第２８卷第１２期２００９年１２月数学教学研究６１有关公理化方法的发展及其作用探讨潘琰琰西北师范大学教育学院，甘肃兰州７３００７０摘要：公理化方法是数学中一个非常重要的思想方法，是数学发展到一定阶段的产物．它的历史发展应该引起人们的进一步关注．对公理化方法的历史回顾，不仅使人明白它的理论意义，更在于要知道，公理化方法是不断发展的，人们对它的研究亦不会停止．本文将着重探讨公理化方法的含义、发展的历史过程以及它的作用，用具体的例子来体现该方法在科学发展中广泛而持久的影响力，以此来推动它与学科或更广泛的领域相结合。进一步发挥其实践作用，体现其优越性．关键词：公理化方法；含义；发展；作用中图分类号：Ｇ６３２ｌ问题的提出正如希尔伯特所说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着．”公理化方法就足这样重要的一个数学思想方法．以下将从公理化方法的含义、发展和作用３个方面来体现它的重要性．２公理化方法的含义公理化方法是从尽可能少的基本概念和基本公理出发，应用严格的逻辑推理，使一门数学建成为演绎系统的一种方法．在理论形式上，这些原始概念和基本公理，是逻辑推理３公理化方法的发展从公理化方法崭露头角发展到纯形式公理化阶段，经历了相当漫长的过程．我们有必要了解公理化方法的由来和日臻完善的艰难历程．３．１公理化方法的萌芽——亚里士多德的三段论体系在一千多年光辉灿烂的希腊文化中，哲学、逻辑学和几何学得到了长足的发展．公元前五百多年，希腊爱奥尼亚学派创始人、哲学家泰勒斯已开始使用逻辑方法；他的学生毕达哥拉斯（公元前５８５—４９７年）继承并发展了其老师的证明思想，开创了把几何学作为证明的演绎科学来进行研究的方向；公元前４世纪欧克多斯（公元前４０８—３５５年）在处理不可公度比时，建立了以公理为依据的演的大前提，是数学需要作为自己出发点的少数思想上的规定．以下用简单的示意图１来表示上述结构．原始概念』坠垡鲨堑至∑派生概念公理』墼塑塑哩定理图１绎法；而希波克拉第已开始从一个命题到另一个命题的逻辑演绎．这说明古希腊在此时已显露出公理思想的萌芽态势．哲学家和逻辑学创立者亚里士多德（公所以，用公理化方法把一个数学分支建成为演绎体系，关键是引进基本概念，设置基本公理．收稿日期：２００９—１０—０９元前３８４－－３２２年），总结了前人积累起来的逻辑知识，在其专门探讨演绎逻辑证明理论作者简介：潘琰琰（１９８３一）。女，宁夏海原县人，西北师范大学教育学院数学课程与教学论方向在读硕士．Ｅ－ｍａｉｌ：ｐａｎｙａｎｙａｎ２５３６＠１６３．ｃｏｍ万方数据６２数学教学研究第２８卷第１２期２００９年１２月的巨著《分析篇》中，建立了系统的逻辑演绎方法，即：把完全三段沦作为出发点，以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，推导出了其余１９个不同格式的所有三段论。创立了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为欧几里得提供了逻辑工具，亦为数学公理化方法创造了条件．３．２实质公理化方法的产生——欧几里德几何公理体系公元前３００年，希腊数学家欧几里德受亚里士多德公理思想方法的影响，将公理演绎方法运用于几何学，完成了他的巨著《几何原本》．《几何原本》是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学．它的贡献倒不在于发现了几条新定理，而主要在于它把原先零乱的、互不相关的几何知识，按公理系统的方式进行了妥善安排，使得反映几何事实的公理和定理都能与论证联系起来，组成一个有条不紊的有机整体．《几何原本》的问世，标志着数学公理化方法的诞生；《几何原本》的出现，使演绎逻辑第一次成功地应用于数学．３．３潜形式公理化阶段——非欧几何公理体系欧氏几何诞生之后，人们一面赞美它，同时看到它的缺陷，尤其是对“第五公设”产生了怀疑，从而又去补充、修正和完善它．１８世纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人正面直接证明第五公设而失败的教训，改用“反证法”证明，并于１７３３年公布了他的证明．但不久数学家们发现他的证明是错误的．然而他的这种“反其道而行之”的思路，却掀起了始料未及的浪花，即：两种几何并存的可能性．１９世纪，年轻的数学家罗巴切夫斯基，认识到第五公设与其它几何公理是互相的，除掉第五公设成立的欧氏几何外，还可以有欧氏几何不成立的新几何系统存在．于是他仍然从否定第五公设人手，引进了一万方数据个与其相反的公理，即：现今被称为“罗巴切夫斯基公理”的新平行公理——过平面上一已知直线外的一点至少可引两条直线与该已知直线不相交．最终，采用锐角假设的罗巴切夫斯基几何系统诞生了．他的成就冲破了欧几里德几何“一统天下”的旧观念对人们的束缚，开阔了几何学及其研究领域，从而树立了现代几何的里程碑．由于传统势力的顽强反对，罗巴切夫斯基生前并未享受到人们称赞新几何和运用新几何学的快慰．无独有偶，１８５４年数学家黎曼（１８２６—１８６６年）在哥庭根宣读了《关于几何基础的假设》的论文．在该文中，黎曼从另一新的“平行公理”出发，以钝角假设（三角形内角和大于１８０度）建立了又一新型几何体系——黎曼几何．从而，作为欧氏几何两端的罗氏几何和黎曼几何导致了非欧几何公理体系的诞生．这显然是一个相当漫长的阶段．３．４形式公理化阶段——希尔伯特公理体系以非欧几何于１９世纪上半叶诞生为开端，各种学科（数学）的公理系统相继建立起来．公理化方法也因此在１９世纪取得了突破性的进展．１８９９年，德国数学家希尔伯特出版了名著《几何基础》．该书就是形式化公理方法的典型体现．它解决了公理化方法的若干理沦问题，并且给出了欧氏几何的一个完全的公理系统．这个系统最显著的特点便是完全舍弃了一切与推导（演绎推理）无必然联系的东西，即对象的直观背景，公理也不再具有“自明性”或“必然性”，而完全成了一种“假设——演绎”的形式公理系统．因此，该系统具有更高的抽象性和概括性．由于形式公理法排除直观默认，着眼于对象之间的联系，强调逻辑推理，所以它对数学和科学具有非常重要的意义．现代数学的几乎所有理论，都是用形式公理体系表述出来的，而且它已被其他科学（尤其是自然科第２８卷第１２期２００９年１２月数学教学研究６３学）领域所采用．由此，人们称它为公理化方法发展史上的一个里程碑．３．５纯形式公理化阶段——元数学的建立２０世纪仞，希尔伯特创立的“元数学”标志着公理化方法进入了一个崭新的阶段一纯形式公理化阶段这就意味着以数理逻辑为工具来研究整个数学基础的高潮已经悄然而至．１９０２年，英国哲学家、数学家和逻辑学家罗素（Ｒｕｓｓｅｌｌ，１８７２—１９７０）发现“罗素悖论”——集合论的悖论．它的出现，一方面动摇了集合论，从而动摇了当时的数学基础，促进了公理化集合论的形成和发展．另一方面，为数学应用于现代科学技术开辟了广阔的前景，同时也导致了数学观的深刻变化．４公理化方法的作用自欧几里德几何公理体系问世以来，公理化方法已走过了两千多年的历史．在这漫长的年代里，公理化的基本思想几乎已渗透到了整个数学乃至现代科学的各个领域．用希尔伯特自己的话说：“的确，不管在哪个领域里，对于任何严正的研究精神来说，公理化方法都是并且始终是一个不可或缺的助手；它在逻辑上是无懈可击的，同时也是富有成果的．”数学发展的历史有力地表明了公理化方法在数学方法中的意义；同样，它在其它科学的发展中亦做出了重要的贡献，发挥了重要的作用．４．１公理化方法对推动数学发展的作用１）公理化方法是分析整理、加工总结数学知识以及数学经验资料，建立科学理论体系的工具．公理化方法是靠逻辑演绎形成的，由它处理的相关数学知识可以更加地系统化，从而把它们按某种逻辑顺序构成了一个有序的理论体系．这种系统化的体系形成了一定的知识结构，有助于人们对知识的理解运用，便于对理论本质的掌握，便于理论和实践的结合，从而更进一步地促进知识的发展与应用．例如：代数学中的范德瓦尔登所著《近世万方数据代数》（１９３０—１９３１年德文版，１９４８年英文版），作者在序言中认为，近世代数的扩大主要是由于公理方法，应用此方法“产生了一系列新的概念，揭露了至今还未发现的内部联系，并且得到了许多有深远意义的成果，特别是在域论、理想数论、群论和结合代数方面”；在集合论中，如贝尔奈斯和弗兰克尔的《公理集合论》，作者为消除集合论悖论，采用公理来集合概念，提出了现代的公理集合论系统——集合论的形式系统；概率论开始形成时，实践性很强，后来公理化了，理论就大大提高了一步；法国布尔巴基学派在三大结构基础上，建立了各种各样的公理化体系，对促进数学发展起了极大的作用．正如弗兰克尔所称：“几乎所有数学和逻辑的分支与某些物理学以及其它科学的分支，从２０世纪开始，都经过了公理方法的分析研究．”２）公理化方法能把各个数学分支的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各分支的实质性异同，还可以发现理论体系中的缺陷和漏洞，从而推动数学新理论、新方法的创立和发展，促进数学基础的研究和探索．比如，在对欧氏几何公理体系的“审查”中，不少数学家最终将矛头指向了有缺陷的“第五公没”，发现它的基础概念不够妥当，过于借助直观，经过两千多年的探索和研究，非欧几何隆重登上历史舞台；在对公理系统性、协调性的研究中，希尔伯特等数学家和逻辑学家们创立了《元数学或证明论》；在对形式系统与其相适应的模型关系间的研究产生了《模型论》；对非标准模型的研究产生了非标准分析；等等．再比如，近代数学中的群论，就经历了一个公理化过程．当人们分别研究了许多具体的群结构以后，发现了它们具有基本的共同属性，可以用公理集合来定义群，形成了一个群的公理系统，并在这个系统上展开群的理论，推导出一系列定理；皮阿诺建立了关于自然数的公理（共５条），关于自然数的全部性６４数学教学研究第２８卷第１２期２００９年１２月质都可由这五条公理证明．而数学归纳法实际上也是建立在皮阿诺公理的基础之上，依据第五公设得来的．从历史发展来看，数学的严谨化是通过各分支的公理化来完成的．从１９世纪到本世纪。公理化方法不仅使许多旧的和新的数学分支的逻辑基础得以建立，而且可以更清晰地了解到各分支之间的联系，从而进一步地体现出公理化方法的功不可没．３）公理化方法，尤其是现代公理化方法的发展，导致了现代数理逻辑的形成与发展，加速了数学向综合化、机械化方向发展的进程．最突出的例子就是，英国数学家莱布尼兹用公理化方法创立了数理逻辑，而以后由于集合论的建立和公理化方法的发展，经过了皮亚诺．弗雷格（Ｆｒｅｇｅ，１８４８—１９２５年），尤其是罗察的努力，又建立了初步自足的完全的逻辑运算，２０世纪３０年代后，公理集合论又有了长足的发展．４．２公理化方法对其他科学发展的示范作用数学公理化方法对其他科学的发展产生了极其广泛深远的方影响．由于该方法表述数学理论的简洁性、条理性和结构的和谐性，为其他科学理论的表述起到了示范作用．于是其他科学纷纷仿效数学公理化的模式，出现了各种理论的公理化系统．例如。开普勒运用数学的公理推导方法，经过精心计算，归纳出著名的行星三大运动规律；１７世纪，牛顿深受欧几里德的影响，总结他之前众多物理学家（如哥白尼、伽利略、开普勒等）研究的力学知识，运用公理化方法把力学定理组成了一个有机的整体，把它们排列成逻辑的体系，演绎出整个经典力学．牛顿称赞道：“几何的辉煌之处就在于只用很少的公理而能得到如此之多的结果”，这足以表明公理化方法对他的吸引与贡献．１２岁的爱因斯坦也曾为欧氏几何而感到惊奇．他说过：欧氏几何学的“这种明晰性和可靠性给我造成了难以形容的印象．”后万方数据来，爱因斯坦仅用两条公理（相对性原理和光速不变原理）建立起了狭义相对论．热力学也仅以两条公理为基础：能量守恒原理和孤立状态中的熵增加原理．统计力学仅仅只有一条公理：任何微观状态下的机率相等．这种力学因为仅有一条公理而被称为最优美的力学．因此，公理化方法是表述科学理论的一种比较完善的方法，它为各门科学的理论建构提供了一种思想方法上的借鉴和有效的表述手段，有利于科学理论的Ｅｌ臻完善和更加严谨．５结束谮公理化方法是数学思想方法中一朵璀璨绽放的美丽花朵．现代数学的基本特征是公理化方法。它不仅是使数学在逻辑上系统化的最普遍的方法之一，而且是深刻分析各种数学体系的根本差别和逻辑联系的重要手段，更对其他学科发展起到了不可磨灭的示范作用．它的杰出成果就让我们从希尔伯特的这句话中来感受吧：“任何能成为科学思想追索的对象，一旦理论上成熟，就会处于公理化方法的主宰之下，因而就间接地处子数学的主宰之下．……”参考文献［１３．数学方选论［Ｍ］．重庆ｔ重庆大学出版社．１９９５．［２］王仲春．李元中．顾莉蕾．孙名符．教学思维与数学方［Ｍ］．北京ｔ高等教育出版社。１９８９．［３］朱成杰．数学思想方法教学研究导论［Ｍ］．上海ｔ文汇出版社．１９９８．［４］阮体旺．数学方［Ｍ］．北京：高等教育出版社．１９９４．［５］王鸿钧。孙宏安．教学思想方法引论［Ｍ］．北京：人民教育出版社．１９９２．［６］张楚廷．数学方法．；ｅＥＭ］．长沙：湖南科学技术出版社，１９８９．［７］Ｍ・克莱因．古今数学思想［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社．１９７９．
