高一数学 “简易逻辑”习题课教案

教材：“简易逻辑”习题课

目的：通过习题的讲解与练习，努力达到熟练技巧。 过程：

一、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题： 1．p：李明是高中一年级学生 q：李明是共青团员 解：p或q：李明是高中一年级学生或是共青团员

p且q：李明是高中一年级学生且是共青团员

非p：李明不是高中一年级学生 2．p：52 q：5是无理数 解：p或q：5是大于2或是无理数

p且q：5是大于2且是无理数

非p： 5不大于2

3．p：平行四边形对角线相等 q：平行四边形对角线互相平分 解：p或q：平行四边形对角线相等或互相平分

p且q：平行四边形对角线相等且互相平分

非p： 平行四边形对角线不一定相等 4．p：10是自然数 q：10是偶数 解：p或q：10是自然数或是偶数

p且q：10是自然数且是偶数

非p： 10不是自然数

二、分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题： 1．x=2或x=3是方程x2

5x+6=0的根

2

解： p：x=2是方程x5x+6=0的根 q：x=3是方程x2

5x+6=0的根

是p或q的形式 2．既大于3又是无理数

解： p：大于3 q：是无理数 是p且q的形式 3．直角不等于90

是非p形式

解： p：直角等于90 4．x+1≥x3

解： p：x+1>x3 q：x+1=x3 是p或q的形式

5．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 解： p：垂直于弦的直径平分这条弦

q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 是p且q的形式

三、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假： 1．p：末位数字是0的自然数能被5整除 q：5解：p或q：末位数字是0的自然数能被5整除或5 p且q：末位数字是0的自然数能被5整除且5 非p：末位数字是0的自然数不能被5整除

∵p真q假 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为假。 2．p：四边都相等的四边形是正方形 q：四个角都相等的四边形是正方形 解：p或q：四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形 p且q：四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形 非p：四边都相等的四边形不是正方形

∵p假q假 ∴“p或q” 为假，“ p且q”为假，“非p”为真。 3．p：0

q：{x|x2

{x|x+3x{x|x+3x{x|x+3x22

2

10=0} 10=0} 10=0}

3x2

 R 5<0}  R 5<0}  R 5<0}

解：p或q： 0 p且q： 0 非p： 0

或{x|x且{x|x3x3x2

∵p假q真 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为真。 4．p：5≤5 q：27不是质数 解：p或q：5≤5或27不是质数 p且q：5≤5且27不是质数 非p： 5>5

∵p真 q真 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为真，“非p”为假。 5．p：不等式x+2x2

8<0的解集是：{x|4 2} 44或x> 2} 4或x> 2}

q：不等式x2+2x2

8<0的解集是：{x| x<

8<0的解集是：{x|8<0的解集是：{x|

解：p或q：不等式x+2x p且q：不等式x+2x 非p：不等式x+2x22

8<0的解集不是：{x|

∵p真 q假 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为假。

四、把下列改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假： 1．实数的平方是非负数。

解：若一个数是实数，则它的平方是非负数。（真命题） 2．等底等高的两个三角形是全等三角形。

解：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形。（假命题） 3．被6整除的数既被3整除又被2整除。

解：若一个数能被6整除，则它能被3整除又能被2整除。（真命题） 4．弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。

解：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。五、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假： 1．面积相等的两个三角形是全等三角形。

解：逆命题：两个全等三角形面积相等。（真命题）

否命题：面积不等的两个三角形不是全等三角形。（真命题） 逆否命题：不全等的两个三角形面积不相等。（假命题） 2．若x=0则xy=0。

解：逆命题：若xy=0则x=0。（假命题）

否命题：若x0则xy0。（假命题） 逆否命题：若xy0则x0。（真命题）

3．当c<0时，若ac>bc则a解：逆命题：当c<0时，若abc。（真命题）

否命题：当c<0时，若ac≤bc则a≥b。（真命题） 逆否命题：当c<0时，若a≥b则ac≤bc。（真命题） 4．若mn<0，则方程mx2

x+n=0有两个不相等的实数根。

解：逆命题：若方程mx2

x+n=0有两个不等实数根，则mn<0。（假命题）

否命题：若mn≥0，则方程mx2

x+n=0没有两个不等实数根。（假命题）逆否命题：若方程mx2

x+n=0没有两个不等实数根，则mn≥0。（真命题）六、写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假： 1．若x,y都是奇数，则x+y是偶数。

解：命题的否定：x,y都是奇数且x+y不是偶数。（假命题） 否命题：若x,y不都是奇数，则x+y不是偶数。（假命题） 2．若xy=0则x=0或y=0

（真命题）

解：命题的否定：xy=0且x否命题：若xy七、用反证法证明：

0又y0则x0。（假命题） 0且y0。（真命题）

1．已知a与b均为有理数，且a和b都是无理数，证明a+b也是无理数。 证明：假设a+b是有理数，则（a+b）（a由a>0, b>0 则a+b>0 即a+b∴ab0

b）=ab

abab ∵a,bQ 且a+bQ

∴

ababQ 即（ab）Q

这样（a+b）+（a从而 ab）=2aQ

Q （矛盾） ∴a+b是无理数。

2．在同一平面内一直线的垂线与斜线一定相交。

证明： 假设l1与l2不相交，则l1∥l2

如图，设l1与l2相交所得的一对同位角为 则1=2 ∵l2是l的斜线 ∴

2 1 l 从而 190 说明l1与l的交角不是直角，这与l1 ∴l1和l2一定相交。

八、指出下列各组命题中p是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）：

1．p：a>b q：a>b 则p是q的 既不充分也不必要条件 。 2．p：{x|x>

2或x<3} q：{x|x2

2

2

l2 l1

1和90

2

2

l矛盾

x6<0} 则p是q的 必要而不充分条件 。

3．p：a与b都是奇数 q：a+b是偶数 则p是q的 充分不必要条件 。 4．p：012

q：方程mx32x+3=0有两个同号且不相等的实数根 则p是q的 充要条件 。

九、判断下列命题的真假： 1．(x2)(x+3)=0是(x2)+(y+3)=0的充要条件。

3

2

2

解：是假命题。反例；若x=2, y2

2．x=4x+5是 x4x5x的必要条件。 解：是假命题。{x| x=4x+5}={

2

21,5} {x| x4x5x}={0,5}

2 3．内错角相等是两直线平行的充分条件。 解：是真命题。 4．ab<0是 |a+b|<|a 解：是假命题。|ab| 的必要而不充分条件。 b|>|a+b|≥0  (ab)2>(a+b)2  a2

2ab+b> a+2ab+b2

2

2

 4ab<0  ab<0 ∴(ab<0是 |a+b|<|a十、已知关于x的方程 (1

b| 的充要条件)

a)x2+(a+2)x4=0 aR 求：

1) 方程有两个正根的充要条件； 2) 方程至少有一个正根的充要条件。 解：1) 方程(1

a)x2+(a+2)x4=0有两个实根的充要条件是：1a0

0即：a1a1 2(a2)16(1a)0a2或a101

即： a≥10或a≤2且a 设此时方程两根为x1，x2 ∴有两正根的充要条件是：

a1a1a2或a10a2或a10a2     14 3 方程有一正、一负根的充要条件是：

a11a0 0  a2或a10  a<1

4xx0012a1 综上：方程(1

a)x2+(a+2)x4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10。