初三数学分类试题—切线与圆

西城1．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E． (1) 求证：DE⊥AC；

3OF(2) 连结OC交DE于点F，若sinABC，求的值． 4FC

海淀2.如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，EBC⊙O交AC于点D，交EB于点F. (1)求证：BC与⊙O相切； (2)若AB8,sinEBC

东城3．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是

CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）求PD的长．

朝阳4．如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD＝

为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F. （1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）连接EF，若tan∠AEF＝

1BAC,以AB为直径的21,求AC的长． 41∠C，以AD2A4，AD＝4，求BD的长. 3- 1 -

OEBDFC

房山5. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP. （1）求证：直线CP是⊙O的切线； （2）若BC=25，sin∠BCP=

门头沟6．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，

∠ABD=2∠BDC ．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、

F．若OB =2，求 OE和CF的长．

怀柔7．已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，

垂足为点E．

⑴判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； 1⑵若⊙O的直径为18，cosB =，求DE的长．

3AOBMN5，求⊙O的半径及△ACP的周长. 5PC第5题图 AOEDFBC解：

- 2 -

7题图

大兴8．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D． 求证：（1）∠AOC=2∠ACD；

（2）AC2＝AB·AD．

丰台9．已知：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D． （1）求证：CD与⊙O相切； （2）若tan∠ACD=

石景山10．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．

（1）求证：点E为BC中点； （2）若tanEDC=解：

E B A D P 1，⊙O的直径为10，求AB的长． 2O C 5，AD=5，求DE的长． 2

昌平11. 如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC.

（1）求证：AP是⊙O的切线；

PADOBC- 3 -

（2）若AC=3，求PD的长.

密云12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E.

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若∠B=60°，CD=23，求AE的长。

A ⊙O是Rt△ABC的外接圆，顺义13．已知：如图，ABC=90°，

点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB． （1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）已知PA=23，BC=2，求⊙O的半径．

C O P B 参

1．(1)证明：连接OD .

∵DE是⊙O的切线，

∴DE⊥OD，即∠ODE=90° . ……………………………………………1分 ∵AB是⊙O的直径， ∴O是AB的中点. 又∵D是BC的中点， . ∴OD∥AC .

∴∠DEC=∠ODE= 90° .

∴DE⊥AC . ………………………… 2分

(2)连接AD .

∵OD∥AC，

OFOD∴. ………………… 3分 FCECAOFBD ∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB= ∠ADC =90° .

EC- 4 -

又∵D为BC的中点，

∴AB=AC. ∵sin∠ABC=

AD3 =， AB4 故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分

∵DE⊥AC，

∴∠ADC= ∠AED= 90°. ∵∠DAC= ∠EAD， ∴△ADC∽△AED. ∴ADAC. AEAD∴AD2AEAC. 9∴AEx.

47∴ECx.

4OFOD8∴. ………… FCEC7DECFA

2. (1)证明：连接AF.

∵AB为直径， ∴∠AFB90. ∵AEAB，

∴△ABE为等腰三角形.

OB1∠BAC. 21∵EBCBAC，

2∴∠BAF∴∠BAF∠EBC. －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1分 ∴∠FAB∠FBA∠EBC∠FBA90. ∴∠ABC90 .

∴BC与⊙O相切. －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分 (2) 解：过E作EGBC于点G.

∠BAF∠EBC，

- 5 -

∴sinBAFsinEBC1. 4在△AFB中，∠AFB90， ∵AB8，

∴BFABsin∠BAF8∴BE2BF4.

在△EGB中，∠EGB90， ∴EGBEsinEBC4∵EGBC，AB⊥BC， ∴EG∥AB. ∴△CEG∽△CAB. ∴12.－－－－－－－－－－－－－－3分 411.－－－－－－－－－－－－4分 4CEEG. CAAB∴CE1.

CE888. 7∴CE∴ACAECE88. 77321．解：（1）证明：连接OA． ∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．

又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°． ∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°． ∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP．

∴ AP是⊙O的切线． …………………2分 （2）解：连接AD．

∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°． ∴AD=AC•tan30°=33=3． 3∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°．∴∠P=∠PAD． ∴PD=AD=3． …………………5分

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4. （1）证明：在△ABC中，

∵AC=BC， ∴∠ CAB = ∠B.

∵∠ CAB +∠B+∠C＝180º， ∴2∠B+∠C＝180º.

1 C＝90º. ……………………………………………………1分 21∵∠BAD＝∠C，

2∴?B∴?B BAD＝90º.

∴∠ADB＝90º. ∴AD⊥BC.

∵AD为⊙O直径的，

∴直线BC是⊙O的切线. …………………………………………………2分

（2）解：如图，连接DF，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AFD = 90º. ……………………………………………………………………3分 ∵∠ADC＝90º，

∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º.

∴∠ADF＝∠C. …………………………………………………………………4分 ∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝

4， 34∴tan∠C＝tan∠ADF＝.

3在Rt△ACD中， 设AD＝4x，则CD＝3x. ∴ACADDC5x. ∴BC＝5x，BD＝2x. ∵AD＝4， ∴x＝1.

∴BD＝2. ………………………5分

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22AOEBDFC5.证明：（1）连接AN， ∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC， ∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC， ∴∠CAN=∠BAN，BN=CN， ∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠CAN=∠BCP， －－－－－－－－－1分 ∵∠CAN＋∠ACN=90°， ∴∠BCP＋∠ACN=90°， ∴CP⊥AC ∵OC是⊙O的半径

∴CP是⊙O的切线. 6．（1）证明：连结OD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°． ………………………………………………………1分 ∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°． ∵∠ABD=2∠BDC，

AODBMNPC1∴∠BDC =ABD30．

2∵OD=OB，∴△ODB是等边三角形． ∴∠ODB=60°．

∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°．

∴CD是⊙O的切线．……………………………………………………… 2分

（2）解： ∵OF∥AD，∠ADB=90°，

∴OF⊥BD，∠BOE=∠A =30°． ………………………………………3分 ∵BD=OB=2， ∴DEBE1BD1． 2∴OEOB2BE23．…………………………………………… 4分 ∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°， ∴CDODtan6023，DFODtan3023． 3- 8 -

∴CFCDDF232433． 337解：（1）DE与⊙O相切，理由如下： 连接CD、OD ∵BC为直径，

∴∠BDC=90°……………………1分 ∴CDAB， 又AC = BC

∴AD = BD……………………2分 ∴DO是△ABC的中位线 ∴DO∥AC 又∵DEAC；

∴DEDO ……………………3分 ∴DE是⊙O的切线； （2）∵AC = BC ∴∠B =∠A ∴cos∠B = cos∠A =∵ cos∠B =

7题图

1 3BD1， BC = 18， BC3∴BD = 6 ……………………4分

∴AD = 6 ∵ cos∠A =

AE1 AD3 ∴AE = 2，

在RtAED中，DE=AD2AE242．……………………5分 8证明： A. 连结BC，

∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠ABC = 90° .………………………………………1分 ∵ CD是⊙O的切线，

- 9 -

∴ ∠OCD=90°. …………… ∴ ∠ACD = ∠BCO . ∵ OC=OB， ∴∠BCO=∠B . ∴∠AOC=∠BCO+∠B .

∴ ∠AOC = 2∠BCO = 2∠ACD.……………………3分 B. 由（1）可知，△ACD和△ABC均为直角三角形， ∴ 在中， ∵ ∠AOC=2∠B， ∴ ∠B=∠ACD，

∴ Rt△ACD∽△Rt△ABC .…………………………4分

B A G D P ACAD ∴ . ABAC ∴ ACABAD． ……

9. （1）证明：连结OC.

∵ 点C在⊙O上，OA=OC，

∴ OCAOAC.

∵ CDPA，∴ CDA90，有CADDCA90.

2O C E ∵ AC平分∠PAE，∴ DACCAO. ∴ DACOCA. －－－－－－－－－1分

∴ DCODCAACODCADAC90.

∵ 点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，

∴ CD为⊙O的切线. －－－－－－－－－2分 （2）解: 过点O作OG⊥AB于G.

∵OCD90,CDPA,∴四边形OCDG是矩形. ∴OG=CD, GD=OC. －－－－－－－－－3分 ∵ ⊙O的直径为10，∴OA=OC=5.∴DG=5. ∵tan∠ACDAD1 AG=DG－AD=5－ x . ，设AD=x, CD=2x ,则OG=2x.∴

CD2222在Rt△AGO中，由勾股定理知AGOGOA.

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2∴ (5x)2x25. 解得x12,x20(舍). －－－－－－－－4分

2∴ AB2AG2(52)6 . －－－－－－－ 10解: (1)连结OD，

∵AB为直径，∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，

∴BC是⊙O切线 ………………………………………..1分 ∵DE是⊙O切线 ∴BE=DE， ∴∠EBD=∠EDB，

∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC， ∴DE=CE，

∴BE=CE. ………………………………………..2分 (2) ∵∠ABC=90°，∠ADB=90°， ∴∠C=∠ABD=∠EDC，sinC Rt△ABD中，DB=

5 3AD25， …………………………..3分

tanABD5BD2356，………………………..4分 sinC551BC=3 .……………………………..5分 2 Rt△BDC中，BC=

又点E为BC中点，∴DE11解：（1）证明:如图， 连接OA.

∵∠B=600，

∴∠AOC=2∠B=1200. …………… 1分 ∵OA=OC,

∴∠ACP=∠CAO=300. ∴∠AOP=600. 又∵AP=AC ， ∴∠P=∠ACP=300. ∴∠OAP=900.

即OA⊥AP. ……………………………………………………… 2分 ∵ 点O在⊙O上，

BPDOCA- 11 -

∴AP是⊙O的切线. …………………………………………… 3分 (2) 解：连接AD. ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD=900.

∴AD=AC∙tan300=3.………………………………………4分 ∵∠ADC=∠B=600， ∴∠PAD=∠ADC－∠P=300. ∴∠P=∠PAD. ∴PD=AD=3.………… 12．（1）证明：如图1，连接OC， ∵CD为⊙O的切线 ∴OC⊥CD ∵AD⊥CD ∴AD∥OC ∴∠1=∠2 ∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3

即AC平分∠DAB. ………………5分 （2）如图2

∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90° 又∵∠B=60°∴∠1=∠3=30° 在Rt△ACD中，CD=23 ∴AC=2CD=43 在Rt△ABC中，AC=43 ∴ABACcosCAB43cos3008…4分 连接OE

∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE ∴△EAO是等边三角形 ∴AE=OA=

12AB=4. ………………5分13．解：（1）证明：连接OB

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PAPB OAOB， ∴ OABOBA，PABPBA．∴OABPABOBAPBA．

即PAOPBO． ………………1分 又∵PA是⊙O的切线，

∴PAO90°

∴PBO90° ∴OBPB．

又∵OB是⊙O的半径，

∴PB是⊙O的切线． …………………2分

（2）解：连接OP，交AB于点D．

C O D B A P

OAOB， ∵PAPB，

∴点P和点O都在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB． ∴ ADBD ∵OAOC ∴OD1BC1……………………………………3分 2

∵PAOPDA90°，APODPA ∴△APO∽△DPA ∴

APPO DPPA2·DP． ∴APPO……………………………………4分

∴POPOODAP2

即POPO23，解得PO4．

在Rt△APO中，OA22PO2PA22，

即⊙O的半径为2． …………………………………………5分

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