例子：自行车的三角架2.三角形的高、中线和角平分线： （1）高：
画一个锐角△ ABC，过A点向它所对的边BC所在 的直线画垂线，垂足为D；你能画出其他两边上的高吗？通过画图你发现什么？ 想一想，如何画钝角三角形较小两边上的高？
直角三角形的一条直角边是另一条直角边上的高。
直角三角形中，设∠C为直角，则边长有如下公式：AB2=BC2+AC2（勾股定理）
例题：（1）一个直角三角形的三边长分别是15，20和25，则它的最大边上的高为（ ）
（A）12 （B）10 （C) 8 (D) 5 （2） 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
（3）下列各阴影部分的面积有何关系（写出比例）？
*三角形的三条高线交于一点，一个三角形三条高所
在直线交点在三角形外部的，这个三角形是钝角三
角形。
（2）中线：
连结ΔABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，线段AD叫做ΔABC的边BC上的中线。一个三角形有三条边，所以有三条中线，中线将一个三角形分成两个面积相同的三角形（能否证明之？）。
三角形面积＝（底边×高）÷2 画出ΔABC的另外两边上的中线；
说出哪条线段是ΔABC的哪条边上的中线 观察ΔABC的三条中线，说说你的发现。
把刚才的锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形，结果又怎么样呢？ *三角形的三条中线在三角形的内部交于一点
例题：在ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm ，则AC-AB=____ 例题：已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线x的取值范围是___。 （3）平分线
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，线段AD叫做ΔABC的角平分线。
画出ΔABC的另外两条角平分线； 观察三条角平分线，说说你的发现。对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果？
*三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点 例题：（1）在△ABC中，AD是边BC上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=470， ∠C=730求∠DAE的度数。
（2）直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角（ ） (A)125° (B)135° (C)145° (D)150°
（3）下列语句是对三角形的描述：①三条线段首尾顺次相接所组成的图形就是三角形。②已知△ABC，则三边可以表示为AB=c,AC=b,BC=a.③三角形的角平分线是一条射线。④三角形的中线是一条线段。⑤三角形的高是一条直线。⑥一个三角形的三个角都可能大于700。上述中错误的有（ ） 1、 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
练一练
3.如右图，在△ABC中,AD是△ ABC的BC边上的中线,设△ ABC的面积为S
（1）
（2）△ ACD的面积为 （3）若点E是AC的中点，则
＝
（4）若点F是AB的中点，连结EF、DF，求△ DEF的面积。
2.三角形的角
。
（1）三角形的内角和等于180。
证法1：延长BC到CD，在△ABC的外部， 以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A， 于是CE∥BA
(内错角相等，两直线平行). ∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 证法2：过A作EF∥BA，
∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1(两直线平行,内错角相等) 又∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
*三角形中，最大的内角所对的边最大，可以简述为大边对大角，等边对等角。
练一练：
1.如图∠A=500，∠C=650，则∠CBD=_________
C A
B D
2.在△ABC中， ∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A = ∠ B= ∠ C= . 3. 直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.
4.已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500。
例题 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。求△ABC各角度数。
（2）三角形的外角：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（如何证明？）。 证明：如右图，图中△ABC中，延长BC到D，过C作直线CE//AB，则有 ∠A＝∠1（ ） ∠B＝∠2（ ）
所以∠A＋∠B+∠ACB=∠ACB+∠1+∠2=180° 所以∠ACD＝∠A＋∠B。
三角形的一个外角与它相邻的内角互补 三角形的外角和等于360°
例题：如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
练一练：
1.如图，D是△ABC的BC边上一点， ∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°, ∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数； （2）∠C的度数. 2.∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
3.已知：如图，∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°， 求证：AB∥CD（用多种方法证明）
二． 多边形 1.多边形的内角和
三角形内角和 180°。
你知道长方形和正方形的内角和是多少？ （如何证明？）
如图所示，利用辅助线将四边形分割成两 个三角形的方法，利用三角形内角和等于 180°，得到四边形内角和等于360°。
你知道五边形的内角和吗？六边形呢？七边形呢？100边形呢？
*利用在探究上述多边形内角何时得到的规律，可得n边形的内角和等于
(n－2) × 180°
*可否从多边形内取一点证明？ 2.多边形的外角和：
三角形的外角和是360 °
证明：
如右图，在△ABC中三个内角和等于180°，其三个对应的外角为∠1，∠2，和∠3，由于∠A+∠B+∠C+∠1+∠2+∠3=540°(三个平角之和) 所以∠1+∠2+∠3=540°－180° ＝360°
三角形的外角共有6个，外角和是指三个不同内角所对应的外角之和。
你能否证明，四边形的外角和等360°？五边形呢？六边形……25边形呢？
练一练：
1.已知一个多边形每个内角都等于 108° ，求这个多边形的边数？
2. 如图所示，已知B60°，C20°，BEC3A，求A
的度数。
A E B C
三.平面镶嵌
几个多边形进行平行镶嵌，关键在于其共同顶点对应的角度之和等于360°。 如，用正六边形进行平面镶嵌，由于正六边形每个角都是120°，所以三个顶角相加等于360°，如下图所示。
那么，正三角形平面镶嵌呢？正四边形平面镶嵌呢？正五边形能否平面镶嵌？能否用两种正多边形进行平面镶嵌？三种呢？
例题：下列多边形中，能够铺满地面的是：（ ）
A、正八边形 B、正方形 C、正三角形 D、正六边形 E、正五边形 F、正十二边形
例题：如图所示，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，∠F的度数和。
例题：如图所示，求∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7的度数和。
已知正整数a，b，c，a
