极值点偏移定义及判定定理

所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数f(x)在xx0处取得极值，且函数yf(x)与直线yb交于A(x1,b),B(x2,b)两点，则AB的中点为M(所示.

x1x2xx,b)，而往往x012.如下图22 极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义

对于函数yf(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0，方程f(x)0的解分别为

x1、x2，且ax1x2b，（1）若

值点x0偏移；（2） 若

x1x2x0，则称函数yf(x)在区间(x1,x2)上极2x1x2x0，则函数yf(x)在区间(x1,x2)上极值点x0左偏，简2xx2称极值点x0左偏； （3）若1x0，则函数yf(x)在区间(x1,x2)上极值点x0右

2偏，简称极值点x0右偏。 2、极值点偏移的判定定理

判定定理： 对于可导函数yf(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点

（1）若f'(x0，方程f(x)0的解分别为x1、x2，且ax1x2b，

x1x2)0，则2x1x2；（2）0()x0，即函数yf(x)在区间(x1,x2)上极大（小）值点x0右（左）偏

2xx2xx若f'(1)0，则12()x0，即函数yf(x)在区间(x1,x2)上极大（小）值点

22x0左（右）偏。 1

二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2，求证：x1x22x0（x0为函数f(x)的极值点）； 2. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1x2满足f(x1)f(x2)，求证：x1x22x0（x0为函数f(x)的极值点）； x1x2，求证：f'(x0)0； 2xx24. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1x2满足f(x1)f(x2)，令x01，求证：

23. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2，令x0f'(x0)0 三、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数f(x)的极值点x0； （2）构造一元差函数F(x)f(x0x)f(x0x)； （3）确定函数F(x)的单调性； （4）结合F(0)0，判断F(x)的符号，从而确定f(x0x)、f(x0x)的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

2

2、抽化模型 答题模板：若已知函数f(x)满足f(x1)f(x2)，x0为函数f(x)的极值点，求证：

x1x22x0.

（1）讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x0；

假设此处f(x)在(,x0)上单调递减，在(x0,)上单调递增. （2）构造F(x)f(x0x)f(x0x)； 注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)f(x)f(2x0x)的形式.

（3）通过求导F'(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出

f(x0x)与f(x0x)的大小关系； 假设此处F(x)在(0,)上单调递增，那么我们便可得出

F(x)F(x0)f(x0)f(x0)0，从而得到：xx0时，f(x0x)f(x0x).

（4）不妨设x1x0x2，通过f(x)的单调性，f(x1)f(x2)，f(x0x)与f(x0x)的大小关系得出结论； 接上述情况，由于xx0时，f(x0x)f(x0x)且x1x0x2，f(x1)f(x2)，故f(x1)f(x2)f[x0(x2x0)]f[x0(x2x0)]f(2x0x2)，又因为x1x0，

2x0x2x0且f(x)在(,x0)上单调递减，从而得到x12x0x2，从而x1x22x0得证.

（5）若要证明f'(x1x2xxxx)0，还需进一步讨论12与x0的大小，得出12所在的222x1x2x0，由于f(x)在(,x0)上单2单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.21 此处只需继续证明：因为x1x22x0，故调递减，故f'(【说明】 3

x1x2)0. 2（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f(x0x)与f(x0x)（或f(x)与f(2x0x)）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如x1x22x0或f'(小问分解为三问逐步解题.2x1x2)0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该24