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三角运算及三角不等关系

三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。

三角运算

一．三角运算的常规思考

三角运算主权涉及3个主要变形：角、函数名称、运算方式。其中的难点与关键在角。大量的三角运算技巧都与角的处理有关。遇到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这3个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。特别地，对于证明题，从找条件与结论的差异入手，并向着消除差异的方向前进，常能成功。 例1．已知,都是钝角，且sin

例2．设,为锐角，且sin

二．三角变换与方程

2123，cos()，求sin 135sin2sin()，求证：2。

数学公式（或条件等式）本身就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。 例3．已知

三．三角变换与构造法

通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题 例5．求cos

例6．求值：cos10cos50sin40sin80

例7．已知：A1cos1A2cos2Ancosn0

A1cos(11)A2cos(21)Ancos(n1)0

求证：对任意R，恒有A1cos( 1)A2cos(2)Ancos(n)0。

22sinsinb22（ab4），求sin()，cos()。

coscosa24cos的值。 55

例8 求满足等式1512cosx743sinx4的锐角x。

四．三角法

引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。

2ababa2b2例9．已知ab0，求证：。 abab22

例10．在△ABC中，P为形内一点，PD、PE、PF为P到三边BC、CA、AB的距离，求证：PAPBPC2(PDPEPF)

例11．求函数yx4153x的值域。

三角不等关系

这是一个与三角恒等变形密切相关的问题，主要包括两个方面：三角不等式与三角最值。这两个方面在处理方法上在同小异，并互为所用。 一．三角不等式的证明 证明三角不等式注意3点：

（1）三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有关性质和证明方法在这里都用得上。 （2）三角不等式又有自己的特点——含三角函数，因而，三角函数的单调性、有界性（或极值），正负区间，图像特征都是处理三角不等式的锐利武器。

（3）三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式，无论在结构上还是在证法上都有特别之处，需要加倍注意。

例12．若0，求证：sin

例13．已知0，证明：2sin2ctg

例14．已知,(0,

11sin2sin30 232，并讨论等号成立的条件。

2)，能否以sin，sin，sin()的值为边长，构成三角形。

例15．在△ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，求证：

例16．在锐角△ABC中，求证

（1）sinAsinBsinCcosAcosBcosC；（2）tgAtgBtgC1

二．三角最值的求解

例17．求函数f(x)asin2xbsinxcosxxcos2x的最大值、最小值(ac,b0)

例18．求y

例19．求函数y

aAbBcC。

abc3abtgx的最小值，其中ab0

|cosx|3sinx1的最值。

sinx2

例20．设xyz12，且xyz2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值。

习题

1．

cos20cos351cos2022= 。

2．cosxcos(x24)cos2(x)= 。 333．若{x|cos2xsinxm0}，求m的取值范围。 4．在△ABC中，sinABCsinsin的最大值为 。 2225．设x1,x2,xn为n个实数，则cosx1cosx2cosxnsinx1sinx2sinxnM时，则M的最小值为 。

sin2xcos2x6．函数f(x)的值域为 。

1cos2x1sin2x7．对任意实数A,B,C，求sinAcosBsinBcosCsinCcosA的最大值。 8．在矩形ABCD中，P为对角线BD上一点，且APBD，PEBC于E，PFCD于

222222PE3PF3F，求证：()()1。

BDBD

22

9．任给13个互不相等的实数，求证其中至少有两个实数x,y满足0xy23。

1xy10在△ABC中，求证：cacosAbcosB；bccosCacosA；

abcosBacosA。

11．设为锐角，求证：(111)(1)322 sincos12．对x(0,2)，求证：2xsinxtgx。