第14讲 正弦定理和余弦定理

第6讲 正弦定理和余弦定理 【2014年高考会这样考】

1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 基础梳理

abc

1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．几个变形：

sin Asin Bsin C(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

abc

(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．

2R2R2R

2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2

定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2bc2ac2ab

111abc1

3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三

2224R2角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．判断三角形个数

一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 双基自测

1．（2013·湖南）锐角ABC,角A,B所对边长分别为a,b. 若2asinB=3b,则角A等于（ ）

A．

3B．

4 C．

6 D．

12

2．（2013·北京）在△ABC中,a3,b5,sinA1,则sinB（ ） 3A．

1 5B．

5 9C．5 3D．1

3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°

1

4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝，则△ABC的面积为( )．

3A．33 B．23 C．43 D.3

5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．

1

高一升高二复习资料

考向一 利用正弦定理解三角形

【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.

π【训练1】 (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则sin A＝________；

4a＝________.

考向二 利用余弦定理解三角形

【例2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，A

且2cos2 ＋cos A＝0.

2

(1)求角A的值； (2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．

考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状

【例3】在△ABC中，若acosAbcosB ，则△ABC是( )．

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或者直角三角形 D．等腰直角三角形

【训练2（】2013·陕西）△ABC内角A, B, C所对边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA,

则△ABC的形状为（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

abc

【训练3】 在△ABC中，若＝＝；则△ABC是( )．

cos Acos Bcos CA．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

考向四 正、余弦定理的综合应用

【例4】（2013·浙江）在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且2asinB=3b .

(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.

2

高一升高二复习资料

【训练4】 (2011·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且4

cos B＝，b＝2.

5

(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．

cos Bb【训练5】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.

cos C2a＋c(1)求角B的大小；

(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．

点击高考

1.（2013·大纲卷）设ABC的内角

A,B,C的对边分别为

a,b,c,(abc)(abc)ac.

(I)求B (II)若sinAsinC31,求C. 4

2.（2013·天津）在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知bsinA3csinB,

a = 3, cosB.

(Ⅰ) 求b的值; (Ⅱ) 求sin2B的值.

3

3

23高一升高二复习资料

3.（2013·四川）在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

3cos(AB)cosBsin(AB)sin(Ac).

5(Ⅰ)求sinA的值;

(Ⅱ)若a42,b5,求向量BA在BC方向上的投影.

4.（2013·湖北）在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c. 已知

cosA23coBs(C. )(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若△ABC的面积S53,b5,求sinBsinC的值.

5．（2013·山东）ABC内角A、B、C对边分别是a、b、c,若B2A,a1,b3,

则c（ ） A．23

6．（2013·安徽）ABC内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若

B．2

C．2

D．1

bc2a,3sinA5sinB,则角C=（ ）

A．

7.（2013·新课标Ⅱ）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为（ ）

A．2

+2

B．

+1

C．2

-2

D．

-1

3 B．

2 3C．

3 4D．

5 6 4