高中数学必修一单元测试及答案

高中数学必修一单元测试及答案(总

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第一章 集合与函数概念

一、选择题

1．已知全集U＝{0，1，2}且UA＝{2}，则集合A的真子集共有( )． A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

2．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{ x|x＜a}，若AB，则a的取值范围是( )． A．{a|a≥1} B．{a|a≤1}

C．{a|a≥2}

D．{a|a＞2}

3．A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且ABA，则m的取值集合是( )． A．， － B．0， －， －

1312131211C．  ， － D．，0，3211324．设I为全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A．M ∩(N∪P) B．M ∩(P ∩IN) C．P ∩(IN ∩IM ) D．(M ∩N)∪(M ∩P)

(第4题)

y－35．设全集U＝{(x，y)| x∈R，y∈R}，集合M＝(x，y)|＝1， x－2P＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么U(M∪P)等于( )．

A．

B．{(2，3)} D．{(x，y)| y＝x＋1}

C．(2，3)

6．下列四组中的f(x)，g(x)，表示同一个函数的是( )． A．f(x)＝1，g(x)＝x0 C．f(x)＝x2，g(x)＝(x)4

1x

x2B．f(x)＝x－1，g(x)＝－1

xD．f(x)＝x3，g(x)＝3x9

7．函数f(x)＝－x的图象关于( )． A．y轴对称

B．直线y＝－x对称 D．直线y＝x对称

C．坐标原点对称 8．函数f(x)＝

1

(x∈R)的值域是( )． 1＋x2

C．[0，1) 2

D．[0，1]

A．(0，1) B．(0，1]

9．已知f(x)在R上是奇函数，f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )．

A．－2

B．2

C．－98

D．98

10．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)的图象重合．设a＞b＞0，给出下列不等式：

①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)；②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)； ③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)；④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a). 其中成立的是( )．

A．①与④ 二、填空题

11．函数yx1x的定义域是 ．

12．若f(x)＝ax＋b(a＞0)，且f(f(x))＝4x＋1，则f(3)＝ ．

B．②与③ C．①与③ D．②与④

13．已知函数f(x)＝ax＋2a－1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a的取值范围是 ．

14．已知I＝{不大于15的正奇数}，集合M∩N＝{5，15}，(IM)∩(IN)＝{3，13}，M ∩(IN)＝{1，7}，则M＝ ，N＝ ．

15．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}且B≠，若A∪B＝A，则m的取值范围是_________．

16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)＝ ．

三、解答题

17．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{ x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，且(A∩B)，A∩C＝，求a的值．

3

18．设A是实数集，满足若a∈A，则

1∈A，a≠1且1 A． ∈ 1－a(1)若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素． (2)A能否为单元素集合？请说明理由． (3)若a∈A，证明：1－1a∈A．

19．求函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，

4

1]上的最小值． 20．已知定义域为R的函数f(x)＝(1)求a，b的值；

－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

一、选择题

1．对数式log2－A．－1 存在

3(2＋3)的值是( )．

B．0

C．1

D．不

2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝loga x的图象是( )．

A B C D

3．如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是( )． A．(1－a)＞(1－a) C．(1－a)3＞(1＋a)2

1312

B．log1－a(1＋a)＞0 D．(1－a)1+a＞1

5

4．函数y＝loga x，y＝logb x，y＝logc x，y＝logd x的图示，则a，b，c，d的大小顺序是( )．

A．1＜d＜c＜a＜b B．c＜d＜1＜a＜b C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b

(第4题)

象如图所

5．已知f(x6)＝log2 x，那么f(8)等于( )． A．

D．

 1上是减函数，那么实数a的取值范6．如果函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间，1243

12 B．8 C．18

围是( )．

A．

a≤2 D．a≥3

B．a＞3

C．2≤a≤3

7．函数f(x)＝2－x－1的定义域、值域是( )． A．定义域是R，值域是R (0，＋∞)

C．定义域是R，值域是(－1，＋∞) R

8．已知－1＜a＜0，则( )．

D．定义域是(0，＋∞)，值域为

B．定义域是R，值域为

1A．(0.2)＜＜2a

2a

a

1B．2＜＜(0.2)a

2a

a

1C．2a＜(0.2)a＜

2a

1D．＜(0.2)a＜2a

2a6

9．已知函数f(x)＝围是( )．

A．(0，1)

D．，1

171(3a1)x4a，x≤ 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范

logx， x＞ 1a B．0，

13

C．，

1713

10．已知y＝loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是( )． A．(0，1)

B．(1，2)

C．(0，2)

D．［2，＋∞) 二、填空题

11．满足2－x＞2x的x的取值范围是 ．

12．已知函数f(x)＝log0.5(－x2＋4x＋5)，则f(3)与f(4)的大小关系为 ． 13．

log32的值为_____．

log27log3x，x＞0，则x2， x≤0，14．已知函数f(x)＝1ff9的值为_____． 15．函数y＝log0.5(4x－3)的定义域为 ． 16．已知函数f(x)＝a－三、解答题

17．设函数f(x)＝x2＋(lg a＋2)x＋lg b，满足f(－1)＝－2，且任取x∈R，都有f(x)≥2x，求实数a，b的值．

7

1，若f(x)为奇函数，则a＝________． x21

18．已知函数f (x)＝lg(ax2＋2x＋1) ．

(1)若函数f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若函数f (x)的值域为R，求实数a的取值范围．

19．求下列函数的定义域、值域、单调区间： (1)y＝4x＋2x+1＋1；

x2－3x＋2(2)y＝13．

20．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；

(2)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的集合．

8

a＞0，a≠1． 第三章 函数的应用

一、选择题

1．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )． A．x2＋x－3＝0 C．x＋ln x＝0

12

B．＋1＝0

1xD．x2－lg x＝0

2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0］上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)＜0的x的取值范围是( )．

A．(－∞，－2］ 2)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞)

D．(－2，2)

B．(－∞，－

3. 若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )．

A．{a|a＞1}

B．{a|a≥2} D．{a|1＜a＜2}

C．{a|0＜a＜1}

4．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则下列命题正确的是( )．

A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点

x2＋2x－3，x≤ 05. 函数f(x)＝的零点个数为( ).

－2＋lnx，x＞0 A．0 B．1 9

C．2 D．3

6. 图中的图象所表示的函数的解析式为

3233B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)

223C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)

2( ).

A．y＝|x－1|(0≤x≤2)

D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)

7．当x∈(2，4)时，下列关系正确的是( )． A．x2＜2x ＜log2 x

8．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到( )．

A．300只

D．600只

9．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低( )元．

A．2元

B．2.5元

C．1元

B．400只

C．500只

B．log2 x＜x2

C．log2 x＜

1xD．2x

D．1.5元

10．某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主每天从报社买进( )份晚报．

A．250

B．400

C．300

D．350

二、填空题

10

11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a的取值范围是 ．

12．用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长

米，宽 米.

13．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重x(0＜x≤40)(克)的函数，其表达式为 ．

14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t

1系式为y16ta进行消药量y(毫的函数关提供的信

(第14题)

(a为常数)，如图所示，根据图中

息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 .

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.

15．已知f(x)＝(x＋1)·|x－1|，若关于x的方程f(x)＝x三个不同的实数解，则实数m的取值范围 ．

16．设正△ABC边长为2a，点M是边AB上自左至右动点，过点M的直线l垂直与AB，设AM＝x，△ABC内位左侧的阴影面积为y，y表示成x的函数表达式为 ．

11

的一个于直线l＋m有

三、解答题

17．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

18．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器．已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元．

(1)若要求总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？

(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

12

19．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：

时间t 50 110 250 成本Q 150 108 150 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logb t；

(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．

20．设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1 )，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?

13

期末测试题

考试时间：90分钟

试卷满分：100分

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩UB＝( )． A．{x|0≤x＜1}

D．{x|x＞1}

2．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是( )． ．．

B．{x|0＜x≤1}

C．{x|x＜0}

A B C D

3．已知函数 f(x)＝x2＋1，那么f(a＋1)的值为( )． A．a2＋a＋2

B．a2＋1

C．a2＋2a＋2

D．a2＋2a＋1

4．下列等式成立的是( )． A．log2(8－4)＝log2 8－log2 4 C．log2 23＝3log2 2

B．

log288＝log2 log244D．log2(8＋4)＝log2 8＋

log2 4

5．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．

14

A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2 B．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x C．f(x)＝x－1，g(x)＝x＋1

x－12D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1 6．幂函数y＝xα(α是常数)的图象( ). A．一定经过点(0，0) C．一定经过点(－1，1)

B．一定经过点(1，1) D．一定经过点(1，－1)

7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：

运送距离x(km) O＜x≤500 邮资y(元) 5.00 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 1 500＜x≤2 000 6.00 7.00 8.00 … … 如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km的某地，他应付的邮资是( ). A．5.00元

D．8.00元

8．方程2x＝2－x的根所在区间是( ). A．(－1，0)

D．(0，1)

19．若log2 a＜0，＞1，则( ).

2b B．6.00元 C．7.00元

B．(2，3) C．(1，2)

A．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0

B．a＞1，b＜0 D．0＜a＜1，b＜0

10．函数y＝16－4x的值域是( ). A．[0，＋∞)

D．(0，4)

B．[0，4]

C．[0，4)

15

11．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)的是( ).

A．f(x)＝ C ．f(x)＝ex

1x

B．f(x)＝(x－1)2 D．f(x)＝ln(x＋1)

12．奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是( ).

A．(－∞，－1)∪(0，1) ∞)

C．(－1，0)∪(0，1) 13．已知函数f(x)＝A．－2

D．1

1的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，1－x B．(－∞，－1)∪(1，＋

D．(－1，0)∪(1，＋∞)

log2x，x＞0，则f(－10)的值是( ).

f(x＋3)，x≤ 0 B．－1 C．0

14．已知x0是函数f(x)＝2x＋则有( ).

A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0

B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上． 15．A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|x＞a}，若AB，则a取值范围是 ． 16．若f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函数，则函数f(x)的增区间是 ． 17．函数y＝log2x－2的定义域是 ． 18．求满足14x2－8＞4－2x的x的取值集合是 ．

16

三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．(8分) 已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)． (1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．

20．(10分)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋ax(x∈R)． (1)证明：当 a＞2时，f(x)在 R上是增函数． (2)若函数f(x)存在两个零点，求a的取值范围．

17

21．(10分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大最大月收益是多少

18

参

第一章 集合与函数的概念

一、选择题

1．A解析：条件UA＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有，{0}，{1}，故正确选项为A．

∈ a＝2时，2 2．D解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当B，故不满足条件AB，所以，正确选项为D．

3．C解析：据条件A∪B＝A，得BA，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合

，{－3}，{2}，所以，m的取值集合是C．

4．B解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正确选项为B．

5．B解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M P就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U(M P)就是点(2，3)的集合，即U(M P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．

6．D解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数的定义域不同，正确选项为D．

7．C解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如取x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．

8．B解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．

19

9．A解析：利用条件f(x＋4)＝f(x)可得，f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，再根据f(x)在R上是奇函数得，f(7)＝－f(1)＝－2×12＝－2，故正确选项为A．

10．C解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，函数f(x)，g(x)在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C．

二、填空题

11．参：{x| x≥1}．解析：由x－1≥0且x≥0，得函数定义域是{x|x≥1}． 12．参：

19．解析：由f(f(x))＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋1，所以a2＝4，ab＋b＝319111(a＞0)，解得a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋，于是f(3)＝．

3331 ．解析：a＝0时不满足条件，所以a≠0． 13．参：， 2＋∞(1)当a＞0时，只需f(0)＝2a－1＞0； (2)当a＜0时，只需f(1)＝3a－1＞0． 1 ． 综上得实数a的取值范围是，2＋∞

14．参：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．解析：根据条件I＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M∩N＝{5，15}，M∩(IN)＝{1，7}，得集合M＝{1，5，7，15}，再根据条件(IM)∩(IN)＝{3，13}，得N＝{5，9，11，15}．

15．参：(2，4]．

－2m＋1≥解析：据题意得－2≤m＋1＜2m－1≤7，转化为不等式组m＋1＜2m－1，解得m的

2m－1≤ 7取值范围是(2，4]．

16．参：x(1－x3)． 解析：∵任取x∈(－∞，0]，有－x∈[0，＋∞)， ∴ f(－x)＝－x［1＋(－x)3］＝－x(1－x3)， ∵ f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)． ∴ f(x)＝－f(－x)＝x(1－x3)，

即当x∈(－∞，0]时，f(x)的表达式为f(x)＝x(1－x3)．

20

三、解答题

17．参：∵B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}， ∈4 A ∈ ∴由A∩C＝知，－，2 A； 由(A∩B)知，3∈A．

∴32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2．

当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝B，与A∩C＝矛盾． 当a＝－2时，经检验，符合题意． 18．参：(1)∵ 2∈A，

11＝＝－1∈A； 1－a1－2111∴＝＝∈A；

1＋11－a2∴

∴

11＝＝2∈A．

11－a1－2因此，A中至少还有两个元素：－1和． (2)如果A为单元素集合，则a＝

1，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解，故1－a12在实数范围内，A不可能是单元素集．

(3)证明： a∈A

1－a111∈A ∈A∈A，即1－∈A．

11－aa1－a＋11－1－a2aa219．参： f(x)＝2x－＋3－．

22(1)当＜－1，即a＜－2时，f(x)的最小值为f(－1)＝5＋2a；

a2aa(2)当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，f(x)的最小值为f＝3－；

222a2(3)当＞1，即a＞2时，f(x)的最小值为f(1)＝5－2a．

a221

a＜－2，5＋2a，a2综上可知，f(x)的最小值为3－， －2≤a≤2，25－2a， a＞2．20．参：(1)∵函数f(x)为R上的奇函数，

－2x＋1－1＋b∴ f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，a≠－2， 从而有f(x)＝x＋1．

2＋a2＋a1－＋1－2＋1又由f(1)＝－f(－1)知＝－2，解得a＝2．

1＋a4＋a(2)先讨论函数f(x)＝

12＋1x2－2x＋12x＋1＋2＝－＋

1212＋1x的增减性．任取x1，x2∈R，且x1＜

x2，f(x2)－f(x1)＝－

12＋1x1＝

2x1－2x2(2＋1)(2＋1)x2x1，

∵指数函数2x为增函数，∴2x1－2x2＜0，∴ f(x2)＜f(x1)， ∴函数f(x)＝

－2x＋12x＋1＋2是定义域R上的减函数．

由f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0得f(t2－2t)＜－f(2t2－k)， ∴ f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，∴ t2－2t＞－2t2＋k ()． 由()式得k＜3t2－2t．

又3t2－2t＝3(t－)2－≥－，∴只需k＜－，即得k的取值范围是

1 －． －∞，313131313

第二章 初等函数

一、选择题

1．A 解析：log2－3(2＋3)＝log2－3(2－3)1，故选A．

－

2．A 解析：当a＞1时，y＝loga x单调递增，y＝a－x单调递减，故选A．

22

3．A 解析：取特殊值a＝，可立否选项B，C，D，所以正确选项是A．

214．B 解析：画出直线y＝1与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a，b，c，d的值，由图形可得正确结果为B．

5．D 解析：解法一：8＝(2)6，∴ f(26)＝log22＝．

11621a－16．D 解析：由函数f(x)在≥1，解得a≥3． 1上是减函数，于是有，2212解法二：f(x6)＝log2 x，∴ f(x)＝log26x＝log2 x，f(8)＝log28＝．

16117．C 解析：函数f(x)＝2－1＝－1的图象是函数g(x)＝图象向下平移22－x

xx1一个单位所得，据函数g(x)＝定义域和值域，不难得到函数f(x)定义域是R，值域

2x是(－1，＋∞)．

18．B 解析：由－1＜a＜0，得0＜2a＜1，0.2a＞1，＞1，知A，D不正确．

2a11当a＝－时，22－12＝

10.5＜

10.2＝0.2－121，知C不正确． ∴ 2＜＜

2a

a0.2a．

9．C 解析：由f(x)在R上是减函数，∴ f(x)在(1，＋∞)上单减，由对数函数单调性，即0＜a＜1 ①，又由f(x)在(－∞，1]上单减，∴ 3a－1＜0，∴ a＜ ②，又由于由f(x)在R上是减函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1］上的最小值7a－1要大于等于f(x)在［1，＋∞)上的最大值0，才能保证f(x)在R上是减函数．

∴ 7a－1≥0，即a≥③．由①②③可得≤a＜，故选C．

10．B 解析：先求函数的定义域，由2－ax＞0，有ax＜2，因为a是对数的底，故有a＞0且a≠1，于是得函数的定义域x＜．又函数的递减区间［0，1］必须在函数的定义域内，故有1＜，从而0＜a＜2且a≠1．

2a2a1717131323

若0＜a＜1，当x在［0，1］上增大时，2－ax减小，从而loga(2－ax)增大，即函数

y＝loga(2－ax)在［0，1］上是单调递增的，这与题意不符.

若1＜a＜2，当x在［0，1］上增大时，2－ax减小，从而loga(2－ax)减小，即函数

y＝loga(2－ax)在［0，1］上是单调递减的．

所以a的取值范围应是(1，2)，故选择B． 二、填空题

11．参：(－∞，0)． 解析：∵ －x＞x，∴ x＜0．

12．参：f(3)＜f(4)． 解析：∵ f(3)＝log0.5 8，f(4)＝log0.5 5，∴ f(3)＜f(4)．

13．参：． 解析：

f14．参：． 解析：f＝log3＝－2，f＝f(－2)＝2－2＝． 4499912lg2lg27log3231＝·＝＝． lg3lglog27621111134x－3＞0x＞ 34⇔ 15．参： 1． 解析：由题意，得 ， ≥ 044x－3≤1log0.5(4x－3)3∴ 所求函数的定义域为 1． ，416．参：a＝． 解析：∵ f(x)为奇函数，

2x＋111∴ f(x)＋f(－x)＝2a－x－x＝2a－x＝2a－1＝0，

2＋12＋12＋1121∴ a＝．

2三、解答题

24

17．参：a＝100，b＝10． 解析：由f(－1)＝－2，得1－lga＋lg b＝0 ①，由f(x)≥2x，得x2＋xlg a＋lg b≥0 (x∈R)．∴Δ＝(lg a)2－4lg b≤0 ②．

联立①②，得(1－lg b)2≤0，∴ lg b＝1，即b＝10，代入①，即得a＝100． 18．参：(1) a的取值范围是(1，＋∞) ，(2) a的取值范围是[0，1]． 解析：(1)欲使函数f(x)的定义域为R，只须ax2＋2x＋1＞0对x∈R恒成立，所以有a＞0，解得a＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)；

4－4a＜ 0(2)欲使函数 f (x)的值域为R，即要ax2＋2x＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值． ①当a＝0时，a x 2＋2x＋1＝2x＋1，当x∈(－，＋∞)时满足要求；

②当a≠0时，应有 0＜a≤1．当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时满足Δ＝4－4a≥ 0要求(其中x1，x2是方程ax 2＋2x＋1＝0的二根)．

综上，a的取值范围是[0，1]．

19．参：(1)定义域为R．令t＝2x(t＞0)，y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1， ∴ 值域为{y | y＞1}．

t＝2x的底数2＞1，故t＝2x在x∈R上单调递增；而 y＝t2＋2t＋1在t∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y＝4x＋2x＋1＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．

131t∈－，＋∞(2)定义域为R．令t＝x－3x＋2＝x－－4． 422

212a＞0∴ 值域为(0，43]．

1∵ y＝在t∈R时为减函数，

31∴ y＝3x2－3x＋2t在－∞，上单调增函数，在，＋∞为单调减函数．

323225

20．参：(1){x |－1＜x＜1}； (2)奇函数；

(3)当0＜a＜1时，－1＜x＜0；当a＞1时，0＜x＜1．

x＋1＞0

解析：(1)f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，若要式子有意义，则 即－1＜x＜1，所以定义域为{x |－1＜x＜1}．

(2)设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1，1)，且

F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－［loga(1＋x)－loga(1－x)］＝－F(x)，所以f(x)－g(x)是奇函数．

(3)f(x)－g(x)＞0即loga(x＋1)－loga(1－x)＞0有loga(x＋1)＞loga(1－x)．

x＋1＞0

当0＜a＜1时，上述不等式 解得－1＜x＜0；

1－x＞0

x＋1＞0

当a＞1时，上述不等式 解得0＜x＜1．

1－x＞0

第三章 函数的应用 参

一、选择题

1．C 解析：易知A，B，D选项对应的函数在区间(0，1)内的函数值恒为负或恒为正，当x是接近0的正数时，x＋lnx＜0；当x接近1时，x＋lnx＞0. 所以选C．

2．D 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则另一个零点为－2，又在(－∞，0］上是减函数，则f(x)＜0的x的取值范围是(－2，2)．

3．A 解析：设函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a1)有两个零点， 就是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合，当a＞1时，因为函数

121226

y＝ax(a＞1)的图象过点(0，1)，而直线y＝x＋a所过的点(0，a)一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a＞1}.

4．D 解析：因为f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x轴相交有多种可能．例如，

(第4题)

所以函数f(x)必在区间(0，4)内有零点，正确选项为D． 5. C 解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0解得x＝－3；

当x＞0时，令－2＋ln x＝0，得x＝100，所以已知函数有两个零点，选C． 还可以作出f(x)的图象，依图判断．

6. B 解析：取特殊值x＝1，由图象知y＝f(1)＝由图象知y＝f(0)＝0，据此否C，故正确选项是B.

或者勾画选项B的函数图象亦可判断．

7．B 解析：当x∈(2，4)时，x2∈(4，16)，2x∈(4，16)，log2 x∈(1，2)，∈

11 ，显然C、D不正确，但对于选项A，若x＝3时，x2＝9＞23＝8，故A也不正，423，据此否定A，D，在取x＝0， 21x确，只有选项B正确．

27

8．A 解析：由题意知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100 log2(7＋1)＝100×3＝300．

9．D 解析：设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)．

经济效益：y＝(4－0.1x)(1 000＋100x)

＝－10x2＋300x＋4 000

＝－10(x2－30x＋225－225)＋4 000 ＝－10(x－15)2＋6 250．

x＝15时，ymax＝6 250．

每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．

10．B 解析：若设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份，则每月共可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x－250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润．

设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得 y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈［250，400］． ∵ 函数y在［250，400］上单调递增，∴ x＝400时，ymax＝825(元)．

即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元． 二、填空题

11．参：(－∞，－1)．

解析：函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f(2)＜0，可求实数a的取值范围是(－∞，－1)．

12．参：长宽分别为25米．

28

解析：设矩形长x米，则宽为(100－2x)＝(50－x)米，所以矩形面积y＝x(50－x)＝－x2＋50 x＝－(x－25)2＋625，矩形长宽都为25米时，矩形羊圈面积最大．

13．参：f(x)＝(0＜x≤ 20) 80

160 (20＜x≤ 40)12解析：在信件不超过20克重时，付邮资80分，应视为自变量在0＜x≤20范围内，函数值是80分；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160分，应视为自变量在20＜x≤40范围内，函数值是160分，遂得分段函数．

(0≤ t≤ 0.1)10t t0.114．参：(1) y＝1； (2)0.6．

(t＞0.1) 16解析：(1)据图象0≤t≤0.1时，正比例函数y＝kt图象过点(0.1，1)，所以，k＝10，

1即y＝10t；当t＞0.1时，y与t的函数y＝1611＝160.1ata(a为常数)的图像过点(0.1，1)，即得

1，所以a＝0.1，即y＝16t0.1t0.1．

111≤lg，∵ lg141(2)依题意得16≤0.25，再由y＝lg x是增函数，得(t－0.1)lg

＜0，即得t－0.1≥0.5，所以，t≥0.6． 15．参：－1＜m＜．

x2－1，x≥1

解析：由f(x)＝(x＋1)｜x－1｜＝

1－x2，x＜1

得函数y＝f(x)的图象(如图)．

按题意，直线y＝x＋m与曲线y＝(x＋1)|x－个不同的公共点，求直线y＝x＋m在y轴上的截

(第15题)

541|有三距m的

取值范围．

29

2

由 得x，＋y＝1－x2 x＋m－1＝0．

y－＝4x(＋ 1)＝5－4m，由Δ＝0，得m＝5，易得实数m的取值范围是－1＜mΔ＝1mm－

4＜．

32x (0＜x≤ a) 216．参：y＝

3－x2＋23ax－3a2 (a＜x≤ 2a)254解析：当直线l平移过程中，分过AB中点前、后两段建立y与x的函数表达式． (1)当0＜x≤a时，y＝x·3x＝

121232 x； 2(2)当a＜x≤2a时，y＝·2a·3a－(2a－x)·3(2a－x)＝－

3a2．

1232

x＋23ax－232x (0＜x≤ a) 2所以，y＝

3－x2＋23ax－3a2 (a＜x≤ 2a)2三、解答题

17．参：每间客房日租金提高到40元．

解析：设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x， 由x＞0，且300－10x＞0，得0＜x＜30．

设客房租金总收入y元，y＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x－10)2 ＋8 000(0＜x＜30)，

当x＝10时，ymax＝8 000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.

18．参：设从B市调运x(0≤x≤6)台到C市，则总运费

y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800［8－(6－x)］＝200x＋8 600(0≤x≤6)． (1)若200x＋8 600≤9 000，则x≤2．

30

所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案．

(2)由y＝200x＋8 600(0≤x≤6)可知，当x＝0时，总运费最低，最低费用是8 600元．

19．参：(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logb t均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．

把表格提供的三对数据代入该解析式得到：

2 500a50bc15012 100a110bc108 解得a＝62 500a250bc1501200，b＝－，c＝

234252．

1200324252所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q＝

－3t－t＋

2

．

(2)当t＝－

212002＝150天时，西红柿种植成本Q最低为 14252Q＝

×1502－×150＋

22003＝100(元/100 kg)．

20．参：高为88 cm，宽为55 cm．

解析：设画面高为x cm，宽为λx cm，λx2＝4 840，设纸张面积为S，有 S＝(x＋16)( λx＋10)＝λx2＋(16 λ＋10)x＋160， 将λ＝

882164844 840x代入上式可得，S＝10(x＋)＋5 000＝10(－)＋6 760，

x2xx所以，x＝

88x，即x＝88 cm时，宽为λx＝55 cm，所用纸张面积最小．

期末测试 参

一、选择题

1．B 解析：UB＝{x|x≤1}，因此A∩UB＝{x|0＜x≤1}．

31

2．C 3．C 4．C 5． A 6．B 7．C 8．D

19．D 解析：由log2 a＜0，得0＜a＜1，由＞1，得b＜0，所以选D项．

2b 10．C解析：∵ 4x＞0，∴0≤16－ 4x＜16，∴16－4x∈[0，4)．

11．A 解析：依题意可得函数应在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A正确． 12．A13．D 14．B

解析：当x＝x1从1的右侧足够接近1时，f(x1)＜0；当x＝x2足够大时，确选项是B．

二、填空题

15．参：(－∞，－2)． 16．参：(－∞，0)． 17．参：[4，＋∞)．18．参：(－8，＋∞)． 三、解答题

19．参：(1)由3＋x＞0，得－3＜x＜3，

3－x＞01是一个绝对值很大的负数，从而保证 1－x1可以是一个接近0的负数，从而保证f(x2)＞0．故正1－x∴ 函数f(x)的定义域为(－3，3)． (2)函数f(x)是偶函数，理由如下：

由(1)知，函数f(x)的定义域关于原点对称， 且f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x)， ∴ 函数f(x)为偶函数．

20．参：(1)证明：化简f(x)＝因为a＞2，

所以，y1＝(a＋2)x＋2(x≥－1)是增函数，且y1≥f(－1)＝－a；

32

(a＋2)x＋2，x≥ －1

(a－2)x－2，x＜－1另外，y2＝(a－2)x－2(x＜－1)也是增函数，且y2＜f(－1)＝－a． 所以，当a＞2时，函数f(x)在R上是增函数．

(2)若函数f(x)存在两个零点，则函数f(x)在R上不单调，且点(－1，－a)在x轴下方，所以a的取值应满足(a＋2)(a－2)＜0 解得a的取值范围是(0，2)．

－a＜021．参：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为

3 600－3 000＝12，所以这时租出了100－12＝88辆车． 50(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为 f(x)＝100－1x－3 000x－3 000×50＝－(x－4 050)2＋307 050． (x－150)－

505050所以，当x＝4 050 时，f(x)最大，其最大值为f(4 050)＝307 050． 当每辆车的月租金定为4 050元时，月收益最大，其值为307 050元．

33