天津市静海区2020-2021学年高三上学期第一次月考数学【试卷+答案】

高三数学试卷

一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）

1.已知全集U1,0,1,2,3，集合A0,1,2，B1,0,1，则ðUABA.C.11,2,3B.D.）．0,11,0,1,32.设命题p:xR，2x2012，则P为（A.xR，2x≤2012C.xR，2x≤20123.函数yxx2的图象大致是（B.xR，2x2012D.xR，2x2012）3

x

A.B.C.D.4.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50]，（单位：元）之间，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[10,30)（单位：元）内的同学有33人，则支出在[40,50]（单位：元）内的同学人数为（）A.100B.120C.30D.3005.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.12B.24）C.C.36D.1446.已知ab，则下列成立的是（A.abB.a2b2

abc2c2D.ac2bc2）．x2D.y21917.若双曲线过点(3,2)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的方程是（3x2A.y192y2B.x2192y2C.x1928.设alog2，blog1，c2，则（A.abcB.bac

）C.acb

D.cba

ax，x1

9.fx是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（a

x142x2，)A.(1，

8)B.[4，

）8)C.(4，8)D.(1，

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

10.i是虚数单位,计算5

12i

的结果为________．2i12

11.在2x的展开式中，含x的系数为______.x

12.从3名男生和2名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是______．13.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,5)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为则圆C的方程为__________.14.已知a0，b0且2abab，则a2b的最小值为______．45，515.若不等式kx26kxk80对任意xR恒成立，则实数k的取值范围为_______.第Ⅱ卷

三、简答题：（共6题，共80分）

16.已知函数f(x)3cos2xsin2x1

（I）求f(x)的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）求f(x)在区间0,



上的最值．2

17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a2，c（Ⅰ）求sinC和b的值；（Ⅱ）求cos(2A

2，cosA

2．4)的值．318.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点．（Ⅰ）求证：BC1//平面AD1E；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．19.已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27．（1）求an和bn的通项公式；（2）cnanbn，nN*求数列cn的前n项和．20.已知函数f(x)x22alnx.

（1）若函数f(x)的图象在2,f(2)处的切线斜率为l，求实数a的值；（2）求函数f(x)的单调区间.静海区2020-2021学年度第一学期第一次月考试卷

高三数学试卷

一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）

1.已知全集U1,0,1,2,3，集合A0,1,2，B1,0,1，则ðUABA.C.11,2,3B.D.0,11,0,1,3【答案】A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】CUA={1,3}，则CUAB{1}故选：A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.设命题p:xR，2x2012，则P为（A.xR，2x≤2012C.xR，2x≤2012【答案】A【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.【详解】解：P表示对命题P的否定，“xR，2x2012”的否定是“xR，2x≤2012”．故选A．【点睛】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.3.函数yxx2的图象大致是（）．B.xR，2x2012D.xR，2x20123

x

）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y=0，结合图象分析求解.【详解】因为函数yxx2定义域为R，且fx

3

x

xx2

3xx3x2xfx，所以函数是奇函数，故排除C，由yxx2xx1x12，令y=0得x=-1，x=0，x=1，当0x1时，y0，当x1时，3

xx

y0，排除AD故选：B【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.4.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50]，（单位：元）之间，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[10,30)（单位：元）内的同学有33人，则支出在[40,50]（单位：元）内的同学人数为（）A.100【答案】C【解析】【分析】B.120C.30D.300根据小矩形的面积之和，算出位于10~30的2组数据的频率之和为0.33，结合频率的计算公式，求得样本容量，进而求得的数据在[40,50]的频率，即可求解.【详解】由题意，位于10~20，20~30的小矩形的面积分别为：S10.01100.1,S20.023100.23，所以位于10~20，20~30的数据的频率分别为0.1，0.23，可得位于10~30的前2组数据的频率之和为0.10.230.33，因为支出在[10,30)的同学有33人，即33

0.33，解得n100.n由此可得位于[40,50]数据的频率之和为10.370.330.3，所以支出在[40,50]的同学有1000.330人.故选：C.5.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.12【答案】A【解析】【分析】根据正方体的外接球的直径公式2R

B.24C.36D.144a2a2a23a，代值计算即可.a2a2a23a，【详解】解：因为正方体的外接球的直径2R所以棱长为2的正方体外接球的直径2R

22222223，所以该球的表面积4R212.故选：A.【点睛】几何体的外接球、内切球问题：（1）几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径；（2）几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.6.已知ab，则下列成立的是（A.）C.abB.a2b2

abc2c2D.ac2bc2【答案】C【解析】【分析】利用不等式性质，逐一判断即可．【详解】A．a＞b，不能保证a，b都大于0，故不成立；B．b＜a＜0时，不成立；C．∵ab,ab10，∴，故C成立；c2c2c2D．当c＝0时，不成立．故选C．【点睛】本题主要考查不等式性质，属于基础题型．17.若双曲线过点(3,2)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的方程是（3x2A.y192）．x2y21D.9y2x21B.9y21C.x92【答案】A【解析】x2【分析】先由渐近线方程，设双曲线方程为y2(0)，再由题意，即可求出结果.91【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为yx，3x2所以，可设双曲线标准方程为：y2(0)，9∵双曲线过(3,2)，代入方程得1，x2∴双曲线方程：y1．92故选A．【点睛】本题主要考查求双曲线的方程，熟记双曲线标准方程的求法即可，属于基础题型.8.设alog2，blog1，c2，则（2）C.acb

D.cba

A.abc【答案】C【解析】【分析】B.bac

利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】因为alog2>log221，blog1log110，0c201，22acb．故选：C.【点睛】方法点睛：比较大小的常用方法为：（1）化为同底数、同指数或同真数的对数式和指数式，利用其单调性进行比较，（2）借助于中间值0和1进行比较.ax，x1

9.fx是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（a

x142x2，)A.(1，

【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式，即可求解.）8)B.[4，8)C.(4，8)D.(1，

ax,x1



在R单调递增，【详解】由题意，函数fxa

42x2,x1



a1

a

可得40，解得4a8，即实数a的取值范围为[4,8).2

a1a422

故选：B.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

10.i是虚数单位,计算【答案】-i【解析】12i

的结果为________．2i12i12i2i5i

i.【详解】2i2i2i5考点：本题主要考查复数的乘除运算..12

11.在2x的展开式中，含x的系数为______.x

【答案】80【解析】【分析】先求得二项式(2x

5

1x)5的展开式的通项公式，再令x的次数为2，进而可求出答案.3

5r1rr5r2，21C5x

x

r

【详解】二项式(2x令5

1x)的展开式的通项公式为Tr1C2xr

5

55r

3

r2，解得r=2，22

.所以x2的系数为：231C2580故答案为：80.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.12.从3名男生和2名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是______．【答案】【解析】【分析】随机选取两人的情况数和两人恰好是一名男生和一名女生情况数表示出来，相除即可求解.【详解】解：从3名男生和2名女生中随机选取两人有C510种，两人恰好是一名男生和一名女生有C3C26种，112

3

511C3C23

，所以两人恰好是一名男生和一名女生的概率是2C55故答案为：3

.5【点睛】1.古典概型的概率求解步骤：（1）求出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件的个数m；（3）代入公式P(A)

m

求解.n2.基本事件个数的确定方法（1）列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型；（2）列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法；（3）树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求；（4）运用排列组合知识计算.13.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,5)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为则圆C的方程为__________.【答案】(x2)2y29.【解析】【详解】试题分析：设C(a,0)(a0)，则45，52a5

452a2,r22（5）3，故圆C的方程为5(x2)2y29.

【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．14.已知a0，b0且2abab，则a2b的最小值为______．【答案】9【解析】【分析】由题意可得211，据此结合均值不等式即可求得a2b的最小值，注意等号成立的条件.ba【详解】2abab，a0，b0，

21

1，ba2a2b2a2b21

a2ba2b5529，当且仅当ab3时，等号成立.bababa

则a2b的最小值为9.故答案为：9.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15.若不等式kx26kxk80对任意xR恒成立，则实数k的取值范围为_______.【答案】【解析】【详解】试题分析：则需任意xR恒成立，时，有80，对任意xR恒成立；，解得时，若不等式kx26kxk80对，综上可知，实数k的取值范围为．考点：含参数不等式恒成立问题，需对二次项系数讨论第Ⅱ卷

三、简答题：（共6题，共80分）

16.已知函数f(x)

3cos2xsin2x1

（I）求f(x)的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）求f(x)在区间0,【答案】（I）；x



上的最值．2

k，kZ．（Ⅱ）最大值为3，最小值为13212【解析】【分析】（I）利用辅助角公式化为一个角的三角函数，即f(x)Asin(x)的形式，然后由正弦函数的性质可求解．（Ⅱ）由x0,

4

2x，求得，由正弦函数的性质可得最值即可．2333



3cos2xsin2x12sin2x1，3

2；2【详解】（I）由f(x)得f(x)的最小正周期Tf(x)的对称轴方程2x

即x

k，kZ．212k，32所以f(x)的最小正周期为，对称轴方程为：x（Ⅱ）0x

k，kZ．212，202x，

42x，333∴当2x即x

时，32时，124时，33fxmax3，当2x即x时，2fxmin13；所以f(x)在区间0,



上的最大值为3，最小值为13.2

【点睛】方法点睛：三角函数问题一般都要利用两角和与差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、诱导公式等化为一个角的三角函数，即f(x)Asin(x)的形式，然后利用正弦函数性质求解．17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a2，c（Ⅰ）求sinC和b的值；（Ⅱ）求cos(2A

2，cosA

2．4)的值．33217，b1；（Ⅱ）cos(2A)=．384【答案】（Ⅰ）sinC【解析】【分析】（1）由cosA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，再由a，c的值，利用正弦定理求出sinC，利用余弦定理求出b的值即可；（2）原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将sin2A与cos2A的值代入计算即可求出值．【详解】（Ⅰ）在ABC中，由cosA

214，可得sinA．44又由ac7及a2，c2，可得sinC．sinAsinC4由a2b2c22bccosA，得b2b20.因为b0，故解得b1．所以sinC

7，b1．4214，sinA，4437，sin2A2sinAcosA，44（Ⅱ）由cosA

得cos2A2cosA1

2所以cos2A





321cos2Acossin2Asin.3338【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点．（Ⅰ）求证：BC1//平面AD1E；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形ABC1D1为平行四边形，可得出BC1//AD1，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz，利用空间向量法可计算出直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：2

.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB//A1B1且ABA1B1，A1B1//C1D1且A1B1C1D1，AB//C1D1且ABC1D1，所以，四边形ABC1D1为平行四边形，则BC1//AD1，BC1平面AD1E，AD1平面AD1E，BC1//平面AD1E；（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则A0,0,0、A10,0,2、D12,0,2、E0,2,1，

AD12,0,2，AE0,2,1，nAD102x2z0

ADE设平面，得，1的法向量为nx,y,z，由2yz0nAE0

令z2，则x2，y1，则n2,1,2.

nAA142cosn,AA1.323nAA1

因此，直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为2

.3【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.19.已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27．（1）求an和bn的通项公式；（2）cnanbn，nN*求数列cn的前n项和．n*【答案】（1）an2n1，bn2n1；（2）Sn(2n3)23,nN

【解析】【分析】（1）将条件用基本量表示，列出方程组，解出基本量q,d，结合a1b11即可得出an和bn的通项公式；（2）通过an和bn的通项公式写出cn的通项公式，运用错位相减法求出数列cn的前n项和.【详解】解：（1）设数列an的公比为q，数列bn的公差d，由题意q0，1d12d21q22q23d2由题意可得，即4，41q3(1d)7q3d10消去d整理得q42q280

q0,解得q2,d2,

数列an的通项公式为an2n1，nN*

所以数列bn的通项公式为bn2n1，nN*，（2）由（1）有cn(2n1)2设cn的前n项和为Sn，n1，Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n12Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n两式作差得：Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3

所以Sn(2n3)23,nN.【点睛】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想；（2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.注意：在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷.20.已知函数f(x)x22alnx.

n*（1）若函数f(x)的图象在2,f(2)处的切线斜率为l，求实数a的值；（2）求函数f(x)的单调区间.【答案】（1）a3（2）见解析.【解析】2a2x22a【详解】试题分析：（Ⅰ）fx2x，由f'（2）=1，能求出a；（II）函数f（x）的定义

xx

域为（0，+∞）．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＜0时fx

2xaxxa．列表讨论，能求出函数f（x）的单调递区间2a2x22a

试题解析：（1）f'(x)2x

xx由已知f'(2)1，解得a3．（2）函数f(x)的定义域为(0,)．①当a0时,f'(x)0，f(x)的单调递增区间为(0,)；②当a0时f'(x)

2(xa)(xa)．x当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下：由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,a)；单调递增区间是(a,)．考点：1.导数的几何意义；2.函数导数与单调性