上海高三一模难题

2018年上海市高三一模数学考试客观题难题解析

2017.12

一. 宝山区

11. 给出函数g(x)xbx，h(x)mxx4，这里b,m,xR，若不等式

g(x)b10（xR）恒成立，h(x)4为奇函数，且函数

g(x)(xt)恰有 f(x)h(x)(xt)22两个零点，则实数t的取值范围为 【解析】根据题意，xbxb10恒成立，∴

b4(b1)0，即b2.

22mxx2为奇函数，∴m0，即

x22x,xtf(x)x4,xt. 分零点

讨论，如图所示，当

t(,2)，1个零点；当t[2,0)，2个零点；当t[0,4)，

3个零点，当t[4,)，

2个零点. 综上，t的取值范围为[2,0)[4,).

12. 若n（n3，nN）个不同的点Q(a,b)、Q(a,b)、

*111222、Q(a,b)满足：

nnna1a2an，则称点Q、Q、、Q按横序排列，设

12n四个实数k、x、x、x

使得2k(xx)，x，2x成等差数列，且两函数yx、1y3图像的所有交点 x1233123222P1(x1,y1)、P(x,y)、P(x,y)按横序排列，则实数k的值

为

222333【解析】根据题意，2k(xx)，x，2x成等差数列，

xx、x、x为 ∴kxx，x312322232212331方程x3x10的三个解，且xxx.

xx1)3()，∵cos34cos3cos，解法一：x3x104(2223123333xcos， 设2即cos31，360360n，20120n，nZ.∵2，

∴x2cos140，x2cos260，xcos140cos260cos202132cos20，

，即k1. ，两函

22x3x24cos2204cos280kx3x12cos202cos40

(2cos2201)(2cos2801)cos40cos160cos40cos201cos20cos40cos20cos40cos20cos40解法二：结合图像可知，xx12x3，y2y1y33消去y可得 数yx、y1x2

方程x33x10（解分别为xx12x3），消去x得方程

y36y29y10（解分别

3为y2y1y3），设f(x)x3x1，

，

g(y)y36y29y1(y2)33(y2)1根据平移性质可知，函数g(y)图像可由f(x)图像按

向量(2,2)平移得到，且f(x)对称中心 为(0,1)，∴g(y)的对称中心为(2,1)，∴f(x)与g(y)的图

像关于(1,0)对称，如图所示，

xyy即ABCD，∴xxyy，∴kxx1 xxx23223231323131

解法三：利用计算器，求解三次方程x求出x、x、x，代入求出k1.

1

33x10，

2316. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：

数列甲：x、x、x、x、x为递增数列，且xN1*2345i（i1,2,,5）；

数列乙：y、y、y、y、y满足y{1,1}（i1,2,,5）

12345i则在甲、乙的所有内积中（ ） A. 当且仅当x11，x23，x35，x47，x59时，

存在16个不同的整数，它们同为奇数

B. 当且仅当x2，x124，x36，x48，x510时，

存在16个不同的整数，它们同为偶数

C. 不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数

D. 存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数

【解析】取特例，数列甲：1、2、3、4、5，此时内积可能为15、13、11、……、11、13、15，16个数均为奇数，排除A、C选项；再取特例，数列甲：1、2、3、4、6，可以排除B选项，所以选D.

二. 徐汇区

11. 若不等式

(1)n1(1)a3n1n对任意正整数n恒成立，

则实数a的取值范围是 【解析】当n为奇

1a3数，不等式为a3n1，即对一切奇数恒1n1成立，

3，∴a3；当n为偶数，不等式为∵3n11a31n1，对一切偶数恒成立，

183a；综上所述，a的取值范围∵3n1，∴1213). 是[3,8312. 已知函数yf(x)与yg(x)的图像关于y轴对称，当函数yf(x)与yg(x)在区

间[a,b]上同时递增或同时递减时，把区间[a,b]叫做

函数yf(x)的“不动区间”，若区 间[1,2]为函数y|2xt|的“不动区间”，则实数t的取

值范围是 【解析】结合图像，y|2log2t[1,1]xt|的零点xlogt应满足

2,2]. ，解得t[12

16. 如图，棱长为2的正方体ABCDABCD，E为CC的

11111中点，点P、Q分别为面ABCD和线段BC上动点，

11111求PEQ周长的最小值（ ） A.

1222 B.

10 C.

11 D.

11【解析】作PGBC，取BC的中点F，∴QEQF， 作E关于BC的对称点H，∴GHGE，∴PQQE PEGQQFGEGQQFGHFH10 11所以选B.

三. 普陀区

11. 已知正三角形ABC的边长为3，点M是ABC所在平

面内的任一动点，若|MA|1，则|MAMBMC|的取值 范围为

【解析】根据题意，作出示意图

|MAMBMC||MAMAABMAAC||3MAABAC||3MAAD|

，|MA|1，|AD|3

当MA与AD反向时，有最小值0，当MA与AD同向时，

有最大值6，所以|MAMBMC|的取值范围为[0,6]. 12. 双曲线

x2y213绕坐标原点O旋转适当角度可

以成为函数f(x)的图像，关于此函

数f(x)有如下四个命题：① f(x)是奇函数； ②

f(x)33)或(,)；的图像过点(23,3③ 222f(x)的值域是

33(,][,)22；

④ 函数yf(x)x有两个零点；则其中所有真命题的序号为

【解析】作出双曲线图像，旋转适当角度，使得

其中一条渐近线垂直于x轴，如图中红色 实线或红色虚线所示，结合图像，可知①②正确.

16. 定义在R上的函数f(x)满足

f(x1)f(x1)2x2f(x)x420x11x0，且

，则

函数g(x)f(x)3xx25在区间[1,5]上的所有零点之和为（ ）

A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

【解析】作出f(x)图像如图所示，周期为2，设

3x51h(x)3，即求f(x)与h(x)交点 x2x2横坐标之和. 结合图像可知，共有3个交点，其中

两个交点关于(2,3)点对称，另一个交点的横坐标 为1，所以交点的横坐标之和为2215，即 所有零点之和为5

四. 长宁区/嘉定区

11. 已知数列{a}的前n项和为S，且a2n1（nN），若b(1)a， ann*11，2Snanan1nnnn1则数列{b}的前n项和T nn【解析】a11，2S1a1a2a22，

，

2Sn2Sn1an(an1an1)2anan1an12∴奇数项1、3、5、…、成等差数列，偶数项2、4、6、…、成等差数列，综上an，

nbn(1)n2n111(1)n()n(n1)nn1，∴b11，b2121123，

11b334，……，

bn(1)n11(1)nnn1，消项求和，T2n1(1)n1n1.

12. 若不等式x2y2cx(yx)对满足xy0的任意实

数x、y恒成立，则实数c的

最大值为

【解析】典型恒成立问题，∵x(yx)0，∴参变分

离得

yt(0,1)x，即求

y12()2x2yxcyxyx21x12t2f(t)t122，

的最小值，

12t22(t1)24(t1)1f(t)t1t12(1t)142241t，当且仅当t122时等号成立，∴24c的最大值为2.

15. 对任意两个非零的平面向量和，定义

||cos，其中为和的夹角， ||若两个非零的平面向量a和b满足：①

a和b的夹角(0,)；③ ab和 4ba|a||b|；②

,nN}中，则ab的值为的值都在集合{x|xn2（ ）

3 A. 5 B. C. 1 22D. 1 22|b||b|cos(,1)，【解析】根据题意，∴bacos1，1，2|a||a|

|b|1,nN}中，∴ba∵ba的值在集合{x|xncos，22|a|∴|a|2cos(|b|2,2)，∴ab

,nN}中，，∵ab的值在集合{x|xn2|a|cos2cos2(1,2)|b|∴ab3. 选B. 216. 已知函数

fn(x)f(fn1(x))12x0x2f(x)22x1x12，且f(x)f(x)，

1，

n1,2,3,，则满足方程f(x)x的根的个数为（ ）

n A.

2n2n个 B.

2(2n1)2n2个 C.

个 D.

个

【解析】画出f(x)、f(x)、f(x)的图像，如图所示，

123由图可知，f(x)x有2个根，f(x)x有2个根，f(x)x2123有2个根，…，归纳可得，f(x)x有2个根.

3nn

五. 金山区

10. 向量i、j是平面直角坐标系x轴、y轴的基本

单位向量，且|ai||a2j|5，则|a2i|的取值范围为 【解析】本题与2016年虹口一模17题几乎一样， 根据题意，i(1,0)，j(0,1)，设a(x,y)， 根据|ai||a2j|5的几何意义，(x,y)轨

迹是一条线段（图中AB），|a2i|的几何意义为

(x,y)到点(2,0)的距离，由图可知，距离最短

为CD655，最长为AD3，范围为[655,3]

11. 某地区原有森林木材存有量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末

1a，设a为第n年末后该地区要砍伐的木材量为10n森林木材存量，则a

aa，待定系数，【解析】根据题意，a5410nnn1an5(an1)4，可得25a，

11∴{an2a}55a2a3a是首项为23，公比为的等比数列，42054n∴a3a5n()542a3a5n1()5443a5n2a()545，即an5aa23aa. 本题要注意aa，. 4102012. 关于函数f(x)||x||x|1|，给出以下四个命题：① 当x0时，yf(x)单调递减且没

有最值；② 方程f(x)kxb（k0）一定有实数解；

③ 如果方程f(x)m（m为常

数）有解，则解的个数一定是偶数；④ 偶函数且有最小值；其中假命题的序号 是

yf(x)是

【解析】根据图像可得，① 在(0,1)单调递增，错误；② 正确；③

f(x)0只有一个解，错误；④ 为

偶函数，最小值为0，正确；∴假命题是①③. 16. 给出下列四个命题：（1）函数yarccosx（1x1）的反函数为ycosx（xR）；

（2）函数yx（mN）为奇函数；（3）参数方

m2m1程

1t2x1t2y2t1t2（tR）所表示的

2曲线是圆；（4）函数f(x)sinf(x)1221x()x32，当x2017时，

恒成立；其中真

命题的个数为（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【解析】①

ycosx定义域为R，yarccosx的值域不

为R，不能互为反函数，错误；

② ∵mN，∴m(m1)为偶数，∴mm1为奇数，∴

为奇函数，正确； yx③ 消参可得方程为xy1，x1，不是一个完整的圆，错误；④ f(x)1恒成立， 22m2m122即sin22x()x3x在(2017,)上恒成立，因为sin(0,)2x[0,1]且有周

2)期性，(3，结

合图像性质可知，不能恒成立，错误. 正确的只有②，所以选D.

六. 青浦区

log(xa)10. 已知函数f(x)x3axa22x0x0有三个不同的零

点，则实数a的取值范围是 【解析】由题意，当x0，ylog(xa)

2有一个零点，∴a0且f(0)0，∴a1； 当x0时，yx3axa有两个不同的零

4点，9a4a0，a9；综上，a1.

2211. 已知S为数列{a}的前n项和，aann121，平面内

三个不共线的向量OA、OB、OC满足

OC(an1an1)OA(1an)OB，n2，nN，若A、B、C在同

*一直线上，则S2018

【解析】由题意，A、B、C在同一直线上，∴

an1an11an1a1a21，即aa51n1an1an0，

7，a30，a4，a6，aa81，a90，……，

可知周期为6，

且每6项之和为0，∵201863362，∴

S2018a1a233602.

x12. 已知函数f(x)m(xm)(xm2)和g(x)3以下两个条件：

3同时满足

① 对任意实数x都有f(x)0或g(x)0； ② 总存在x(,2)，使f(x)g(x)0成立；

000则m的取值范围是

【解析】由题意，根据① 对任意实数x都有f(x)0或

g(x)0，可得m0，f(1)0，解得3m0；

000根据② 总存在x(,2)，使f(x)g(x)0成立，

可得f(2)0，解得m2；综上，m(3,2) 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C:x12y212和C2:x2y214，又点A坐标为(3,1)，M、N是C上的动

1点，Q为C上的动点，则四边形AMQN能构成矩形

2的个数为（ ）

A. 0个 B. 2个

C. 4个 D. 无数个 【解析】数形结合，如图所示，选D

七. 虹口区

10. 设椭圆

1x2y2143的左、右焦点分别为F、F，过

12焦点F的直线交椭圆于M、N两

点，若△MNF的内切圆的面积为，则S22MNF2

【解析】设内切圆半径为r，△MNF的周长为C，

根据题意，r1，C4a8， 1SCr4 2MNF211. 在ABC中，D是BC的中点，点列P（nN）在

*n直线AC上，且满足PAann1PnBanPnD，若a11，则数列

{an}的通项公式a

n

PCPD，【解析】PB2nnnPnAan1PnBannnPnBPnCaa(an1n)PnBnPnC222nn1，

an02∵PA与PC共线，但不与PB共线，∴a1an()n12a，an1n12，

.

x12. 设f(x)x2axb2，其中a,bN，xR，如果函数

yf(x)与函数

2yf(f(x))都有零点且它们的零点完全相同，则(a,b)为

000【解析】设零点x，f(x)0，f(f(x))0f(0)0，∴b0，

∴f(x)x22ax2，

4当a0，f(x)x，f(f(x))x，有唯一零点x0，符合；

当a0，f(x)x(x2a)， 有两个零点x0和x122a，f(f(x))f(x)[f(x)2a]0f(x)0和f(x)2a，

∵f(x)0已满足有两个相同的零点x0和x122a，∴

方程f(x)2a无解， 即x22ax2a0无解，4a28a00a2，∴a1；

综上，(a,b)为(0,0)或(1,0).

16. 已知RtABC中，A90，AB4，AC6，在三角

形

所在的平面内有两个动点M和N，满足|AM|2，MNNC，

则|BN|的取值范围是（ ） A. [3C. [22,34]5,42] B. [4,6]

2 D. [363122,263122]3

【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角

坐标系，根据题意，M点的轨迹为x点

坐标为(m,n)，∵N为MC中点，则M点为(2m,2n6)， 代入方程x22y24，设N

y24可得到N点轨迹m2(n3)21，

是一个以(0,3)为圆心，1为半径的圆，设圆心(0,3)为

D，可得BD5，∴|BN|的最小值为BD14，

最大值为BD16，选B.

八. 杨浦区

11. 已知函数f(x)cosx(sinx若函数g(x)f(x)

3cosx)32，xR，设0，

为奇函数，则的值为 【解析】f(x)cosx(sinxg(x)sin(2x23cosx)3sin(2x)23，

*3)为奇

x2y214kk，，kN. 函数，且0，∴232612. 已知点C、D是椭圆上的两个动点，且

点M(0,2)，若MDMC，则实

数的取值范围为 【解析】数形结合，取极端情况. 作CE⊥y轴，DF⊥y轴，

MDMFMB3MCMEMA，同理1 3当D点位于(0,1)，C点位于(0,1)时，等于3；

11等于，[,3]. 当D点位于(0,1)，C点位于(0,1)时，∴3316. 设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足ABAC0，ACAD0，ADAB0，用S、S、

12S3分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则SS12S3的

最大值是（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 2D. 8

【解析】构造如图所示的长方体，根据题意，该

长方体的

ACb，体对角线长度等于球的直径，为2，设ADa，

abbcacABc，∴abc4，SSS 2222123121[(ab2)(b2c2)(a2c2)][2(a2b2c2)]244，

∴选B.

九. 松江区

10. 已知函数f(x)x|2xa|1有三个零点，则实数a的取值范围为

【解析】分类讨论，设g(x)x|2xa|，可以看作g(x)与

y1有三个交点，

当a0，g(x)图像如图所示，易知与y1只有1个交

点，不符；

当a0，g(x)图像如图所示，要与y1有3个交点，

)1，即a22. 需满足f(a4

11. 定义

aabF(a,b)bab

，已知函数f(x)、g(x)的定义域

都是R，则下列四个命题中

为真命题的是 （写出所有真命题的序号）

① 若f(x)、g(x)都是奇函数，则函数F(f(x),g(x))为奇函数；

② 若f(x)、g(x)都是偶函数，则函数F(f(x),g(x))为偶函数；

③ 若f(x)、g(x)都是增函数，则函数F(f(x),g(x))为增函数；

④ 若f(x)、g(x)都是减函数，则函数F(f(x),g(x))为减

函数.

【解析】①的反例如图所示，②③④为真命题

12. 已知数列{a}的通项公式为an

n2qnq（q0，

nN*aman），若对任意m,nN都有 1(,6)，则实数q的取值范围为 6*n1【解析】q0，a3q0，aa1q(,0)211(,6)6，∴an0，a22q2q0，

.

a∴a最小，a最大，a11221(,6)613q，16，解得q，462qq2,0). 即q(1416. 已知曲线C:|y|x2与曲线C12:x2y24恰好有两

个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ） A. D. [1,0](,1][0,1)(1,) B.

(1,1] C. [1,1)

2【解析】分类讨论，当0，y2，符合题意；当

xy0，1. 442401；4，当0，表示椭圆，根据题意，当0，

表示双曲线，渐近线斜率

小于等于1，1，10，综上所述，[1,1)，

选C.

（分析整理 谭峰）