应用多元统计分析 第十章 典型相关分析

1、对某高中一年级男生38人进行体力测试（共7项指标）及运动能力测试（共5项指标），试对两组指标做典型相关分析。

体力测试指标：x1-反复横向跳（次），x 2-纵跳（cm），x 3-臂力（kg），x 4-握力（kg），x 5-台阶试验（指数），x 6-立定体前屈（cm），x 7-俯卧上体后仰（cm）。

运动能力测试指标: y1-50米跑（秒），y2-跳远（cm），y3-投球（m），y4-引体向上（次），y5-耐力跑（秒）。

INCLUDE’D:\\SPSS\\Samples\\SimplifiedChinese\\Canonicalcorrelation.sps’.

CANCORR SET1=X1 X2 X3 x4 x5 x6 x7/ SET2=Y1 Y2 Y3 y4 y5/ .

体力测试指标内部的相关系数

Run MATRIX procedure:

Correlations for Set-1

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 1.0000 .2701 .13 -.0286 .2463 .0722 -.16 x2 .2701 1.0000 .2694 .0406 -.0670 .3463 .2709 x3 .13 .2694 1.0000 .3190 -.2427 .1931 -.0176 x4 -.0286 .0406 .3190 1.0000 -.0370 .0524 .2035 x5 .2463 -.0670 -.2427 -.0370 1.0000 .0517 .3231 x6 .0722 .3463 .1931 .0524 .0517 1.0000 .2813 x7 -.16 .2709 -.0176 .2035 .3231 .2813 1.0000

由体力测试指标内部相关系数看，各指标相关系数较小，即指标间没有多大的重复。如果两个指标相关系数很大，可能这两个指标反映的是同样的内容，可以考虑合并。

运动能力测试内部的相关系数

Correlations for Set-2

y1 y2 y3 y4 y5 y1 1.0000 -.4429 -.27 -.4629 .0777

y2 -.4429 1.0000 .49 .6067 -.4744 y3 -.27 .49 1.0000 .3562 -.5285 y4 -.4629 .6067 .3562 1.0000 -.4369 y5 .0777 -.4744 -.5285 -.4369 1.0000

运动能力测试指标间的相关系数也较小，不过y2(跳远)和y4(引体向上)之间的相关系数较大，达到0.6067

两组指标间的相关系数

Correlations Between Set-1 and Set-2 y1 y2 y3 y4 y5 x1 -.4005 .3609 .4116 .2797 -.4709 x2 -.3900 .5584 .3977 .4511 -.0488 x3 -.3026 .5590 .5538 .3215 -.4802 x4 -.2834 .2711 -.0414 .2470 -.1007 x5 -.4295 -.1843 -.0116 .1415 -.0132 x6 -.0800 .2596 .3310 .2359 -.2939 x7 -.2568 .1501 .0388 .0841 .1923

上表输出的是体力与远动能力之间的相关系数，从二者的直接相关系数来看，只有x2(纵跳)和y2(跳远)之间的关联程度较大（0.5584），而其他体力与远动能力指标间的直接关联不大，更可能是综合的影响。

由于变量间的交互作用，这个简单相关系数矩阵只能作参考，不能真正反映两组变量间的实质联系。

典型相关系数

Canonical Correlations 1 .848 2 .707 3 .8 4 .351 5 .290

第一典型相关系数为0.848，第二典型相关系数为0.707，第三典型相关系数为0.048，他们均比体力与远动能力指标两组间的任一个相关系数大，即综合的典型相关分析效果要好于简单相关分析。

显著性检验

Test that remaining correlations are zero: Wilk's Chi-SQ DF Sig. 1 .065 83.194 35.000 .000 2 .233 44.440 24.000 .007 3 .466 23.302 15.000 .078 4 .803 6.682 8.000 .571 5 .916 2.673 3.000 .445

统计量分析：

上述四个统计量依次为：Wilk’s统计量、卡方统计量、自由度、伴随概率。 每行检验是对此行及以后各行对应的典型相关系数的多元检验，检验相关系数是否显著。

H0：相关系数为0 H1：相关系数不为0

由于此处的典型相关系数是从样本数据计算得来的，和相关系数一样，有必要进行总体系数是否为0的假设检验，这里用的是Bartlett的 检验，零假设为对应的典型相关系数为0。

上表输出结果表明，在ɑ=0.05的条件下，第一和第二典型相关系数是显著的。

典型变量的系数——体力变量（第一组） 标准化变量的典型相关变量的换算系数

Standardized Canonical Coefficients for Set-1 1 2 3 4 5 x1 .475 .115 .391 -.452 -.462 x2 .190 -.565 -.774 .307 .4 x3 .634 .048 .288 .321 -.276 x4 .040 .080 -.400 -.906 .422 x5 .233 .773 -.681 .459 .233 x6 .117 .148 .425 .141 .9 x7 .038 -.394 .025 -.103 -1.029

来自体力指标的第一典型变量的计算公式：

U1=0.475X1+0.19X2+0.634X3+0.04X4+0.233X5+0.117X6+0.038X7

原始变量的典型相关变量的换算系数

Raw Canonical Coefficients for Set-1

1 2 3 4 5 x1 .141 .034 .116 -.134 -.137 x2 .026 -.076 -.104 .041 .066 x3 .040 .003 .018 .020 -.018 x4 .008 .015 -.075 -.169 .079 x5 .016 .054 -.047 .032 .016 x6 .020 .025 .071 .024 .109 x7 .005 -.048 .003 -.013 -.126

典型变量的系数——运动能力变量（第二组） 标准化变量的典型相关变量的换算系数

Standardized Canonical Coefficients for Set-2 1 2 3 4 5 y1 -.505 -.659 .577 .186 .631 y2 .209 -1.115 .207 -.775 -.292 y3 .365 -.262 .188 1.153 -.154 y4 -.068 -.034 -.579 .340 1.181 y5 -.372 -.6 -.9 .569 -.124

来自运动能力指标的第一典型变量的计算公式： V1=-0.505Y1+0.209Y2+0.365Y3-0.068Y4-0.372Y5

原始变量的典型相关变量的换算系数

Raw Canonical Coefficients for Set-2

1 2 3 4 5 y1 -1.441 -1.879 1.7 .531 1.798 y2 .005 -.026 .005 -.018 -.007 y3 .133 -.095 .069 .419 -.056 y4 -.018 -.009 -.153 .090 .312 y5 -.012 -.029 -.021 .018 -.004

在第一对典型变量中，大部分变量都比较均匀，无论是体力变量还是运动能力指标的系数都表明，其测试结果越好，则表明其综合运动能力越强，可以解释为全面能力程度。根据典型系数，U1主要代表了反复横向跳和臂力这两个变量，其次代表了纵跳、台阶试验两个变量；而V1主要代表了50米跑变量，其次代表了投球和耐力跑两个变量。

典型负荷系数——体力变量

Canonical Loadings for Set-1

1 2 3 4 5 x1 .6 .235 .099 -.150 -.112 x2 .526 -.625 -.408 .225 .237 x3 .741 -.212 .263 -.042 .001 x4 .242 -.032 -.298 -.809 .182 x5 .200 .705 -.558 .257 -.161 x6 .3 -.096 .191 .224 .476 x7 .115 -.259 -.437 .053 -.471

交叉负荷系数——体力变量

Cross Loadings for Set-1

1 2 3 4 5 x1 .584 .166 .0 -.053 -.032 x2 .446 -.442 -.265 .079 .069 x3 .629 -.150 .170 -.015 .000 x4 .205 -.023 -.193 -.284 .053 x5 .170 .498 -.362 .090 -.047 x6 .309 -.068 .124 .079 .138 x7 .098 -.183 -.283 .019 -.136

典型负荷系数——运动能力变量

Canonical Loadings for Set-2

1 2 3 4 5 y1 -.692 -.149 .654 .111 .244 y2 .750 -.550 .001 -.346 .127 y3 .776 -.183 .275 .538 .020 y4 .585 -.108 -.371 -.054 .711 y5 -.674 -.265 -.548 .193 -.371

交叉负荷系数——运动能力变量

Cross Loadings for Set-2

1 2 3 4 5 y1 -.587 -.106 .424 .039 .071 y2 .636 -.3 .001 -.121 .037 y3 .658 -.129 .178 .1 .006 y4 .496 -.076 -.240 -.019 .206 y5 -.571 -.187 -.355 .068 -.108

U1主要代表了所有体力测试指标中的臂力、反复横向跳、纵跳，这与基于典型系数的解释相符。其次所有的运动能力测试指标与第一典型变量V1有大致

相同的相关系数，所以V1可以解释为运动能力测试变量，这于基于典型系数的解释不太相同。

典型冗余分析

Redundancy Analysis:

第二列数据指变量的原始方差通过它的典型变量和配对的典型变量所解释的方差比例。

Proportion of Variance of Set-1 Explained by Its Own Can. Var. Prop Var CV1-1 .221 CV1-2 .152 CV1-3 .125 CV1-4 .121 CV1-5 .082

Proportion of Variance of Set-1 Explained by Opposite Can.Var. Prop Var CV2-1 .159 CV2-2 .076 CV2-3 .052 CV2-4 .015 CV2-5 .007

从上表可以看出，体力测试指标被自身第一个典型变量解释的共享方差的比例为22.1%，而被对方第一典型变量解释的共享方差比例为15.9%，其比值为0.221/0.159=1.39。

Proportion of Variance of Set-2 Explained by Its Own Can. Var. Prop Var CV2-1 .488 CV2-2 .088 CV2-3 .188 CV2-4 .092 CV2-5 .144

Proportion of Variance of Set-2 Explained by Opposite Can. Var. Prop Var

CV1-1 .351 CV1-2 .044 CV1-3 .079 CV1-4 .011 CV1-5 .012

从上表可以看出，运动能力测试指标被自身第一个典型变量解释的共享方差的比例为48.8%，而被对方第一典型变量解释的共享方差比例为35.1%，其比值为0.488/0.351=1.39。

10.3下表列出了 25个家庭的成年长子和次子的头长和头宽： X1=长子头长 X2=长子头宽 Y1=次子头长 Y2=次子头宽

INCLUDE'D:\\SPSS\\Samples\\SimplifiedChinese\\Canonical correlation.sps'. CANCORR SET1=X1 X2 / SET2=Y1 Y2 / .

典型相关系数

第一组变量内部的简单相关系数

Correlations for Set-1 x1 x2 x1 1.0000 .7346 x2 .7346 1.0000

从中可以发现，长子头长和头宽两个变量之间存在较强正相关关系

第二组变量内的简单相关系数

Correlations for Set-2 y1 y2 y1 1.0000 .8393 y2 .8393 1.0000

从中可以发现，次子头长和头宽两个变量之间存在更强的正相关关系

两组变量间的简单相关系数

Correlations Between Set-1 and Set-2 y1 y2

x1 .7108 .7040 x2 .6932 .7086

从中可以发现，两组变量存在显著的正相关关系。

显著性检验

Canonical Correlations 1 .7 2 .054

从表中可以看出第一典型相关系数CR1=0.7，属于极强正相关关系；第二典型相关系数CR2=0.054,相关关系不显著。

Test that remaining correlations are zero: Wilk's Chi-SQ DF Sig. 1 .377 20.9 4.000 .000 2 .997 .062 1.000 .803

统计量分析：

从一行数据可以看出第一对典型变量的典型相关系数十分显著（Sig=0.00），第二行的数据显示第二对典型变量的典型相关系数不显著（p=0.803>0.05）。

典型变量系数

（本例中，由于各变量之间的单位统一，因此不需要对原始数据进行标准化） 第一组变量的标准化的典型变量系数

Standardized Canonical Coefficients for Set-1 1 2 x1 -.552 -1.366 x2 -.522 1.378

第一组变量的未标准化的典型变量系数

Raw Canonical Coefficients for Set-1 1 2 x1 -.057 -.140 x2 -.071 .187

代表长子的第一典型变量V1为：V1=-0.057X1-0.071X2

第二组变量的标准化的典型变量系数

Standardized Canonical Coefficients for Set-2

1 2 y1 -.504 -1.769 y2 -.538 1.759

第二组变量的未标准化的典型变量系数

Raw Canonical Coefficients for Set-2 1 2 y1 -.050 -.176 y2 -.080 .262

代表次子的第一典型变量U1为：U1=-0.050Y1-0.080Y2

根据典型系数，发现V1主要代表了长子头宽变量，而U1主要代表了次子头宽变量，可以发现长子和次子的头型特征的典型变量主要由头宽决定。

典型负荷系数和交叉负荷系数 典型负荷系数——长子

Canonical Loadings for Set-1 1 2 x1 -.935 -.354 x2 -.927 .375

交叉负荷系数——长子

Cross Loadings for Set-1 1 2 x1 -.737 -.019 x2 -.731 .020

长子头型特征与第一典型变量V1有大致相同的相关关系，可以解释为长子头型特征变量。

典型负荷系数——次子

Canonical Loadings for Set-2 1 2 y1 -.956 -.293 y2 -.962 .274

交叉负荷系数——次子

Cross Loadings for Set-2 1 2 y1 -.754 -.016 y2 -.758 .015

次子头型特征与第一典型变量U1有大致相同的相关关系，可以解释为是次子头型特征变量。

典型冗余分析

第二列数据指变量的原始方差通过它的典型变量和配对的典型变量所解释的方差比例。

Proportion of Variance of Set-1 Explained by Its Own Can. Var. Prop Var CV1-1 .867 CV1-2 .133

Proportion of Variance of Set-1 Explained by Opposite Can.Var. Prop Var CV2-1 .539 CV2-2 .000

从上表可以看出，长子头型特征变量被自身第一个典型变量解释的共享方差的比例为86.7%，而被对方第一典型变量解释的共享方差比例为53.9%，其比值为0.867/0.539=1.61。

Proportion of Variance of Set-2 Explained by Its Own Can. Var. Prop Var CV2-1 .920 CV2-2 .080

Proportion of Variance of Set-2 Explained by Opposite Can. Var. Prop Var CV1-1 .572 CV1-2 .000

从上表可以看出，次子头型特征变量被自身第一个典型变量解释的共享方差的比例为92.0%，而被对方第一典型变量解释的共享方差比例为57.2%，其比值为0.920/0.572=1.61。