第17讲 相似三角形
一、选择题
1．(2017·杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则( B )
AD1
A.AB＝2 AD1C.EC＝2
AE1B.EC＝2 DE1D.BC＝2
2．(2017·兰州)已知2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( A )
x3
A.y＝2 x2C.y＝3
x2B.3＝y xyD.2＝3
3．(2017·连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D ) BC1
A.DF＝2
△ABC的面积1C.＝ △DEF的面积2
B.
∠A的度数1
＝
∠D的度数2
△ABC的周长1D.＝ △DEF的周长2
第3题图 第4题图
4．(2017·西华县二模)如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO＝2，DO＝4，BO＝3，则BC的长为( B )
A．6 B．9 C．12 D．15
5．(2017·河北)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( D )
A．增加了10% C．增加了(1＋10%)
B．减少了10% D．没有改变
6．(2017·枣庄)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )
7．(2017·淄博)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为( C )
581015
A.2 B.3 C.3 D.4
8．(2017·泰安)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( B )
1099625
A．18 B.5 C.5 D.3 二、填空题
9．(2017·湘潭)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE：S△ABC＝ 1∶4 .
第9题图 第10题图
10．(2017·北京)如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．若S△CMN＝
1，则S四边形ABNM＝ 3 .
11．(2017·杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于 78 .
第11题图 第12题图
12．(2017·内江)如图，四边形ABCD中，AD∥BC, CM是∠BCD的平分线，且115CM⊥AB，M为垂足，AM＝3AB.若四边形ABCD的面积为7，则四边形AMCD的面积是 1 .
13．(2017·桂林)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AO7EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则AE的值为24.
三、解答题
14．(2017·江西)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°. ∵∠EFG＝90°， ∴∠BFE＋∠CFG＝90°， ∴∠BEF＝∠CFG， ∴△EBF∽△FCG.
15．(2017·泰安)如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.
(1)证明：∠BDC＝∠PDC；
(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长． (1)证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD， ∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°. ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ADC＋∠BDC＝90°. ∵PD⊥AD，
∴∠ADC＋∠PDC＝90°， ∴∠BDC＝∠PDC；
(2)解：过点C作CM⊥PD于点M，如解图所示．
∵∠BDC＝∠PDC， ∴CE＝CM.
∵∠CMP＝∠ADP＝90°， ∠P＝∠P， ∴△CPM∽△APD， CMPC
∴AD＝PA. 设CM＝CE＝x，
∵CE∶CP＝2∶3， 3
∴PC＝2x.
∵AB＝AD＝AC＝1， x∴1＝3
32x，
2x＋1
1
解得x＝3. 12
∴AE＝1－3＝3.
16．(2017·杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； AF
(2)若AD＝3，AB＝5，求AG的值．
(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°. ∵∠EAF＝∠GAC， ∴∠AED＝∠ACB. ∵∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC；
(2)解：由(1)可知△ADE∽△ABC， ADAE3∴AB＝AC＝5.
由(1)可知∠AFE＝∠AGC＝90°. 又∵∠EAF＝∠GAC， ∴△EAF∽△CAG，
AFAE∴AG＝AC， AF3∴AG＝5.
一、选择题
1．(2017·兰州) 如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为( A )
A．8.5米 C．9.5米
B．9米 D．10米
2．(2017·绥化)如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，AF1连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是( D )
A．①②③④ C．②③④
B．①④ D．①②③
3．(2017·牡丹江)如图，在正方形ABCD 中，点E，F分别在边BC，DC上，AE，AF分别交BD于点M，N，连接CN，EN，且CN＝EN.下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE＋DF＝EF；③∠DFE＝2∠AMN；④EF2＝2BM2＋2DN2；⑤图中只有4对相似三角形．其中正确结论的个数是( B )
A．5 B．4 C．3 D．2
4．(2017·绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4 cm，则旗杆的高度等于( B )
A．10 m B．12 m C．12.4 m D．12.32 m 二、填空题
5．(2017·内江)如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°.若PF57＝6，则CE＝ 6 .
第5题图 第6题图
6．(2017·深圳)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ 3 . 三、解答题
7．(2017·宿迁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点
B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC. 证明：(1) ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C.
∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，
∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，∠DEF＝∠B， ∴∠BDE＝∠CEF， ∴△BDE∽△CEF； (2)∵△BDE∽△CEF， BEDE∴CF＝EF.
∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， CEDE∴CF＝EF.
∵∠DEF＝∠B＝∠C， ∴△DEF∽△ECF， ∴∠DFE＝∠EFC， ∴FE平分∠DFC.
8．(2017·毕节)如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.
(1)求证：△ABF∽△BEC；
4
(2)若AD＝5，AB＝8，sin D＝5，求AF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC. ∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D， ∴∠AFB＝∠C， ∴△ABF∽△BEC；
(2)解：∵AE⊥DC，AB∥DC， ∴∠AED＝∠BAE＝90°.
4在Rt△ADE中，AE＝AD·sin D＝5×5＝4. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 BE＝AE2＋AB2＝42＋82＝45. ∵BC＝AD＝5， 由(1)得△ABF∽△BEC， AFABAF8∴BC＝BE，即5＝，
45解得AF＝25.
9．(2017·天水)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图1，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE； (2)如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求 当BP＝2，CQ＝9时BC的长．
(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC.
∵AP＝AQ， ∴BP＝CQ. ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE.
BE＝CE，
在△BPE和△CQE中，∠B＝∠C，
BP＝CQ，
∴△BPE≌△CQE(SAS)； (2)解：连接PQ，如解图所示．
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°.
∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C， ∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°， ∴∠BEP＝∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， BPBE∴CE＝CQ.
∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE， ∴BE2＝18， ∴BE＝CE＝32， ∴BC＝62.
