第9篇

第1讲 随机抽样

【2014年高考会这样考】

1．考查系统抽样、分层抽样的应用．

2．考查利用随机抽样的方法，解决抽取样本的相关参数问题．

对应学生

用书P148

考点梳理

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样

(1)定义：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一定数目的个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．

(2)步骤：假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． ①编号：先将总体的N个个体编号；

NN

②分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；

nn③确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

④获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 【助学·微博】

一条规律

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种n

方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是. N

三个特点

(1)简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个体间无固定间距．

(2)系统抽样的特点：适用于总体中的个体数较多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．

(3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．

考点自测

1．一个班级有5个小组，每一个小组有10名学生，随机编号为1～10.为了了解他们的学习情况，要求抽取每组的2号学生留下来进行问卷调查，这里运用的方法是( )．

A．分层抽样法 C．随机数法

解析 符合系统抽样的特点，故选D. 答案 D

2．为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是( )．

A．总体是240 C．样本是40名学生

B．个体是每一个学生 D．样本容量是40 B．抽签法 D．系统抽样法

解析 总体容量是240，总体是240名学生的身高；个体是每名学生的身高；样本是40名学生的身高；样本容量是40.

答案 D

3．(2013·临沂模拟)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是( )．

A．30,30,30 C．20,30,10

B．30,45,15 D．30,50,10

9011解析 抽取比例是＝，故三校分别抽取的学生人数为3 600×

1203 600＋5 400＋1 800120

11

＝30,5 400×＝45,1 800×＝15.

120120

答案 B

4．某班共有学生54人，学号分别为1～54号，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )．

A．10 C．53

B．16 D．32

解析 该系统抽样的抽样间隔为42－29＝13，故另一同学的学号为3＋13＝16. 答案 B

5．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( )．

A．3,2 C．2,30

B．2,3 D．30,2

解析 因为92＝3×30＋2，所以抽样间隔为3，随机剔除的个体数为2. 答案 A

对应学生

用书P149

考向一 系统抽样

【例1】►从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．

[审题视点] 因为802不能整除80，为了保证“等距”分段，应先剔除2个个体． 解 由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如下：

第一步：先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；

800

第二步：将余下的800辆轿车编号为1,2，„，800，并均匀分成80段，每段含k＝＝8010个个体；

第三步：从第1段即1,2，„，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个编号(如5)作为起始编号；

第四步：从5开始，再将编号为15,25，„，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．

解决系统抽样问题的两个关键步骤为：

(1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义每段抽取一个样本．

(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．

【训练1】 从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )．

A．5,10,15,20,25 C．1,2,3,4,5

B．3,13,23,33,43 D．2,4,6,16,32

解析 间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43.

答案 B考向二 分层抽样

【例2】►某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登1

山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.

4为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：

(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．

[审题视点] (1)设出游泳组各年龄段人数占的比例，利用和登山组的比例关系，建立在总单位所占的比例关系，解方程组求得结果．

(2)据分层抽样的比例关系求得各年龄段人数．

解 (1)设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c， x·40%＋3xb则有＝47.5%，

4xx·10%＋3xc

＝10%， 4x

解得b＝50%，c＝10%，则a＝40%，

即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%. 3

(2)游泳组中，抽取的青年人数为200××40%＝60；

43

抽取的中年人数为200××50%＝75；

43

抽取的老年人数为200××10%＝15.

4

进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：

样本容量n该层抽取的个体数(1)＝； 总体的个数N该层的个体数

(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．

【训练2】 (2012·福建)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．

42

解析 由题意知，女运动员数为42，因此抽取的女运动员人数为28×＝12.

98答案 12

对应学生

用书P150

方法优化17——快速掌握抽样方法的技巧

【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，考查分层抽样方法的题目较多，其次是系统抽样．题型多为选择题、填空题，有的与统计的其它知识或概率综合考查，常以解答题的形式出现，难度较低．

【真题探究】► (2012·江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

[教你审题] 一审 等比例性质； 二审 抽取的样本容量．

33[优美解法] 高二年级学生人数占总数的＝.样本容量为50，则高二年级抽取：

3＋3＋4103

50×＝15(名)学生．

10

[反思] 用分层抽样抽样时，分成的各层标准要一致，互不重叠，各层抽取的比例都等于n

样本容量在总体中的比例，即. N

【试一试】 从某小学随机抽取100名同学，这些同学身高都不低于100厘米，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．现用分层抽样的方法从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组学生中，选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．

解析 由(0.005＋0.010＋0.020＋0.035＋a)×10＝1，得a＝0.030，因此[120,130)，[130,140)，[140,150]三组学生人数分别为：0.3×100＝30,0.20×100＝20,0.10×100＝10，所以，从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为

答案 3

10

×18＝3.

30＋20＋10

对应学生

用书P291

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．(2012·潍坊模拟)为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( )．

A．1 000名运动员是总体 B．每个运动员是个体 C．抽取的100名运动员是样本 D．样本容量是100

解析 所调查的是运动员的年龄，故A，B，C错误，样本容量是100. 答案 D

2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )．

A．简单随机抽样法 C．随机数表法

B．抽签法 D．分层抽样法

解析 总体由差异明显的几部分组成、按比例抽样，为分层抽样． 答案 D

3．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本的老年职工抽取人数为( )．

A．9

B．18

C．27 D．36

解析 设老年职工人数为x人，中年职工人数为2x，所以160＋x＋2x＝430，得x＝90.由题意老年职工抽取人数为

答案 B

4．(2012·四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )．

A．101 C．1 212

解析 甲社区驾驶员的抽样比例为

B．808 D．2 012

121

＝，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为968

90×32

＝18. 160

12＋21＋25＋431011011

＝，由＝，得N＝808.

NNN8

答案 B

5．(2013·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( )．

A．54 C．45 解析 依题意有答案 B

6．从2 013名学生中选出50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随机抽样从2 013人中剔除13人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 013人中，每人入选的概率( )．

1A．都相等，且为

40C．均不相等

解析 每人入选的概率相等，且为答案 B

7．(2013·合肥模拟)某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表所示：

女生 男生 一年级 373 377 二年级 380 370 三年级 y z 50

. 2 013

B．都相等，且为D．不全相等

50

2 013

B．90 D．126

3

×n＝18，由此解得n＝90，即样本容量为90.

3＋5＋7

现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )． A．24 C．16

B．18 D．12

解析 一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×

答案 C

8．(2012·青岛二模)(1)某学校为了了解2013年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法．问题与方法配对正确的是( )．

A．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ C．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ

B．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ

＝16. 2 000

解析 通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法． 答案 A

二、填空题(每小题5分，共20分)

9．体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖，采用的抽样方法是________．

解析 系统抽样的步骤可概括为：总体编号，确定间隔，总体分段，在第一段内确定起始个体编号，以后每段内规则取样等几步．该抽样符合系统抽样的特点．

答案 系统抽样

10．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．

611解析 由已知得抽样比为＝，∴丙组中应抽取的城市数为8×＝2.

2444答案 2

11．某校高级职称教师26人，中级职称教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师抽取了16人，则该校共有教师________人．

5616

解析 设其他教师为x人，则＝，解得x＝52，∴x＋26＋104＝182(人)．

26＋104＋xx答案 182

12．(2013·武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，„，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．

解析 设第1组抽取的号码为b，则第n组抽取的号码为8(n－1)＋b，∴8×(16－1)＋b＝126，∴b＝6，故第1组抽取的号码为6.

答案 6

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：40分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种类之和是( )．

A．4 C．6

B．5 D．7

201

解析 四类食品的每一种被抽到的概率为＝，∴植物油类和果蔬类食品

40＋10＋30＋2051

被抽到的种类之和为(10＋20)×＝6.

5

答案 C

2．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，„，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )．

A．26,16,8 C．25,16,9

B．25,17,8 D．24,17,9

600

解析 由题意知间隔为＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，„，49)，列出不等式

50可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．

答案 B

3．某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，„，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，„，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.

关于上述样本的下列结论中，正确的是( )． A．②，③都不能为系统抽样 C．①，④都可能为系统抽样

B．②，④都不能为分层抽样 D．①，③都可能为分层抽样

解析 ①在1～108之间有4个，109～1之间有3个，190～270之间有3个，符合分层抽样的规律，可能是分层抽样．同时，从第二个数据起每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的；同理③符合分层抽样的规律，可能是分层抽样时，从第二个数据起每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的，故选D.

答案 D

二、填空题(每小题5分，共15分)

4．(2013·沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________．

n11解析 由＝，得n＝33(人)．

600＋500＋550550答案 33 5.

200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号为40组，分别为1～5,6～10，„，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．

解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为40x

200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中抽取x人，则＝，解得x＝20.

200100

答案 37 20

6．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，„，，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，„，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位

数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________． 解析 由m＝8得第8组中抽取的号码的个位数字是8＋8＝16的个位数字6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.

答案 76

三、解答题(共10分)

7．(10分)某机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．

解 用分层抽样方法抽取． 具体实施抽取如下：

107020

(1)∵20∶100＝1∶5，∴＝2，＝14，＝4，

555

∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． (2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，„，69编号，然后用随机数表法抽取14人．

(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．

特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容. 第2讲 用样本估计总体 【2014年高考会这样考】

1．考查频率分布直方图中的相关计算(求解频率、频数等)．

2．考查用样本估计总体中的样本数据的数字特征(平均数、方差、标准差等)．

对应学生

用书P151

考点梳理

1．用样本的频率分布估计总体分布 (1)频率分布表与频率分布直方图

频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下： ①求极差，即一组数据中最大值与最小值的差． ②定组距与组数． ③将数据分组． ④列频率分布表． ⑤画频率分布直方图．

(2)频率分布折线图和总体密度曲线

①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．频率分布折线图的优点是它可以表示数量的多少，直观地反映数量的增减情况，即变化趋势；缺点是它不适合总体分布较多的情况．

②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

(3)茎叶图

①茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．

②对于样本数据较少，但较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶，样本数据为小数时做类似处理．

2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数

在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响而且不唯一．

(2)中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．它不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个，且在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．

(3)平均数

1

样本数据的算术平均数，即x＝(x1＋x2＋„＋xn)，它与每一个样本数据有关，仅有一

n个．

(4)极差

一组数值中最大值与最小值的差，它反映一组数据的波动情况，但极差只考虑两个极端值，可靠性极差．

(5)标准差

①考查样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示：s＝

②标准差的平方s2叫做方差：

1

s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋„＋(xn－x)2]．

n【助学·微博】 一个对比

1[x－x2＋x2－x2＋„＋xn－x2]. n1

频率分布表：优点：能看出分布规律；缺点：不直观．

频率分布直方图：优点：很直观且能看出分布规律；缺点：数据的轻微变化都要重新作图．

茎叶图：优点：很直观，能看出分布规律，还可以添加新数据；缺点：数据少时方便，数据较多时不方便．

两个特性

(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量，各小组频率的和等于1；

(2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和为1.

考点自测

1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是( )．

A．14 C．15

B．16 D．17

15＋15解析 将这组数据从小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位数为＝15.

2答案 C

2．(2012·湖北)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 频数 则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )． A．0.35 C．0.55

B．0.45 D．0.65

[10,20) 2 [20,30) 3 [30,40) 4 [40,50) 5 [50,60) 4 [60,70) 2 9

解析 数据落在区间[10,40)内的频数为9，样本容量为20，所求频率为＝0.45.

20答案 B

3．(2013·西北工大附中测试)如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[6,10)内的频数为( )．

A．12 C．60

B．48 D．80

解析 落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，故频数为0.32×150＝48. 答案 B 4.

如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )．

A．84,4.84 C．85,4

B．84,1.6 D．85,1.6

解析 由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，其余得分为84,84,86,84,87，84×3＋86＋871

故平均分为＝85，方差为[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.

55

答案 D 5．(2012·湖南)

如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

1

(注：方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋„＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，„，xn的平均

n数)

11

解析 x＝(8＋9＋10＋13＋15)＝11，s2＝×(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.

55答案 6.8

对应学生

用书P152

考向一 频率分布直方图的绘制与应用

【例1】►某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数 第一组 分组 [25,30) 低碳族的人数 120 占本组的频率 0.6 第二组 第三组 续表

[30,35) [35,40) 195 100 p 0.5 第四组 第五组 第六组 [40,45) [45,50) [50,55] a 30 15 0.4 0.3 0.3

(1)补全频率分布直方图； (2)求n，a，p的值．

[审题视点] (1)要补全频率分布直方图，关键是计算出第二组的频率；(2)灵活运用关系式：频率频数×组距＝频率，＝频率求解． 组距样本容量

解 (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以小长方形的高为

0.3

＝0.06.频率分布直方图如图所示． 5

120

(2)第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，

0.6200

所以n＝＝1 000.

0.2

195

由(1)知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p＝＝0.65.

300第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.

(1)绘制频率分布直方图时需注意：①制作好频率分布表后可以利用各组的频

频率

率之和是否为1来检验该表是否正确；②频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率．

组距

频率

(2)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：×组距＝频率．

组距【训练1】 (2012·烟台四校联考)据悉2012年山东省高考要将体育成绩作为参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0 m(精确到0.1 m)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示．已知从左到右前5个小组对应矩形的高分别为0.04，0.10,0.14,0.28,0.30，且第6小组的频数是7.

(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；

(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由． 解 (1)由题易知，第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)×1＝0.14， 7∴此次测试的总人数为＝50.

0.14

∴这次铅球测试成绩合格的人数为(0.28×1＋0.30×1＋0.14×1)×50＝36.

(2)直方图中中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相等，前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，

∴中位数位于第4组内．

考向二 茎叶图的应用

【例2】►(2012·临沂模拟)某校甲、乙两名学生的高考备考成绩如下： 甲：612,654,628,9,636,656,634,1,622,638 乙：615,658,621,3,632,659,636,8,627,631 (1)用茎叶图表示两名学生的成绩； (2)分别求两名学生成绩的中位数和平均数．

[审题视点] (1)将十位与百位数字作茎，个位数字作为叶，逐一统计；(2)根据茎叶图分析两组数据得出结论．

解 (1)两名学生成绩的茎叶图如图所示．

(2)将甲、乙两名学生的成绩从小到大排列为： 甲：612,622,628,634,636,638,1,9,654,656 乙：615,621,627,631,632,636,3,8,658,659

636＋638

从以上排列可知甲学生成绩的中位数为＝637，

2632＋636

乙学生成绩的中位数为＝634.

2甲学生成绩的平均数为

12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋56600＋＝637，

10乙学生成绩的平均数为

15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋59600＋＝637.

10

茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位臵只有一个数字，而“茎”的位臵的数

字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位臵的数据．

【训练2】 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下： 甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,,79,80,91,,79,74

用茎叶图表示两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些． 解 茎叶图如图所示(中间的茎为十位上的数字)．

8

由茎叶图容易看出甲组的成绩是对称的，叶的分布有集中在茎8上，乙组的成绩也大

106

致对称，叶的分布有集中在茎8上，从叶在茎上的分布情况看，甲组的成绩更整齐一些．

10

考向三 用样本的数字特征估计总体的数字特征

【例3】►甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．

(1)分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． [审题视点] (1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩；

(2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价． 解 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分. 10＋13＋12＋14＋16x甲＝＝13，

513＋14＋12＋12＋14x乙＝＝13，

5

122222s2甲＝[(10－13)＋(13－13)＋(12－13)＋(14－13)＋(16－13)]＝4， 5122222s2乙＝[(13－13)＋(14－13)＋(12－13)＋(12－13)＋(14－13)]＝0.8. 5

2(2)由s甲＞s2乙可知乙的成绩较稳定．

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．

(1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的

近似．实际应用中，当所得数据平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．

(2)若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小．

【训练3】 (2012·广东)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．

解析 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，

则x＋x

2＝2，

2

3

x1＋x2＋x3＋x4

＝2，

4

x1＋x4＝4，∴ x2＋x3＝4.

又s＝ ＝＝

1[x1－22＋x2－22＋x3－22＋x4－22] 4

1

x1－22＋x2－22＋4－x2－22＋4－x1－22 2

1

2[x1－22＋x2－22] 2

＝1，

∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2. 同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.

由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.

答1,1,3,3

案

对应学生

用书P153

热点突破19——破解频率分布直方图的有关问题

【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，统计图表重点考查频率分布直方图和茎叶图的识图以及相关运算；样本数字特征主要考查平均值和方差．有的以选择题、填空题的形式考查，有的与概率结合以解答题的形式考查，难度中等．

【真题探究】►

(2012·山东)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．

[教你审题] (1)求出平均气温低于22.5 ℃的频率；(2)求样本容量；(3)再求平均气温不低于25.5 ℃的城市个数．

[解法] 由频率分布直方图可知平均温度低于22.5 ℃的频率为(0.10＋0.12)×1＝0.22，设11

样本容量为n，则n＝＝50.故平均气温不低于25.5 ℃城市个数为0.18×1×50＝9.

0.22

[反思] 在频率分布直方图中，由于各个矩形的宽度都是相同的，所以高度相等的矩形面积相等，即这些组距上的频率相等．另外，考生应注意各个组距上样本数据的频率之比等于各个矩形的高之比．

【试一试】 如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是________．

2解析 后两组的频率和是5×(0.012 5＋0.037 5)＝0.25.故第2小组的频率是(1－0.25)×

610

＝0.25，所以抽取的学生人数是＝40.

0.25

答案 40

对应学生

用书P293

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2012·山东)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据．则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )．

A．众数 C．中位数

B．平均数 D．标准差

解析 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．

答案 D

2.

(2012·陕西)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )．

A．46,45,56 C．47,45,56

B．46,45,53 D．45,47,53

45＋47解析 样本共30个，中位数为＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众

2数为45；极差为68－12＝56，故选A.

答案 A

3．(2012·江西)小波一星期的总开支分布如图(a)所示，一星期的食品开支如图(b)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )．

A．30% C．3%

B．10% D．不能确定

解析 由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元．又由题图(a)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为1 000元，所以鸡蛋开支占30总开支的百分比为×100%＝3%.

1 000

答案 C

4．(2012·安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )．

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

解析 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平1

均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4

51

－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9

512

－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．

5

答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2012·茂名二模)如图是某赛季CBA广东东莞银行队甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________．

解析 中位数是将数据按由大到小或由小到大的顺序排列起来，最中间的一个数或中间两个数的平均数．甲比赛得分的中位数为34，乙比赛得分的中位数为24，故其和为58.

答案 58

6．某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图可估计这1 000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生人数是________．

解析 低于60分学生所占频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故低于60分的学生人数为1 000×0.2＝200，所以不低于60分的学生人数为1 000－200＝800.

答案 800

三、解答题(共25分)

7．(12分)(2013·济南模拟)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量，被测学生的身高全部在155 cm到195 cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，„，第八组[190,195]，下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差．

求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图． 频率分布表：

分组 „ [180,185) [185,190) „ 频数 „ x m „ 频率 „ y n „ 频率/组距 „ z p „ 解 由频率分布直方图可知前五组的频率和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第八组的频率是0.008×5＝0.04，所以第六、七组的频率和是1－0.82－0.04＝0.14，所以第八组的人数为50×0.04＝2，第六、七组的总人数为50×0.14＝7.

由已知得x＋m＝7，m－x＝2－m，解得x＝4，m＝3， 所以y＝0.08，n＝0.06，z＝0.016，p＝0.012.

补充完成频率分布直方图如图所示．

8．(13分)(2012·揭阳调研)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和

频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；

(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高． 解 (1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.

2

由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为＝25.

0.08

(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形4的高为÷10＝0.016.

25

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分) 1.

(2012·陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m

甲

，m乙，则( )．

A.x甲m乙 C.x甲>x乙，m甲>m乙 解析 x甲＝

B.x甲x乙，m甲1

(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝16

345， 16

x乙＝457. 16

1

(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝16

∴x甲乙．

又∵m甲＝20，m乙＝29，∴m甲2．(2013·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )．

A．13,12 C．12,13

B．13,13 D．13,14

解析 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝，(8－2d)(8＋4d)＝，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样4＋22×512＋14本的平均数为＝13，中位数为＝13，故选B.

102

答案 B

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．(2013·北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是________________________________．

解析 成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为9

的学生人数为120×＝54.

20

答案 54

4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是________，________.

解析 ∵中位数为10.5，∴

a＋b

＝10.5，a＋b＝21， 2

6＋39

＝，所以成绩在[16,18]

1＋3＋7＋6＋320

2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20

∵x＝＝10，

10∴s2＝1

[(10－2)2＋(10－3)2×2＋(10－7)2＋(10－a)2＋(10－b)2＋(10－12)2＋(10－13.7)210

＋(10－18.3)2＋(10－20)2]．

令y＝(10－a)2＋(10－b)2＝2a2－42a＋221 211a－2＋， ＝222

当a＝10.5时，y取最小值，方差s2也取最小值． ∴a＝10.5，b＝10.5. 答案 10.5 10.5 三、解答题(共25分)

5．(12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对CO2

排放量超过130 g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：

甲 乙 80 100 110 120 120 x 140 y 150 160 经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的均值为x乙＝120 g/km. (1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；

(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x的取值范围． 解 (1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值x120(g/km)，

甲类品牌汽车的CO2排放量的方差

80－1202＋110－1202＋120－1202＋140－1202＋150－1202s甲＝

5

2

甲

＝

80＋110＋120＋140＋150

＝

5

＝600.

(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值x

乙

＝

100＋120＋x＋y＋160

＝

5

120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差

100－1202＋120－1202＋x－1202＋220－x－1202＋160－1202s乙＝，

5

2

2

因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s2解得906．(13分)

已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．

(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；

(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；

(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．

解 (1)由题意，第5组抽出的号码为22.

因为k＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.

(2)因为10名职工的平均体重为 x＝

1

(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71， 10

1

所以样本方差为：s2＝(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.

10

(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．

记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A，它包括的事件有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．

42故所求概率为P(A)＝＝. 105

特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容. 第3讲 变量间的相关关系与统计案例 【2014年高考会这样考】

1．考查利用散点图判断变量之间的关系．

2．考查线性回归方程的计算或回归分析的思想与方法的应用问题． 3．考查性检验的基本思想及应用．

对应学生

用书P154

考点梳理

1．变量间的相关关系

当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫做相关关系，即相关关系是一种非确定性关系．

2．两个变量的线性相关 (1)散点图的定义

将样本中的n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，„，n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．

(2)正相关、负相关

从散点图判断两个变量的相关关系：

正相关：点散布在从左下角到右上角的区域内． 负相关：点散布在从左上角到右下角的区域内． (3)线性相关

从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．

(4)回归方程

①最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据： ^^^

(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，其回归方程为y＝bx＋a，则

 x－xy－yxy－n x ^i＝

i＝1 b＝ 1n＝

n

 x－xx－n x

i＝1i＝1

^^

a＝y－b x.

i

i

ii

i

2

2i

nn

y

，2

(5)相关系数

 xi－xyi－y

r＝

i＝1n

n

，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．

n

 xi－x2 yi－y2

i＝1

i＝1

①当r＞0时，表明两个变量正相关； ②当r＜0时，表明两个变量负相关；

③r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

3．性检验

(1)性检验的有关概念 ①分类变量

可用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量． ②2×2列联表

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

x1 x2 总计 (2)性检验

nad－bc2

利用随机变量K＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两

a＋bc＋da＋cb＋d

2

y1 a c a＋c y2 b d b＋d 总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d 个变量有关系”的方法称为性检验．

步骤如下：

①计算随机变量K2的观测值k，查下表确定临界值k0：

P(K2≥k0) k0 P(K2≥k0) k0 0.50 0.455 0.05 3.841 0.40 0.708 0.025 5.024 0.25 1.323 0.010 6.635 0.15 2.072 0.005 7.879 0.10 2.706 0.001 10.828 ②如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”．

【助学·微博】 一个区别

函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．

三个特征

^^^^^^(1)回归方程y＝bx＋a中的b表示x增加一个单位时，y的变化量约为b.

(2)R2越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．

(3)当K2≥3.841时，则有95%的把握说事件A与B有关； 当K2≥6.635时，则有99%的把握说事件A与B有关； 当K2≤2.706时，则认为事件A与B无关．

考点自测

1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )．

A．正方体的棱长与体积

B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量 C．日照时间与水稻的亩产量 D．电压一定时，电流与电阻

解析 A，B，D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C.

答案 C

2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，„，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )．

A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析 由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．

答案 C

3．(2012·湖南)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，^

根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，„，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )．

A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(x，y)

C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

解析 根据线性回归方程中各系数的意义求解．由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本中心点(x，y)，

因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D不正确．

答案 D

4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )．

A．有99%的人认为该栏目优秀

B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系 C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系

解析 只有K2≥6.635才能有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使K2≥6.635也只是对“电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关．故D正确．

答案 D

5．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显^示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

答0.254

案

对应学生

用书P155

考向一 线性相关关系的判断

【例1】►下表是某小卖部6天卖出的热茶的杯数与当天气温的对比表.

气温/℃ 杯数y 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 －1 (1)将表中的数据画成散点图； (2)你能依据散点图指出气温与热茶杯数的关系吗？

(3)如果气温与卖出热茶杯数近似成线性相关关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系．

[审题视点] (1)用x轴表示气温，y轴表示杯数，逐一画点；(2)根据散点图分析两个变量是否存在相关关系．

解 (1)画出的散点图如图．

(2)从图中可以发现气温和热茶杯数具有相关关系，气温和热茶杯数成负相关，图中的各点大致分布在一条直线的附近，因此气温和杯数近似成线性相关关系．

(3)根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系，如让画出的直线上方的点和下方的点数目相等．如图．

利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法．在散点图中如

果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

【训练1】 5个学生的数学和物理成绩如下表：

学生 B 75 66 C 70 68 D 65 E 60 62 学科 A 数学 物理 80 70 画出散点图，并判断它们是否有相关关系． 解 把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点(xi，yi)(i＝1,2，„，5)，作出散点图如图．

从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理

成绩也在由小变大，即它们正相关．考向二 求线性回归方程及其应用

【例2】►(2012·福建)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x/元 销量y/件 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68 ^^^^^^(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－b x；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)

[审题视点] (1)分别计算x，y，利用线性回归方程过点(x，y)，代入方程可得解； (2)将已知条件代入可得关于单价x的二次函数，配方可得最大值． 1

解 (1)由于x＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，

61^

y＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b＝－20，

6^^

所以a＝y－b x＝80＋20×8.5＝250， ^

从而回归直线方程为y＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为L元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000 ＝－20(x－8.25)2＋361.25.

当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．

求回归直线方程的步骤：

(1)依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；(2)计算出x，y，x

i＝1

2i，

n

xiyi的值；(3)计算回归系数a，b；(4)写出回归直线方程y＝bx＋a.

【训练2】 (2013·南昌模拟)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的

n

^^^^^

i＝1

数据.

房屋面积x/m2 销售价格y/万元 (1)求线性回归方程； (2)据(1)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格． 1

解 (1)x＝×(115＋110＋80＋135＋105)＝109，

51

y＝×(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.

5

115 24.8 110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22 ^^^

设所求回归直线方程为y＝bx＋a，则

 xi－xyi－y

^i＝1b＝

5

 xi－x2

i＝1

5

308＝≈0.196 2， 1 570

308^^

∴a＝y－b x＝23.2－109×≈1.816 6.

1 570^

∴所求回归直线方程为y＝0.196 2x＋1.816 6.

(2)由第(1)问可知，当x＝150 m2时，销售价格的估计值为

^

y＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．考向三 性检验的基本思想及应用 【例3】►在调查男女乘客是否晕机的事件中，已知男乘客晕机为28人，不晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不晕机的为56人．

(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为晕机与性别有关系？

nad－bc2

(可能用到的公式：K＝，可能用到的数据：P(K2≥3.841)＝0.05，

a＋bc＋da＋cb＋d

2

P(K2≥5.024)＝0.025)

[审题视点] (1)列2×2列联表；(2)假设是否晕机与性别无关，代入公式求K2的观测值． 解 (1)2×2列联表如下：

男乘客 女乘客 合计 2

晕机 28 28 56 不晕机 28 56 84 合计 56 84 140 140×28×56－28×28235(2)假设是否晕机与性别无关，则K的观测值k＝＝≈3.8，

956×84×56×84P(K2≥3.841)＝0.05.

所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为晕机与性别有关系．

解决性检验的应用问题，首先要根据题目条件列出两个变量的2×2列联

表，通过计算随机变量K2的观测值k，依据临界值与犯错误的概率得出结论．注意观测值的临界值与概率间的对应关系．

【训练3】 (2013·东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)

(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：

50岁以下 50岁以上 合计 主食蔬菜 主食肉类 合计 (2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析． 解 (1)2×2列联表如下：

50岁以下 50岁以上 合计 2

主食蔬菜 4 16 20 主食肉类 8 2 10 合计 12 18 30 30×8－1282(2)因为K＝＝10>6.635，

12×18×20×10

所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．

对应学生

用书P157

方法优化18——求回归直线方程的方法与技巧

【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，性检验和回归分析的考查主要是这两种知识的简单应用，以计算和判断为主．有的省市以选择题、填空题形式考查，有的省市以解答题形式考查，难度中等．

【真题探究】► (2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份 需求量/万吨 2002 236 2004 246 2006 257 2008 276 2010 286 ^^^(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．

^^

[教你审题] 分别计算x，y，b，a，把2 012代入所求回归直线方程中．

[优美解法] (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下：

年份－2006 需求量－257 －4 －21 －2 －11 0 0 2 19 4 29 对处理的数据，容易算得x＝0，y＝3.2，

^－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2b＝

－42＋－22＋22＋42－5×02＝

260

＝6.5， 40

^^^

a＝y－b x＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y－257＝6.5(x－2 006)＋3.2.

^

即y＝6.5(x－2 006)＋260.2.

(2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为6.5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．

[反思] 求回归直线方程时，重点考查的是计算能力．若本题用一般法去解，计算更繁琐(如年份、需求量不做如上处理)，所以平时训练时遇到数据较大的要考虑有没有更简便的方法解决．

【试一试】 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，根据试验数据得到如下图所示的散点图，其中x表示零件的个数，y表示加工时间，

则y关于x的线性回归方程是________．

2＋3＋4＋52.5＋3＋4＋4.5

解析 x＝＝3.5，y＝＝3.5，

44

xiyi－4x y

^i＝1

所以b＝

4

2

4

x2i－4x

i＝1

2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5－4×3.52

＝

22＋32＋42＋52－4×3.52＝3.5

＝0.7. 5

^^

a＝y－b x＝3.5－0.7×3.5＝1.05， ^

所以线性回归方程为y＝0.7x＋1.05. ^

答案 y＝0.7x＋1.05

对应学生

用书P297

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2012·新课标全国)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，„，1

xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，„，n)都在直线y＝x＋1上，则这

2组样本数据的样本相关系数为( )．

A．－1 1C. 2

B．0 D．1

^

解析 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即yi＝yi，代入相关

 yi－yi2

系数公式r＝

1－

i＝1

＝1.

n

 yi－y2i＝1

n

^

答案 D

2．(2013·长春调研)已知x，y取值如下表：

x y 0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 8 9.3 ^从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，则a＝( )． A．1.30 C．1.65

B．1.45 D．1.80

11

解析 依题意得，x＝×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y＝×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4

66^

＋9.3)＝5.25.又直线y＝0.95x＋a必过样本中心点(x，y)，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a，由此解得a＝1.45，选B.

答案 B 3.

设(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是( )．

A．直线l过点(x，y)

B．x和y的相关系数为直线l的斜率 C．x和y的相关系数在0到1之间

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

解析 由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．

答案 A

4．(2013·临沂一模)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了200位老年人，结构如下：

需要 不需要 附：

P(K2>k0) k0 nad－bc2K＝ a＋bc＋da＋cb＋d

2

男 70 30 女 40 60 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是( )．

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”

C．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关” D．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关” nad－bc2200×70×60－30×402

解析 由公式可计算K的观测值k＝＝a＋bc＋da＋cb＋d100×100×110×90

2

≈18.18>10.828，

所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”，故选A.

答案 A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知施化肥量x与水稻产量y的试验数据如下表，则变量x与变量y是________相关(填“正”或“负”).

施化肥量x 水稻产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 解析 因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系，所以画出散点图如图所示：

通过观察图象可知变量x与变量y是正相关． 答案 正

6．(2013·唐山统一考试)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长^

度y(cm)的线性回归方程为y＝1.197x－3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm时，肱骨长度的估计值为________ cm.

^

解析 根据线性回归方程y＝1.197x－3.660，将x＝50代入得y＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.

答案 56.19 三、解答题(共25分)

7．(12分)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：

喜欢玩游戏 不喜欢玩游戏 合计 (1)请完善上表中所缺的有关数据； (2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？

附：

P(K2≥k0) k0 2

认为作业多 18 8 认为作业不多 9 15 合计 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 nad－bc2K＝ a＋bc＋da＋cb＋d解 (1)

喜欢玩游戏 不喜欢玩游戏 合计 2

认为作业多 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 合计 27 23 50 nad－bc2(2)将表中的数据代入公式K＝得到K2的观测值k＝

a＋bc＋da＋cb＋d50×18×15－8×92

≈5.059>5.024，

26×24×27×23

查表知P(K2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．

8．(13分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.

x 3 4 5 6 y (1)请画出上表数据的散点图； 2.5 3 4 4.5 ^^^

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a； (3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．

(2)由对照数据，计算得：x2i＝86，

i＝1x＝

3＋4＋5＋62.5＋3＋4＋4.5

＝4.5(吨)，y＝＝3.5(吨)． 444

4

已知xiyi＝66.5， i＝1

所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：

xiyi－4x·y

^i＝1b＝

4

4

x2i－4x

2

66.5－4×4.5×3.5

＝＝0.7，

86－4×4.52i＝1

^^

a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35.

^

因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.

(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x/cm 儿子身高y/cm 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177 则y对x的线性回归方程为( )．

A．y＝x－1 1

C．y＝88＋x

2

B．y＝x＋1 D．y＝176

174＋176＋176＋176＋178

解析 由题意得x＝＝176(cm)，

5y＝

175＋175＋176＋177＋177

＝176(cm)，由于(x，y)一定满足线性回归方程，经验

5

证知选C.

答案 C

2．(2013·福州模拟)下列说法：

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ^

②设有一个回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位； ^^^

③线性回归方程y＝bx＋a必过(x，y)；

④在一个2×2列联表中，由计算得K2的观测值k＝13.079，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．

其中错误的个数是( )． A．0 C．2

本题可以参考性检验临界值表 P(K2≥k0) k0 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 10.828 B．1 D．3

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 解析 只有②错误，应该是y平均减少5个单位． 答案 B

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

男 女 理科 13 7 文科 10 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 50×13×20－10×72

根据表中数据，得到K＝≈4.844.

23×27×20×30

2

则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．

解析 ∵K2≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.

答案 5%

4．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下判断：

p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r：这种血清预防感冒的有效率为95%； s：这种血清预防感冒的有效率为5%.

则下列结论中，正确结论的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)． ①p∧綈q；②綈p∧q；③(綈p∧綈q)∧(r∨s)；④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．

解析 由题意，得K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．

答案 ①④

三、解答题(共25分)

5．(12分)(2013·南通二模)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日期 温差x/℃ 发芽数y/颗 12月1日 10 23 12月2日 11 25 12月3日 13 30 12月4日 12 26 12月5日 8 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；

(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，^^^求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a.

解 (1)设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，

43

所以P(A)＝1－＝. 105

(2)由数据，求得x＝12，y＝27.

11×25＋13×30＋12×26＝977,112＋132＋122＝434， ^5^^

由公式，求得b＝，a＝y－b x＝－3.

2^5

所以y关于x的线性回归方程为y＝x－3.

2

6．(13分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

男 女 合计 非体育迷 体育迷 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

nad－bc2

附：K＝，

a＋bc＋da＋cb＋d

2

P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.01 6.635 解 (1)由所给的频率分布直方图知， “体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25， “非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表：

非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 30 45 75 15 10 25 45 55 100 将2×2列联表的数据代入公式计算： 10030×10－45×152100K＝＝≈3.030.

3375×25×45×55

2

因为3.030>2.706，

所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关． (2)由所给的频率分布直方图知

“超级体育迷”人数为100×(10×0.005)＝5，

记ai(i＝1,2,3)表示男性，bj(j＝1,2)表示女性，所有可能结果构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有10个基本事件组成，且每个基本事件出现是等可能的．用A表示事件“任选2人，至少1名女性”，

则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有7个7

基本事件组成，故任选2人，至少1名女性观众的概率为P(A)＝.

10

特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容. 第4讲 随机事件的概率 【2014年高考会这样考】

考查互斥事件、对立事件的概率求法．

对应学生

用书P158

考点梳理

1．频率与概率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件AnA出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

n

(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．

2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 相等关系 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥事件 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) 若B⊇A且A⊇B 若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 B⊇A(或A⊆B) A＝B A∪B(或A＋B) A∩B(或AB) A∩B＝∅ A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 【助学·微博】 一个关系

两个事件对立则一定互斥，两个事件互斥未必对立．两事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条件．

两种方法

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；

(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．

考点自测

1．下列事件中，随机事件的个数为( )．

①物体在只受重力的作用下会自由下落；

②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；

③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；

④下周六会下雨． A．1 C．3

B．2 D．4

解析 ①为必然事件，②为不可能事件，③④为随机事件． 答案 B

2．(课本改编题)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．

A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球

解析 对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立．

答案 D

3．(2013·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )．

A．0.40 C．0.60

B．0.30 D．0.90

解析 一次射击不够8环的概率为：1－0.2－0.3－0.1＝0.4. 答案 A

4．甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为( )．

A．0.6 C．0.1

B．0.3 D．0.5

解析 甲、乙二人下成和棋的概率为：0.8－0.3＝0.5. 答案 D

5．给出下列三个命题：

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次3

抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这

7个随机事件发生的概率．

其中错误的命题有________个．

3

解析 ①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，

7这是两个不同的概念．

答3

案

对应学生

用书P159

考向一 互斥事件与对立事件的判定

【例1】►判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． [审题视点] 利用互斥事件、对立事件的概念进行判断． 解 (1)是互斥事件，不是对立事件．

理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．

理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，也不是对立事件．

理由：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集

合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

【训练1】 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )．

A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件

C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件 解析

由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件间的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．

答案 D考向二 随机事件的频率与概率

【例2】►某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8 B配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10 (1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝－2，t<94，

2，94≤t<102，4，t≥102，

估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产

的上述100件产品平均一件的利润．

[审题视点] 分别计算出相应的频率，由频率可估计概率．

22＋8

解 (1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配

100方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.

32＋10

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生

100产的产品的优质品率的估计值为0.42.

(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，需其质量指标值t≥94，由试验

结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概1

率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝

1002.68(元)．

概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能

性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．

【训练2】 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：

射击次数n 击中10环次数m m击中10环频率 n(1)计算表中击中10环的频率； (2)根据表中数据，估计该运动员射击一次命中10环的概率． 解 (1)表中击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93，0.，0.906. (2)估计该运动员射击一次命中10环的概率为0.9.

考向三 概率加法公式的应用

【例3】►国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：

命中环数 概率 求该射击队员射击一次 (1)射中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率．

[审题视点] 确定事件间的关系，根据互斥事件或对立事件的概率加法公式求解． 解 记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥． (1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率加法公式，得

P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.

(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式，得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.

(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次，命中不足8环”．

10环 0.32 9环 0.28 8环 0.18 7环 0.12 10 8 20 19 50 44 100 93 200 178 500 453 ∴P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.

求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：

(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．

【训练3】 由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：

排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人以上 0.04 求：(1)至多2人排队的概率； (2)至少2人排队的概率．

解 记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A，B，C彼此互斥．

(1)记“至多2人排队”为事件E，则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

(2)记“至少2人排队”为事件D.“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D与事件A＋B是对立事件，则P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.

对应学生

用书P160

热点突破20——全面突破概率与统计的综合性问题

【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，概率与统计的综合性问题越来越受到命题人的青睐，多数以解答题的形式出现，难度中等．

【真题探究】► (2012·北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 “厨余垃圾”箱 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率；

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．

1

(注：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋„＋(xn－x)2]，其中x为数据x1，x2，„，xn的平均

n数)

[教你审题] 第1步 用厨余垃圾箱中的400除以厨余垃圾总数． 第2步 先求其对立事件的概率． 第3步 运用方差公式．

[解法] (1)厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量4002

＝＝. 厨余垃圾总量400＋100＋1003

(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．

事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为

所以P(A)约为1－0.7＝0.3.

(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值． 1

因为x＝(a＋b＋c)＝200，

3

1

所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.

3即s2的最大值为80 000.

[反思] 概率统计综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相关的计算．

【试一试】 某小型超市发现每天营业额Y(单位：万元)与当天进超市顾客人数X有关．据统计，当X＝700时，Y＝4.6；当X每增加10，Y增加0.05.已知近20天X的值为：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700.

(1)完成如下的频率分布表：

近20天每天进超市顾客人数频率分布表

人数 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 400＋240＋60

＝0.7，

1 000

频率 1 20 4 20 (2)假定今天进超市顾客人数与近20天进超市顾客人数的分布规律相同，并将频率视为概率，求今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率．

解 (1)在所给数据中，进超市顾客人数为1 100的有3个，为1 600的有7个，为1 900的有3个，为2 200的有2个．故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为

人数 频率 700 1 201 100 3 201 400 4 201 600 7 201 900 3 202 200 2 20X－7001(2)由已知可得Y＝4.6＋×0.05＝X＋1.1，

10200X

∵4.6200∴700∴P(4.67

即今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率为.

10

34＋2020

对应学生

用书P301

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )．

A．对立事件 C．互斥但不对立事件

B．不可能事件 D．以上答案都不对

解析 由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件．

答案 C

2．(2013·日照模拟)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽

到的不是一等品”的概率为( )．

A．0.7 C．0.35

解析 由对立事件可得P＝1－P(A)＝0.35. 答案 C

3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )．

A．0.2 C．0.7

B．0.3 D．0.8 B．0.65 D．0.3

解析 由题意知该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B. 答案 B

4．(2013·海口模拟)盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )．

3

A. 55C. 9

1B. 102D. 5

解析 第一次结果一定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以第二次也取到5

新球的概率为. 9

答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．

解析 “从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1. 答案 1

6．(2013·成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．

解析 记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.

答案 0.96

三、解答题(共25分)

7．(12分)某战士甲射击一次，问：

(1)若事件A(中靶)的概率为0.95，事件A(不中靶)的概率为多少？

(2)若事件B(中靶环数大于6)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数不大于6)的概率为多少？

解 (1)∵事件A(中靶)的概率为0.95，

根据对立事件的概率公式得到A的概率为1－0.95＝0.05.

(2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件，∵事件B(中靶环数大于6)的概率为0.7，

∴事件C(中靶环数不大于6)的概率为1－0.7＝0.3.

8．(13分)某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，且只乘一种交通工具去开会．

(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2)求他不乘轮船去开会的概率；

(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？

解 (1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.

(2)设他不乘轮船去开会的概率为P， 则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.

(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5， 故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件．那么( )．

A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件 C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．

答案 B

2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的

概率是( )．

1A. 103C. 5

3B. 109D. 10

解析 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的319个球中至少有1个白球的概率是1－＝.

1010

答案 D

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．

解析 设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．

答案 A与B、A与C、B与C、B与D B与D

4．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．

解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为14

7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.

32

答案 32 0.437 5 三、解答题(共25分)

5．(12分)(2013·长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：

血型 该血型的人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：

(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

解 (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是彼此互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.

因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0..

(2)法一 由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.

法二 因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′＋D′])＝1－P(B′＋D′)＝1－0.＝0.36.

即：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.，其血不能输给小明的概率为0.36. 6．(13分)(2011·陕西)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间/分钟 选择L1的人数 选择L2的人数 10～20 6 0 20～30 12 4 30～40 18 16 40～50 12 16 50～60 12 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，

∴用频率估计相应的概率为0.44.

(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：

所用时间/分钟 L1的频率 L2的频率 10～20 0.1 0 20～30 0.2 0.1 30～40 0.3 0.4 40～50 0.2 0.4 50～60 0.2 0.1 (3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．

由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，

P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)， ∴甲应选择L1；

同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P(B2)＞P(B1)， ∴乙应选择L2.

特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容. 第5讲 古典概型 【2014年高考会这样考】

1．考查古典概型概率公式的应用．

2．考查古典概型与互斥事件、对立事件的交汇． 3．考查古典概型与统计的交汇．

对应学生

用书P162

考点梳理

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)定义

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． ②每个基本事件出现的可能性相等． A包含的基本事件的个数

(2)概率公式：P(A)＝. 基本事件的总数【助学·微博】 一个判定标准

试验结果有限且等可能． 两种方法

(1)列举法：适合于较简单的试验．

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x，

y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．

考点自测

1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为( )． 2A. 31C. 3

1B. 41D. 2

解析 一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只21

有一次出现正面的基本事件有(正，反)，(反，正)，故其概率为＝. 42

答案 D

2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )． 1A. 61C. 3

1B. 22D. 3

解析 甲、乙、丙三名同学站成一排共有6种站法，甲在中间共有2种站法，故甲站在1

中间的概率为. 3

答案 C

3．(2012·安徽)袋有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )．

1A. 53C. 5

2B. 54D. 5

解析 1个红球，2个白球和3个黑球分别记为a1，b1，b2，c1，c2，c3.从袋中任取两球有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15种；满足两球颜色为一白一黑的62

有6种，概率等于＝.

155

答案 B

4．(2013·温州模拟)从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是( )．

1A. 5

2B. 5

3C. 54D. 5

解析 从5个数中任取2个不同的数有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有10种．其中两个数的和为偶数有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，故所42

求概率为：P＝＝.

105

答案 B

5．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．

1

解析 三张卡片排成一排共有BEE，EBE，EEB三种情况，故恰好排成BEE的概率为. 31答案

3

对应学生

用书P162

考向一 简单古典概型的概率

【例1】►(2013·福州模拟)某教室有4扇编号为a，b，c，d的窗户和2扇编号为x，y的门，窗户d敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇．

(1)记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇”为事件A，请列出A包含的基本事件；

(2)求至少有1扇门被班长敞开的概率．

[审题视点] (1)列事件A的基本事件分三类：一是从3扇窗户中取2扇；二是从3扇窗户中取一扇，从2扇门中取1扇；三是从2扇门中取2扇．

(2)列出“2个门都没被班长敞开”的基本事件，用对立事件求概率．

解 (1)事件A包含的基本事件为(a，b)，(a，c)，(b，c)，(a，x)，(a，y)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)，(x，y)，共10个．

(2)法一 记“至少有1扇门被班长敞开”为事件B.

∵事件B包含的基本事件有(a，x)，(a，y)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)，(x，y)，共77个，∴P(B)＝. 10

法二 事件“2个门都没被班长敞开”包含的基本事件有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个．

3

∴2个门都没被班长敞开的概率P1＝，

10

37

∴至少有1个门被班长敞开的概率P2＝1－＝.

1010

解决古典概型的关键是：列出所有的基本事件，并且确定构成事件的基本事

件．

第(2)问既可以转化为求事件和的概率，也可以运用对立事件求解．一般涉及“至多”、“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑求其对立事件的概率，从而简化运算．

【训练1】 (2012·德州一模)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，1白球n个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是.

2

(1)求n的值；

(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．

n1

解 (1)由题意，可知＝，解得n＝2.

1＋1＋n2

(2)设红球为a，黑球为b，白球为c1，c2，从袋中取出2个小球的所有等可能基本事件为(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共6个，记事件A为“总得分为2分”，

包含的基本事件为(a，c1)，(a，c2)，共2个，

21

所以P(A)＝＝.考向二 古典概型与互斥、对立事件的概率的综合问题

63

【例2】►现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．

(1)求A1被选中的概率；

(2)求B1和C1不全被选中的概率． [审题视点] 由列举法求古典概型的概率．

解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共18个：

(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．

由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M表示“A1恰被选中”这一事件，则包含的结果为：

(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)． 事件M由6个基本事件组成，

61

因而P(M)＝＝. 183

(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于N包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件N有3个基本事件组成，所以P(N)＝

31

＝，由对立事件的概率公式得 186

15

P(N)＝1－P(N)＝1－＝. 66

求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转

化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．

【训练2】 (2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量 顾客数/人 结算时间/(分钟/人) 1至4件 x 1 5至8件 30 1.5 9至12件 13至16件 25 2 y 2.5 17件及以上 10 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．

100

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得

153303251

P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.

10020100101004因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件， 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) 3317

＝＋＋＝. 2010410

7

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

10

考向三 古典概型与统计的综合问题

【例3】►(2012·潍坊一模)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见下表：

PM2.5日均值k(单位：微克) k≤35 3575

空气质量等级 一级 二级 超标

某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

(1)分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数，并由此判断哪个小区的空气质量较好一些；

(2)若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天空气质量超标的概率．

[审题视点] (1)求出平均数，根据平均数判断．

(2)列出从5天抽取2天的所有基本事件及“恰有1天空气质量超标”的基本事件． 解 (1)甲居民区抽测的样本数据分别是37,45,73,78,88；乙居民区抽测的样本数据分别是32,48,65,67,80.

37＋45＋73＋78＋88故x甲＝＝.2，

532＋48＋65＋67＋80x乙＝＝58.4.

5则x甲>x

乙．

由此可知，乙居民小区的空气质量要好一些．

(2)由茎叶图知，甲居民区5天中有3天空气质量未超标，有2天空气质量超标． 记未超标的3天的样本数据为a，b，c，超标的2天为m，n.则从5天中抽取2天的所有情况为：(a，b)，(a，c)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(m，n)，基本事件数为10.

记“5天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，基本事件数为6.

63

则P(A)＝＝. 105

对于古典概型与统计的综合问题，要注意认真审题，将问题成功转化为古典

概型．而确定基本事件(试验结果)数时，常用枚举法．

【训练3】 (2013·烟台一模)某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：

[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，4. (1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上； (2)估计成绩在85分以上学生的比例；

(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90,100)中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．

样本频率分布表

分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计 解 (1)样本的频率分布表： 分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计 频数 2 3 14 15 12 4 50 频率 0.04 0.06 0.28 0.30 0.24 0.08 1 频数 2 3 14 15 4 频率 0.04 0.06 0.28 0.30 0.08 (2)估计成绩在85分以上的有6＋4＝10人， 101所以估计成绩在85分以上的学生比例为＝.

505

(3)[40,50)内有2人，记为甲、A.[90,100)内有4人，记为乙、B、C、D.则“二帮一”小组有以下12种分组办法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)，(甲，B，C)，(甲，B，D)，(甲，C，D)，(A，乙，B)，(A，乙，C)，(A，乙，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)．

其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)．

所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 31P＝＝. 124

对应学生

用书P1

规范解答15——求古典概型问题

【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，古典概型主要考查等可能事件的概率，常与互斥事件、对立事件的概率联合考查，有选择题、填空题，也有解答题，难度中等．

【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.

(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．

[教你审题] (1)一审 应列出从五张卡片中抽取两张的所有事件．

二审 从这些事件中找到两张卡片颜色不同且标号之和小于4的事件个数． (2)一审 应列出从六张卡片中抽取两张的所有事件．

二审 再从这些事件中找到两张卡片颜色不同且标号之和小于4的事件个数．

[规范解答] (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．(2分)

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．(4分)

3

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.(6分)

10

(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，

F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．(8分)

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．(10分)

8

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.(12分)

15

[阅卷老师手记] (1)列举基本事件时要分清两个问题： ①是否有顺序，有序的和无序的是有区别的；

②是否允许重复，如在取球问题中无放回地取球就是元素不允许重复，有放回地取球就是元素允许重复．

(2)本题易错点就是列举事件的个数易出错．

求古典概型概率的步骤：

第一步：判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件A；

第二步：分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m； m

第三步：利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率．

n

【试一试】 在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题中随机抽取一题作答．

(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； (2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．

解 由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C)．

(1)用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M包含的基本事件有(A1，63A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)，所以P(M)＝＝. 168

(2)用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含的基本事件有5(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，所以P(N)＝.

16

对应学生

用书P303

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )．

1A. 127C. 12解析

5B. 125D. 6

由题意知，基本事件有

1134,1143,3114,4113,3411,4311,1314,

1

1413,4131,3141,1341,1431，共12个，满足条件的基本事件就一个，故所求概率为P＝.

12

答案 A

2．(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )．

1A. 52C. 5

3B. 101D. 2

解析 基本事件有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为

答案 C

3．(2013·福州一模)甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )．

1A. 21C. 4

1B. 31D. 5

42＝. 105

解析 (甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送21

给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P＝＝. 42

答案 A

4．(2012·茂名二模)在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学2中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为( )．

3

A．12

B．18

C．24 D．32

x2

解析 设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以＝，得x＝12，故该

2x－63班参加聚会的同学有18人，故选B.

答案 B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2012·上海虹口质检)从{1,2,3,4,5,6}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选一个数b，则a1解析 由题意得基本事件总数为18，满足a61答案

6

6．(2013·南京模拟)在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．

解析 由题意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x2

21＋y2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为＝. 63

1答案

3

三、解答题(共25分)

7．(12分)(2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．

21解 (1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为6×＝3；从中学中

21＋14＋7147

抽取的学校数目为6×＝2；从大学中抽取的学校数目为6×＝1.

21＋14＋721＋14＋7

故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.

(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．

②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．

31

所以P(B)＝＝. 155

8．(13分)(2011·广东)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，„，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n 成绩xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72 (1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s； (2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， 1

∴(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90， 6这6位同学成绩的方差

1

s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标

6准差s＝7.

(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学，其成绩的所有可能结果为：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，

恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，4

所求的概率为＝0.4，

10

即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(2013·山西省部分重点中考)甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三种数字，每人则可喊0,5,10,15,20五种数字，当两人所出数字之和等于甲所喊数字时为甲胜，当两人所出数字之和等于乙所喊数字时为乙胜，若甲喊10，乙喊15时，则( )．

A．甲胜的概率大 C．甲、乙胜的概率一样大

B．乙胜的概率大 D．不能确定

解析 两人共有9种出数的方法，其中和为10的方法有3种，和为15的方法有2种，故甲胜的概率要大，应选A.

答案 A

2．(2012·合肥二模)将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一

个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为( )．

1A. 81C. 4

3B. 161D. 2

解析 由题意知(a，b)的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．其中满足a－2b＋4<01

的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为. 4

答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量bπ

0，的概率是________． ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈2解析 ∵m，n均为不大于6的正整数，∴当点A(m，n)位于直线y＝x上及其下方第一π

0，的点A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，列举可知点A(m，象限的部分时，满足θ∈2217

n)的基本事件总数为36，故所求概率为＝.

3612

答案

7 12

x2y2

4．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线2－2＝1的离心率e>5的

ab概率是________．

解析 e＝

b21＋2>5，∴b>2a，符合b>2a的情况有：当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情a

61

况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．则所求概率为＝. 366

1答案

6

三、解答题(共25分)

5．(12分)(2012·枣庄二模)袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，„，6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．

(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率； (2)如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率． 解 (1)若编号为n的球的重量大于其编号． 则n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.解得n<3或n>4.

42∴n＝1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝＝. 63

(2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共有15种可能的情形．

设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，

即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6. 满足m＋n＝6的情形为(1,5)，(2,4)，共2种情形． 2由古典概型，所求事件的概率为.

15 6.

(13分)(2012·江西)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．

(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O共面的概率．

解 从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：

x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种； y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种； z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种．

所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．

(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A1B1C1，A2B2C2，共2种．

21因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝＝. 2010

(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3123

个点与原点O共面的概率为P2＝＝.

205

特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容. 第6讲 几何概型 【2014年高考会这样考】

考查与长度或面积有关的几何概型，也可与二元一次不等式组所表示的平面区域相结合一起考查．

对应学生

用书P165

考点梳理

几何概型

(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； ②等可能性：每个结果的发生具有等可能性． (3)公式：

构成事件A的区域长度面积或体积

P(A)＝. 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积【助学·微博】 一个判定标准

试验结果无限且等可能． 两种类型

(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．

(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．

考点自测

1．(2013·漳州一模)在区间[20,80]内随机任取一实数a，则实数a属于区间[50,75]的概率是( )．

1A. 45C. 12

解析 由几何概型概率计算公式可知 构成事件的区间长75－505P＝＝＝.

试验全部结果的区间长80－2012

3B. 47D. 12

答案 C

2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )．

1A. 53C. 5

2B. 54D. 5

302

解析 以时间的长短进行度量，故P＝＝.

755答案 B

3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )．

3221

解析 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，

8863∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)． 答案 A

0≤x≤2，

4．(2012·北京)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，

0≤y≤2

则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )．

π

A. 4πC. 6解析

π－2B.

24－πD.

4

如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此4－π满足条件的概率是.故选D.

4

答案 D

5.

如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒2

豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为________．

3

S阴228

解析 由几何概型知，＝，故S阴＝×22＝.

33S正方形38

答案

3

对应学生

用书P165

考向一 与长度(角度)有关的几何概型

【例1】►(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．

(2)

如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．

[审题视点] 解题的关键是确定构成事件的区域．(1)测度是“长度”；(2)测度是“角度”． 解析 (1)由题意可知，三角形的边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计244算公式可得所求概率为＝.

305

(2)因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域h为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为

41答案 (1) (2)

53

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度

量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．

∠CAB30°1

＝＝. ∠DAB90°3

【训练1】 (1)有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大1

于米的概率为________． 8

(2)

如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率________．

111－8＋83

解析 (1)所求概率P＝＝.

14(2)∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°， 在Rt△ADB中，AD＝3，∠B＝60°， ∴BD＝

AD

＝1，∠BAD＝30°. tan 60°

记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．

30°2由几何概型的概率公式得P(N)＝＝.

75°5

32

答案 (1) (2)考向二 与面积(体积)有关的几何概型

45

【例2】►(1)(2013·潍坊联考)花园小区内有一块三边长分别是5 m、5 m、6 m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m的概率是________．

(2)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

[审题视点] 画出图形求面积(体积)． 解析 (1)

如图，当小花猫与三角形ABC的三个顶点的距离均超过2 m时，小花猫要在图中的空白区域内．由于三角形为等腰三角形，底边BC上的高AD＝4 m，所以△ABC的面积是12 m2，因为三角形的内角和等于π，则图中的三个扇形的面积之和等于半径为2 m的圆面积的一半，即3个扇形的面积之和等于2π m2，所以空白区域的面积为(12－2π)m2，则所求的概率P＝

12－2ππ

＝1－. 126

(2)点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点14π

23－××13

23π

O的距离大于1为事件A，则P(A)＝＝1－. 3212

ππ

答案 (1)1－ (2)1－ 612

数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：

用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，及在图形中画出事件A发生的区域，通用构成事件A的区域的长度面积或体积

公式：P(A)＝. 试验的全部结果所组成的区域的长度面积或体积

【训练2】 (1)(2013·大连模拟)在长为16 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于25 cm2与81 cm2之间的概率为________．

(2)(2013·长沙一模)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．

解析 (1)正方形的面积介于25 cm2与81 cm2之间，即线段AM长介于5 cm与9 cm之间，41即点M可以在5～9 cm之间取，长度为4 cm，总长为16 cm，所以，所求概率为＝.

1

(2)原正方体的体积为27，蜜蜂“安全飞行”的范围也构成一个小正方体，小正方体的各1个面都与原正方体的相对面距离为1，因此，小正方体的体积为1，所求概率为P＝.

27

11

答案 (1) (2)考向三 生活中的几何概型问题

427

【例3】►甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．

1

[审题视点] 两人不论谁先到都要等迟到者15分钟，即小时，设两人分别于x时和y时

411

到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当－≤x－y≤，因此转化成面

44积问题，利用几何概型求解．

解

以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是1

|x－y|≤.

4

在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为1的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．

由几何概型的概率公式得：

1111－×1－×12－2×4427SAP(A)＝＝＝.

S1216所以，两人能会面的概率是

将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的

求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设臵参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．

【训练3】 甲、乙两人约定上午7：00至8：00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7：20,7：40,8：00，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率．

解

7

. 16

设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤8,7≤y≤8，即甲乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形．将1

三班车到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要想乘同一班车，必须满足7≤x≤7，

31121222

7≤y≤7；7≤x≤7，7≤y≤7；7≤x≤8,7≤y≤8.

3333333

即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，

所以由几何概型的计算公式得，P＝1即甲、乙同乘一车的概率为.

3

12×331

12＝.

3

对应学生

用书P167

方法优化19——轻松求解几何概型问题的技巧

【命题研究】 通过近三年的试题分析，对几何概型的单独考查常为选择题、填空题．主要考查有关长度、面积等类型问题，难度中低档．

【真题探究】► (2012·湖北)

如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )．

11A.－ 2π2

C．1－

π

1B. π2D. π

[教你审题] 第1步 可设半径OA的长度． 第2步 易求扇形OAB的面积．

第3步 先求非阴影部分的面积，再求阴影部分的面积． [一般解法]

11π

如图，设OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝×1×1＝，S扇形OCD＝，∴在以OA为直径的

224π1π－1×2π

－＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率P＝半圆中，空白部分面积S1＝－2＝242π2

1－. π[优美解法] 设OA＝2，易知两阴影部分面积相等，则Sπ－22

概率P＝＝1－.

ππ

阴影

π1＝4×4－2＝π－2，故所求

[反思] 结合图形求概率时，一般地，一元几何概型转化为长度之比，二元几何概型转化为角度或面积之比，三元几何概型转化为体积之比．

2x＋y－4≤0，x＋y－3≤0，

【试一试】 在不等式组x≥0，

y≥0区域内的概率是________．

7

解析 如图，不等式组所表示的平面区域的面积是，在这个区域中，x∈[1,2]区域的面

22

积是1，故所求的概率是. 7

所表示的平面区域内，点(x，y)落在x∈[1,2]

答

案

27

对应学生

用书P305

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是( )．

1A. 41C. 2

1B. 32D. 3

解析 把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概

21

率为P＝＝. 42

答案 C

2．在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是( )．

A．1 C．0.01

B．0.1 D．0.001

解析 设事件A为“10 mL小麦种子中含有麦锈病种子”，由几何概型的概率计算公式10

得P(A)＝＝0.01，所以10 mL小麦种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.

1 000

答案 C 3.

(2013·哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( )．

16A. 523C. 5

21B. 519D. 5

S13823

解析 由几何概型的概率公式，得＝，所以阴影部分面积约为，故选C.

103005答案 C

4．(2012·辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )．

1

A. 62C. 3解析

1B. 34D. 5

由于在长为12 cm的线段AB上任取一点C，因此总的几何度量为12，满足矩形面积大82

于20 cm2的点在C1与C2之间的部分，如图．因此所求概率为，即，故选C.

123

答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

ππ1

－，上随机取一个数x，cos x的值介于0至之间的概率5．(2013·长沙模拟)在区间222为________．

1

解析 根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P＝＝.

π－π3－221答案

3

6．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离小于1的概率为________．

解析

ππ22－3

由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|<1，根据几何概型的概率计算公式可知，动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为

π

答案

4

三、解答题(共25分) 7．(12分)

S扇形ABDπ

＝. S正方形ABCD4

如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．

解 弦长不超过1，即|OQ|≥3

，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}． 2

3×223

由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.

22∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－

3

. 2

8．(13分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.

(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；

m＋n－1≤0，

(2)实数m，n满足条件－1≤m≤1，

－1≤n≤1，

求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率． 解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：

(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件．

设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，63

(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A)＝＝. 105

m＋n－1≤0，

(2)m，n满足条件－1≤m≤1，

－1≤n≤1

的区域如图所示，要使函数的图象过一、二、三象

限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，

1

21

∴所求事件的概率为P＝＝. 772

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分) 1.

分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )．

4－πA.

2

π－2B.

2

4－πC.

4π－2D.

4

解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形2π－4π－2

的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝＝.

42

答案 B

2．(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则2b

方程x＝22a－有不等实数根的概率为( )．

x

1A. 43C. 4解析

1B. 22D. 5

2b

方程x＝22a－，即x2－22ax＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a)2

x－4×2b>0，即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正2b

方形(不包括边界)，而事件A“方程x＝22a－有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分

x(不包括边界)．

1

×1×121

由几何概型公式可得P(A)＝＝.故选B.

21×1答案 B

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．(2013·武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．

解析 确定点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为，以点O1，O2为球心，1144

为半径的两个半球，求得体积为V＝2××π×13＝π，圆柱的体积为V＝Sh＝3π，所以点P

2334π

35

到点O1，O2的距离都大于1的概率为V＝1－＝.

3π9

5答案

9

4．(2012·烟台二模)已知正三棱锥SABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，1

使得VPABC2

1

解析 三棱锥PABC与三棱锥SABC的底面相同，VPABC2于三棱锥SABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合1111Sh－×S×h3342

题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥SABC的高为h，则所求概率为：P＝1Sh37＝. 8

7答案

8

三、解答题(共25分)

5．(12分)(2013·深圳调研)设函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率．

(1)若随机数b，c∈{1,2,3,4}；

(2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b＝4]解

b＋c≤4，由f(x)＝x＋bx＋c知，事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”，即

c≤3.

2

(1)因为随机数b，c∈{1,2,3,4}，所以共等可能地产生16个数对(b，c)，列举如下： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

b＋c≤4，

事件A：包含了其中6个数对(b，c)，

c≤3

即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)． 633

所以P(A)＝＝，即事件A发生的概率为.

1688 (2)

由题意，b，c均是区间[0,4]中的随机数，点(b，c)均匀地分布在边长为4的正方形区域

Ω中(如图)，其面积S(Ω)＝16.

b＋c≤4，

事件A：所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，

c≤3

115

其面积为S(A)＝×(1＋4)×3＝.

22

15

SA21515

所以P(A)＝＝＝，即事件A发生的概率为. 32SΩ1632

6．(13分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．

解 甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．

以y和x分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．

11

242－×222－×202

2267

由几何概型公式，得P(A)＝＝. 22428867

故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是.

288

特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容. 小题专项集训十五 统计、概率

对应学生用书P15 (时间：40分钟 满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm，从中任取一根，取到长度超过30 mm的纤维的概率是( )．

3A. 42C. 5

3B. 10

D．以上都不对

解析 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm，即基本事件总数为40，且它们是等3

可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为.

10

答案 B

2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )．

A．7 C．25

B．15 D．35

解析 由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.

答案 B

3．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人9

表演节目．如果每位教师被选中的概率相等，而且选中男教师的概率为，那么参加这次联20欢会的教师共有( )．

A．360人 C．144人

B．240人 D．120人

9x

解析 设男教师有x人，则女教师有(x＋12)人，由选中男教师的概率为，所以

20x＋x＋129

＝，解得x＝54，所以男教师为54人，女教师为66人，故参加这次联欢会的教师共有12020人．

答案 D

4．同时随机掷两颗骰子，则至少有一颗骰子向上的点数小于4的概率为( )． 1A. 91C. 4

8B. 93D. 4

解析 共有36种情况，其中至少有一颗骰子向上的点数小于4有27种情况，所以所求273概率为＝.

3

答案 D 5.

如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概率是( )．

A.C.3 43 4π

33B. 433D. 4π

1332

解析 ∵S圆＝πR2，S正三角形＝3×R2sin 120°＝R，

24332

R433

∴所求概率为. 2＝πR4π答案 D

6．在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相交的概率为( )．

1A. 2C.3 3

1B. 3D.3 2

|2k|33<1，解得－331＋k2解析 由题意，知圆心(0,0)到直线y＝k(x＋2)的距离为23

33所求概率P＝＝. 23

答案 C

7．(2013·金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )．

3

A. 51C. 3

2B. 52D. 3

解析 取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率52

P＝1－＝. 153

答案 D

8．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数

据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )．

A．90 C．60

B．75 D．45

36

解析 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n，则＝

n0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.

答案 A

9．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2xy＝1的概率为( )．

1

A. 61C. 12

5B. 361D. 2

解析 由log2xy＝1，得2x＝y.又x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3，4,5,6}，所以满足题意的有31

x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为＝，故选C.

3612

答案 C

2x－y＋2≥0，

10．已知实数x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域x－2y＋1≤0，

x＋y－2≤0为( )．

3

A. 163C. 4解析

3B. 81D. 2

内的概率

如图，(x，y)在矩形ABCD内取值，不等式组所表示的区域为△AEF，由几何概型的概率3

公式，得所求概率为，故选B.

8

答案 B

二、填空题(每小题5分，共25分)

11．3名志愿者随机进入2个不同的运动场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为________．

23

解析 依题意得，每个场馆至少有一名志愿者的概率是1－3＝. 243答案

4

12．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已11

知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为________．

26

解析 由题意，知“出现奇数点”的概率是事件A的概率，“出现2点”的概率是事件112

B的概率，则“出现奇数点或2点”的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝. 263

2答案

3

13．某单位为了了解用电量y度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温/℃ 用电量/度 18 24 13 34 10 38 －1 ^^^^由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．

解析 x＝10，y＝40，回归方程过点(x，y)， ^^^

∴40＝－2×10＋a，∴a＝60.∴y＝－2x＋60. ^

令x＝－4，∴y＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案 68

14．(2012·浙江)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则

该两点间的距离为

2的概率是________． 2

解析 设此正方形为ABCD，中心为O，则任取两个点的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，(A，O)，(B，O)，(C，O)，(D，O)，共10种；取出的两点间的距离为

242的取法有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，共4种，故所求概率为＝. 2105

2

答案

5

15．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．

解析 如图，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率1为. 3

1答案

3

易失分点清零(十一) 统计、统计案例、概率

对应学生

用书P38

频率

易失分点1 混淆频率与致误

组距

【示例1】► 某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.

解析 由频率分布直方图可得，棉花纤维长度小于20 mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5

＝0.3，则棉花纤维长度小于20 mm的频数为100×0.3＝30(根)．

答案 30

警示 考生误认为频率分布直方图中纵轴表示的是频率，这是错误的，而是“频率/组距”，所以频率对应的不是矩形的高，而是该矩形的面积．

易失分点2 统计图表中识图不准致误

【示例2】► 某公司(共有员工300人)2013年员工年薪情况的频率分布直方图如图所示，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有________人．

解析 由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24，所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72人．

答案 72

警示 本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10)×2＝0.60，从而得到员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.60＝180人的错误结果．

易失分点3 误解基本事件的等可能性致误

【示例3】► 若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．

解析 将骰子先后抛掷2次，出现向上的点数记作点坐标(x，y)，则共可得点坐标的个数为36，而向上点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，故将骰子先后抛掷231次，出现向上的点数之和为4的概率P＝＝.

3612

答案

警示 本题易出现的主要错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11(点数和等于

1 12

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为4的事件错误地计算为(1,3)，(2,2)两种，从而导致错误．

【示例4】► 在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在△ABC的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM解析

由于在∠ACB内作射线CM，等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图所示)，∠ACC′

因此基本事件的区域应是∠ACB，在AB上取一点C′，使AC＝AC′，则P(AM∠ACBπ－＝

π4

23＝. π423答案

4

警示 本题易出现的错误在于对几何概型的概念把握不准，理解模糊，将角度型的几何

概型错误地当成长度型几何概型求解，得到以下错解：根据题设，点M随机地落在线段AB上，故线段AB为基本事件的区域，当M位于线段AC′(AC′＝AC)上时，AM对应学生

用书P39

1.

如图所示，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是( )．

πA. 44－πC.

4

π×12π

解析 所求概率P＝＝.

2×24答案 A

4B. πD．π

2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )．

A．5,10,15,20,25 C．1,2,3,4,5

B．2,4,8,16,32 D．7,17,27,37,47

解析 利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10，故选D.

答案 D

3．一个家庭中有两个小孩，这两个小孩都是女孩的概率为( )． 1A. 21C. 3

1B. 4

D．不能确定

解析 总的基本事件有(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4种情况且出现的1

概率相同，所以都是女孩的概率是. 4

答案 B 4.

从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为( )．

A．10 C．8

B．20 D．16

解析 视力在0.9以上的频率为(1＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，故人数为0.4×50＝20. 答案 B

5．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为( )． 3A. 102C. 3解析

7B. 105D. 7

如图所示，分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，若记为m和n，则点(m，n)对应的区域为矩形，其面积S＝3×5＝15，而满足条件m>n的点(m，n)对应的区域为图中阴影部分，2127121

其面积为S1＝15－×3×3＝，故所求概率为P＝＝.

221510

答案 B

6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )．

1

A. 158C. 15

3B. 514D. 15

解析 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有1593

个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P＝＝. 155

答案 B

7．某工厂为了调查工人文化程度与月收入之间的关系，随机调查了部分工人，得到如表所示的数据：(单位：人)

高中文化以上 高中文化及以下 总计 2

月收入2 000元以下 10 20 30 月收入2 000元及以上 45 30 75 总计 55 50 105 105×10×30－20×452由表中的数据计算，得K＝≈6.109，则我们有多大把握认为“文

55×50×30×75化程度与月收入有关系”( )．

A．1% C．5%

B．99% D．95%

解析 由于K2≈6.109>3.841，所以我们可以有95%的把握认为“文化程度与月收入有关系”．

答案 D

8．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.

解析 根据茎叶图所给数据，易知两组数据的中位数分别为45,46. 答案 45 46

9．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了如图所示的样本频率分布直方图．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 500)月收入段应抽出________人．

解析 根据图可以看出月收入在[2 500,3 500)的人数的频率是(0.000 5＋0.000 3)×500＝0.4，故在[2 500,3 500)月收入段应抽出100×0.4＝40(人)．

答案 40

10．在平面直角坐标系中，从六个点A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)，F(3,3)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．

解析 A(0,0)，C(1,1)，E(2,2)，F(3,3)四个点在直线y＝x上，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)三个点在直线x＋y＝2上．因为任取三点有20种，三点共线的取法有1＋4＝5(种)，所以任取三20－53点能构成三角形的概率是P＝＝. 204

3

答案

4

11．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记作a，b，与5分别作为三条线段的长，则这三条线段能够构成等腰三角形的概率是________．

解析 基本事件的总数是6×6＝36， 当a＝1时，b＝5符合要求，有1种情况；

当a＝2时，b＝5符合要求，有1种情况； 当a＝3时，b＝3,5符合要求，有2种情况； 当a＝4时，b＝4,5符合要求，有2种情况； 当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6均符合要求，有6种情况； 当a＝6时，b＝5,6符合要求，有2种情况． 147

故所求其概率为：＝.

3618答案

7 18

12．已知周长为定值的扇形OAB，当其面积最大时，向其内任意掷点，则点落在△OAB内的概率是多少？

11

解 设扇形周长为m，半径为r，则弧长l＝m－2r，扇形的面积是rl＝r×(m－

2212r＋m－2r2m2mml

2r)≤·＝，当且仅当r＝时等号成立，此时扇形的弧长为，圆心角为＝2

442r21612

rsin 221

弧度，点落在△OAB内的概率是＝sin 2.

12×2×r22

13．某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160,165)，第2组[165,170)，第3组[170,175)，第4组[175,180)，第5组[180,185)，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求第3,4,5组的频率；

(2)为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

解 (1)由题设，可知第3组的频率为0.06×5＝0.3， 第4组的频率为0.04×5＝0.2， 第5组的频率为0.02×5＝0.1. (2)第3组的人数为0.3×100＝30，

第4组的人数为0.2×100＝20， 第5组的人数为0.1×100＝10.

因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽302010

取的人数分别为第3组：×6＝3，第4组：×6＝2，第5组：×6＝1，所以第3,4,5

606060组分别抽取3名，2名，1名．

创造并非逻辑推理之结果，逻辑推理只是用来验证已有的创造设想。 ——艾伯特·爱因斯坦(1879～1955，美国物理学家) 学校要求老师在教育过程中要像艺术家那样，创造性地劳动。首先，老师应该自己就曾在这样的学校中成长。其次，老师应该有极大的自由去选择教授内容和教授方法。——爱因斯坦