高中数学 对一道典型习题的变式研究 专题辅导

尚月如

人教版高二数学第八章中有这样一道典型的习题：过抛物线y22px的焦点的一条直

线和抛物线相交，两个交点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），求证：y1y2p2，

p2x1x2。

4 抛物线的焦点弦是研究抛物线性质的一个重要方面，它具有许多美妙的结论。下面我们由这一道习题出发，通过观察、联想、证明，探索出关于抛物线焦点弦的一系列结论。 结论1：若抛物线y22px上两个动点A、B的纵坐标分别是y1、y2，横坐标分别为p2，则直线AB经过焦点F。 x1、x2，且满足y1y2p或x1x24 证明：A、B两个点，只要有一个确定，那么根据A、B纵（横）坐标乘积为定值这一条件，另一个点也可以定下来。设AF的延长线交抛物线于B'（x',y'），所以抛物线的弦AB'2p2p2p2过焦点F，则y1y'p，x1x'，即y'y2，x'x2，所以B'与B重

4y14x12合，抛物线的弦AB经过焦点F。

结论2：抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。

证明：如图，设过抛物线y22px（p>0）的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为A1、B1，则∠A1FB1=90°。

由抛物线定义知AA1AF，BB1BF，则∠AA1F=∠AFA1，∠BB1F=∠BFB1。

又∠AA1F=∠A1FO，∠BB1F=∠B1FO，所以∠B1FO＋∠A1FO=90°。 结论3：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。 证明：如图，注意到直角三角形与圆有着密切的关系，经过研究会发现点F在以A1B1为直径的圆上，观察图形特征不难发现直线AA1、BB1是圆的切线。又AA1=AF，BB1=BF，所以AF、BF都是以A1B1为直径的圆的切线，因此焦点弦AB与以A1B1为直径的圆相切。

结论4：过抛物线y2px的对称轴上一个定点M（a，0）的一条直线与抛物线相交

2于A、B两点，这两个交点的纵坐标为y1、y2，则y1、y2为定值。 证明：因抛物线与直线交于A、B两点，可设直线AB的方程为x=my+a，代入y2=2px中消去x，整理得y22pmy2pa0，由韦达定理可知y1y22ap（定值）。

结论5：抛物线焦点弦的两个端点与准线和对称轴的交点连线所成的角被对称轴平分。

2y1y2

证明：如图，设A（,y1）、B（2,y2）是抛物线y22px过焦点F的弦的两个

2p2p

端点，准线与对称轴的交点为K，则kAKy12y12pp22py12y1p2，同理kBK2py2y22p2，

kAKkBK=

2p(y1y2)(y1y2p2)22(y1p2)(y22p)，由于y1y2p2，所以kAKkBK0，于是∠AKF=

∠BKF，即∠AKB被抛物线的对称轴平分。

总结：结论固然重要，但所用的探究过程本身给我们的启发更为深刻。对课本例题、习题进行联想、引申和变形，可以得到综合性强、形式新颖的命题，这是高考数学试题的主要来源。善思考，多训练可提高我们思维的广阔性与灵活性，培养我们探索、创新的能力。