、 B、 C，
GPMNAEDBCFc＝213
∴有a－b＋c＝0解得： a＝−，b＝，c＝2.
22
16a＋4b＋c＝0
13
故抛物线解析式为y＝−x2＋x＋2 ..........2分
22
11
(2)直线AC的解析式为y＝－x＋2,即x＋y−2＝0，
22
113
设点Q的坐标为(m，－m＋2) ；则P点坐标为(m,− m2＋m＋2)，
222
131
∴PQ＝（− m2＋m＋2）－（－m＋2） .........3分
22211
＝− m2＋2m＝－（m－2）2＋2
22
∴当m＝2时，PQ最大＝2 ..........5分
此时点P（2,3）S△PAC＝S梯形OCPM＋S△PMA－S△AOC＝5＋3－4＝4 ........7分 33319319(3)假设存在,设D点的坐标为(,−5)，(,5)，(,1＋)，(,1－).
222222 ............11分 解法如下：设D点的坐标（3
2，m）
△ADC为直角三角形分三种情况：
①当点C为直角顶点时：作DM⊥y轴于M 由△CDMCAO
1M∽△ACO可得：MD ＝CO 1 ∴42＝CM3,CM＝3 ∴OM＝5即D3
1（2
,5）
2 ②同理当点A为直角顶点时可求D3
2(2,−5)
③当点D为直角顶点时: 过D3作MN⊥y轴
由△CDMCD3M∽△D3NA可得：3N
MD ＝ 3AN3
∴n－25＝2n，可得：n2－2n＝154 2 解得：n＝1±192
D319319
3(2,1＋2),D4(2,1－2
) 故D点的坐标为(32,−5)，(32,5)，(31932,1＋2)，(2,1－
19
2).
yMD1CBAOxD2yMD3NCBAODx4
