惯性矩截面系数弯矩图计算公式汇总

附录1 截面图形的几何性质

提要:不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。

研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。

附1.1 截面的静矩与形心

任意平面几何图形如图1.1所示。在其上取面积微元dA，该微元在yOz坐标系中的

SSy=?zdA，Sz=?ydA坐标为z、y。设静矩为 ，则有: AA

图1.1 静矩的概念 (附1.1) 静矩的量纲为长度的3次方。

由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标zC和yC。则 A?zC=?z?dA=Sy A

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由此可得薄板重心的坐标zC为

zC=

?AzdAA=SyA 同理有 yC=Sz A ?260? 材料力学 所以形心坐标 或 zC= SyA ，yC= Sz A (附1.2) Sy=AzC，Sz=AyC

由式(附1-2)得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即yC=0，

Sz=0;zC=0，则Sy=0;反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。

如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第i块分图形的面积为Ai，形心坐标为 yCi,zCi ，则其静矩和形心坐标分别为

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Sz=?AiyCi，Sy=?AizCi i=1 i=1

nn iCi (附1.3) SyC=z= A ?Ay ii=1 n Ci ?A i=1 n ，zC= SyA = ?Az i=1n n

(附1.4) ———————————————————————————————————————————————

i ?A i=1 i

【例附1.1】 求图1.2所示半圆形的Sy,Sz及形心位置。 解:由对称性，yC=0，Sz=0。现取平行于y轴的狭长条作为微面 积dA dA=2ydz=z 所以 Sy= ?zdA=?z?z= A R 23 R 3

图1.2 例1.1 4R A3π

【例附1.2】 确定形心位置，如图1.3所示。 zC= Sy =

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图1.3 例1.2

解:将图形看作由两个矩形?和?组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为

矩形?:

A1=120×10=1200mm2 ?260 ?

附录1 截面图形的几何性质 ?261?

yC1=10120=5mm，zC1==60 mm 22矩形?: A2=70×10=700mm2 7010yC2=10+=45mm，zC1==5 mm 22

yC=A1yC1+A2yC2A1+A2整个图形形心C的坐标为 1200×5+700×45 1200+700 =19.7mm

Az+A2zC2zC=1C1A1+A2= 1200×60+700×5 1200+700 =39.7mm=

附1.2 惯性矩与惯性积、极惯性矩

次矩，如图附(1) 惯性矩定义为平面图形内各点对某坐标轴的平方的矩1.4所示。

图1.4 惯性矩、惯性积、极惯性矩的概念 Iy=?z2dA，Iz=?y2dA AA (附1.5) 惯性矩的量纲为长度的4次方，恒为正。

组合图形的惯性矩。设Iyi,Izi为分图形的惯性矩，则总图形对同———————————————————————————————————————————————

一轴惯性矩为 Iy=?Iyi，Iz=?Izi i=1i=1nn (附1.6) (2) 惯性积的定义为: Iyz=?yzdA A (附1.7)

惯性积的量纲为长度的4次方。Iyz可能为正，为负或为零。若y，z轴中有一根轴为对称轴，则其惯性积为零。

?261?

?262? 材料力学

(3) 若以ρ表示微面积dA到坐标原点O的距离,则定义图形对坐标原点O的极惯性矩 为: (附1.8) I=ρ2dA p?A

因为 ρ2=y2+z2

Ip=?(y2+z2)dA=Iy+Iz A所以极惯性矩与(轴)惯性矩有如下关系 (附1.9)

式(附1.9)表明，图形对任意两个互相垂直轴的(轴)惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

(4) 定义下式 iy=，iz= (附1.10)

为图形对y轴和对z轴的惯性半径。

【例附1.3】 试计算图1.5(a)所示矩形截面对其对称轴(形心轴)x———————————————————————————————————————————————

和y的惯性矩。 (a) (b) 图1.5 例1.3

解:先计算截面对x轴的惯性矩Ix。取平行于x轴的狭长条(图(a)作为面积元素，即dA=bdy)，根据公式(附1.5)的第二式可得

Ix=?ydA=?A2hh?2bh3 bydy=122

同理在计算对y惯性矩Iy时可以取dA=hdx(图(a))。根据公式(附1.6)的第一式，可得

b3h Iy=?xdA=?hhxdx=A?1222h2 bh3

(图(b))则它对于形心的惯性矩同样为Ix= 。h若截面是高为 的平行四边形12 【例附1.4】 求如图1.6所示圆形截面的 Iy,Iz,Iyz,Ip。 ?262 ?

附录1 截面图形的几何性质 图1.6 例1.4

解:如图所示取dA，根据定义， D

I2y=?z2dA=2z=πD4 A??Dz?2

由于轴对称性，则有 IIπD4

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y=z= Iyz=0

(附1.9) IπD4由公式p=Iy+Iz=32 对于空心圆截面，外径为D，内径为d，则 IπD4

y=Iz=(1?α4) α=d D IπD4

p=32(1?α4)

1.5】 求图1.7所示三角形图形的Iy及Iyz。 图1.7 例1.5 ?263??263 ? 【例附 ?2? 材料力学

解:取平行于y轴的狭长矩形，由于dA=y?dz，其中宽度y随z变化，y=则 b3bh3 zdz= h4bz h

A Iy=?zdA=?A2h0由Iyz=?yzdA，如图所示，可得 Iyz=?h

0yb2h2zydz= 28

【例附1.6】 组合图形如下所示，试确定其形心。20mm ———————————————————————————————————————————————

100mm 图1.8 例1.6

解:取对称轴。形心位置与所选坐标系无关。 组合板块1: A1=b1h1=100×20mm hyC1=1+h2=10+100=110mm2 组合板块2: A2=b2h2=20×100mm h100yC2=2==50mm22

组合截面的形心为

AiyCi=A1yC1+A2yC2=80mm yC=A1+A2Ai 即形心位置为: yC=80mm,zC=0 附1.3 平行移轴公式

附1.3.1 平行移轴公式 由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴(yC,zC)时，如图1.9所示，可得到如下平行移轴公式 ?2 ?

附录1 截面图形的几何性质 ?265? 图1.9 平行移轴公式

?Iy=IyC+a2A??2?Iz=IzC+bA ???Iyz=IyCzC+abA (附1.11) 简单证明之:

A Iy=?z2dA=?(zC+a)dA=?zC2dA+2a?zCdA+a2?dA AAAAA2其———————————————————————————————————————————————

中?zCdA为图形对形心轴yC的静矩，其值应等于零，则得 Iy=IyC+a2A

同理可证(附1.11)中的其他两式。

此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中，式(附1.11) 表明:

(1) 图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。

(2) 图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过形心的直角坐标轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。

(3) 因为面积及a2、b2项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。

a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，故二者同号时为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。

结论:同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积移

轴公式时应注意a，b的正负号。

【例附1.7】 试求图示r=1m的半圆形截面对于轴x的惯性矩，其中轴x与半圆形的底边平行，相距1 m。

?265 ?

?266? 材料力学

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图1.10 例1.7 πd4πr4

解:半圆形截面对其底边的惯性矩是 =1288 用平行轴定理得截面对形心轴x0的惯性矩 πr4πr2?4r?πr48r4 Ixo=?? ??=82?3π?π2

再用平行轴定理，得截面对x轴的惯性矩 4πr24r2πr8r4πr24r38r4 Ix=Ixo+(1+)=?+++ 23ππ239π 附1.3.2 组合截面的惯性矩和惯性积

工程计算中应用最广泛的是组合图形的惯性矩与惯性积，即求图形对于通过其形心的轴的惯性矩与惯性积。为此必须首先确定图形的形心以及形心轴的位置。

因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方形、圆形等)所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。一般应按下列步骤进行。

将组合图形分解为若干简单图形，并应用式(附1.5)确定组合图形的形心位置。以形心为坐标原点，设xOy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对x、y轴的惯性矩和惯性积，相加(空洞时则减)后便得到整个图形的 Ix、Iy和 Ixy。 ———————————————————————————————————————————————

【例附1.8】 确定下列图形的形心位置，并计算平面图形对形心轴yC的惯性矩。

c1 ycc2 y 图1.11 ?266 ?

附录1 截面图形的几何性质 ?267? 解:(1) 查型钢表得 槽钢No14b

A1=21.316cm2 IyC1=61.1cm4 zo1=1.67cm 工字钢 No20b

A2=39.578cm2 IyC2=2 500cm4 h=20cm

(2) 计算形心位置。 由组合图形的对称性(对称轴是zC轴)知:

yC=0 zC=A1?zc1+A2?zc221.316×(1.67+20)+39.578×10= 21.316+39.578A1+A2 =14.09cm

(3) 用平行移轴公式计算各个图形对yC轴的惯性矩

I1)yC=IyC1+CC1A1=61.1+(1.67+20?14.09)2×21.316=1 285.8cm4 I2)yC=IyC2+COA2=2 500+(14.09?10)2×39.578 42 =3 162.1cm

(4) 求组合图形对yC轴的惯性矩。

IyC=I1)yC+I2)yC=4 447.9cm4 ———————————————————————————————————————————————

zC=A1?zC1+A2?zC221.316×(1.67+20)+39.578×10= 21.316+39.578A1+A2 =14.09cm

【例附1.9】 计算下列图形对y、z轴的惯性积。 y 图1.12

解:将图形分成1、2两部分 Iyz=

A1+A2??yzdA=??yz(dydz)+??yz(dydz)=?ydy?zdz+?ydy?zdzA1A20001040101040 =40 000+37 500=77 500mm4

?267?

?268? 材料力学 附1.4 转 轴 公 式

任意平面图形(图1.13)对y轴和z轴的惯性矩和惯性积，可由式(附1.5),式(附1.9)求得，若将坐标轴y，z绕坐标原点O点旋转α角，且以逆时针转角为正，则新旧坐标轴之间应有如下关系

图1.13 转轴公式 y1=ycosα+zsinα y1=ycosα+zsinα

将此关系代入惯性矩及惯性积的定义式，则可得相应量的新、旧转换关系，即转轴公式

Iy1=?z12dA=AIy+Iz2Iy?Iz?Iy?Iz2cos2α?Iyzsin2α (附1.12)

cos2α+Iyzsin2α ? (附1.13) 22 ———————————————————————————————————————————————

Iy?Izsin2α+Iyzcos2α Iy1z1= (附1.14) 2

以上三式就是惯性矩和惯性积的转轴公式，它们在下面计算截面的主惯性矩时将要用到。 Iz1=Iy+Iz

附1.5 截面的主惯性矩和主惯性轴

从式(附1.14)可以看出，对于确定的点(坐标原点)，当坐标轴旋转时，随着角度α的改变，惯性积也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负的特点，总可以找到一角度α0以及相应的x0、y0轴，图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。

为确定α0，令式(附1.14)中的Iy1z1为零，若令α0是惯性矩为极值时的方位角，则由条件dIy1α=0，可得

?268 ?

附录1 截面图形的几何性质 ?269? tan2α0=?2Iyz

Iy?Iz (附1.15)

π以确定一对主惯性轴y0和z0。由式(附1.15)求出sin2α0，2

cos2α0后代回式(附1.12)与(附1.13)即可得到惯性矩得两个极值，称主惯性轴。 由式(附1.15)可以求出α0和α0+

定义:过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。显然，主惯性矩具有极大或极小的特征。

根据式(附1.12)和式(附1.13)，即可得到主惯性矩的计算式 Iy0= (附1.16)

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Iy0= (附1.17) 需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。当图形有一个对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。

图1.14 对称轴

图1.5所示具有一个对称轴的图形，位于对称轴y一侧的部分图形对x、y轴的惯性积与位于另一侧的图形的惯性积，二者数值相等，但反号。所以，整个图形对于x、y轴的惯性积Ixy=0，故图1.5对称轴为主轴x、y;又因为C为形心，故x、y为形心主轴。应用式(附1.12)和式(附1.13)确定形心主轴的位置，即形心主轴与x轴的夹角α0。利用转轴定

理或直接应用式(附1.16)和式((附1.17)计算形心主惯性矩Ix0和Iy0。 由式(附1.14)尚可证明 Iy1+Iz1=Iy+Iz (附1.18)

即通过同一坐标原点的任意一对直角坐标轴的惯性矩之和为一常量，因而两个主惯性矩中必然一个为极大值，另一个为极小值。

若主惯性轴通过形心，则称形心主惯性轴，相互主惯性矩称形心主惯性矩。 【例附1.10】 确定图形的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩。 ———————————————————————————————————————————————

(1) 首先确定图形的形心。解:利用平行移轴公式分别求出各矩 形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积矩形 ?269?

?270? 材料力学 图1.15 例1.10 矩形?:

1×0.0593×0.011+0.074 52×0.011×0.059=360.9cm4 121

IzΙ=IzC1Ι+b12A1=×0.059×0.0113+(?0.035)2×0.011×0.059=98.2cm4 12 IyzΙ=IyC1zC1Ι+a1b1A1=0+(?0.035)×0.074 5×0.011×0.059=?169cm4 IyΙ=IyC1Ι+a12A1= IyII=IyC1II= IzII=IzC1II

IyzII=0 1×0.011×0.163=3 769cm4 121=×0.16×0.0113=1.78cm4 12矩形 ?: 矩形 ?:

I=360.9cm4 IyIII=Iy Iz

IyzIII=IzI=98.2cm4 I=Iyz=?169cm4 (Y,a,b与分图附1.10均反号) III

整个图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积为 097.3cm4 Iy=IyΙ+IyΙΙ+IyΙΙΙ=1

Iz=IzΙ+IzΙΙ+IzΙΙΙ=198cm4 Iyz=IyzΙ+IyzII+IyzIII=?338.4cm4

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(2) 将求得的 Iy，Iz，Iyz代入式(?-16)得 tan2α0=?2Izy

Iy?Iz=?2×(?338)=0.752 1 097.3?198 则

α0=18.5D或108.5D ?270 ?

附录1 截面图形的几何性质 ?271?

α0的两个值分别确定了形心主惯性轴y0和z0的位置，则 1 097.3+1981 097.3?198+cos37D?(?338)sin37D=1210cm4 22 1 097.3+1981 097.3?198cos217D?(?338)sin217D=85cm4 + Iz0=22

【例附1.11】 试确定图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

Iy0=

图1.16 例1.11

解:(1) 计算形心位置:组合图形由外面矩形1减去里面矩形2; 由组合图形的对称性(对称轴是zc轴)知:yc=0;

A?z?A2?zc2120×180×90?60×140×70 zc=1c1==102.7mm

120×180?60×140A1?A2

(2) 计算平面图形对zc轴和yc轴的惯性矩。 11Izc=×180×1203?×140×603 1212

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=23.4×10mm

1Iyc=[×120×1803+(102.7?90)2×120×180]? 12 1 [×60×1403+(102.7?70)2×60×140]12 =39.1×106mm4

(3) 由于zc轴是对称轴，所以yc轴和zc轴是形心主惯性轴，形心主惯性矩即为

Iyc0=Iyc=39.1×106mm4 Izc0=Izc=23.4×106mm4 ?271?

各种截面的抗弯、抗扭截面系数计算公式大全 截面形状抗弯截面系数WM抗扭截面系数WT π?d3 WM=?0.1d3 32π?d3WT=?0.2d3 16 π?d3

WM=(1?β4)?0.1d3(1?β4)32 β=d1

dπ?d3WT=(1?β4)?0.2d3(1?β4)16β=d1 d

π?d3b?t?(d?t)2

WM=?322?dπ?d3b?t?(d?t)2WT=?162?d

———————————————————————————————————————————————

π?d3b?t?(d?t)2

?WM=32dπ?d3b?t?(d?t)2?WT=16d dπ?d3

WM=(1?1.541)32ddπ?d3WT=(1?1.541)16d

π?d4+(D?d)?(D+d)2?z?bWM=32?Dπ?d4+(D?d)?(D+d)2?z?bWT=16?D z—花键齿数 z—花键齿数 π?d3 WM=?0.1d3 32π?d3WT=?0.2d3 16

d—齿轮分度圆直径d—齿轮分度圆直径 WM=b?h 62W

T=α?b?h3hα—与有关的系数，见附图b 注:?弯曲应力计算公式:σ=

T—扭矩。M—弯矩，弯矩，TMWM，剪切应力计算公式:τ=TWT。

，花键轴截面可视，单双键槽一般可忽略单双键槽一般可忽略，近似计算时，?近似计算时

为直径等于平均直径的圆截面。

、槽钢、工字钢、矩形管的抗弯、抗扭截面系数?角钢角钢、槽———————————————————————————————————————————————

钢、工字钢、矩形管的抗弯、 可从《机械设计手册》中查得。 ?附图: 附录

3 简单荷载作用下梁的挠度和转角 w=沿y方向的挠度 wB=w(l)=梁右端处的挠度 θB=w′(l)=梁右端处的转角 w=沿y的方向挠度 lwc=w()=梁的中点挠度 2 θa=w′(0)=梁左端处的转角 θa=w′(l)=梁右端处的转角 ?286? 材料力学 ?286 ?

附录3 简单荷载作用下梁的挠度和转角 ?287? ?287?

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