《电气自动化）２０１６年第３８卷第１期 控制理论及其应用 ＣｏｎｔｒｏＩ ＴｈｅｏＨ＆Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 基于多项式拟合和Ｇ Ｍ（１，１） 模型在煤矿伤亡事故中的数据预测模型 杨国颖。王庆岭 （兰州石化职业技术学院，甘肃摘兰州７３００６０） 要：通过建立多项式拟合模型找出影响预测结果的异常数据，剔除后建立ＧＭ（１，１）模型。对某集团１９９１年一２００３年的伤亡事故 统计数据，运用ＭＡＴＬＡＢ工具箱，由图形观测和相对误差分析，提高了模型预测的准确性和适应性，其预测精度大幅提高，预测 期望值高于单一的多项式拟合和灰色预测模型。 关键词：煤矿事故；预测；多项式拟合ＧＭ（１，１）；ＭＡＴＩ ＡＢ工具箱 ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００—３８８６．２０１６．Ｏ１．００５ ［中图分类号］ＴＤ７１２，ＴＰ２０２［文献标志码］Ａ［文章编号］１０００—３８８６（２０１６）０１—００１２—０３ Ａ Ｄａｔａ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ＭｏｄｅＩ ｆｏｒ Ｃｏａｌ Ｍｉｎｅ Ｃａｓｕａｌｔｉｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｆｉｔｔｉｎｇ ａｎｄ ＧＭ（１，１）Ｍｏｄｅｌ ＹＡＮＧ Ｇｕｏ—ｙｉｎｇ，ＷＡＮＧ Ｑｉｎｇ一１ｉｎｇ （Ｌａｎｚｈｏｕ Ｐｅｔｒｏｃｈｅｍｉｃａｌ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｌａｎｚｈｏｕ Ｇａｎｓｕ ７３００６０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｂｎｏｒｍａｌ ｄａｔａ ａｆｆｅｃｔｉｎｇ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｓ ｄｅｔｅｃｔｅｄ ｂｙ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｆｔｔｉｎｇ ｍｏｄｅｌ，ａｎｄ ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ａｆｔｅｒ ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ．Ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃ ｃａｓｕａｌｔｉｅｓ ｏｆ ａ ｇｒｏｕｐ ｃｏｍｐａｎｙ ｉｎ ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄ ｏｆ １９９１—２００３，ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ＭＡＴＬＡＢ ｔｏｏｌｂｏｘ ｔｏ ｍａｋｅ ｇｒａｐｈｉｃａｌ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｔｈｕｓ ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ａｎｄ ａｄａｐｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｏｄｅｌ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ．Ｉｔｓ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｈｉｇｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｈａｔ ｏｆ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｆｉｔｔｉｎｇ ｏｒ ｇｒｅｙ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅ１． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏａｌ ｍｉｎｅ ａｃｃｉｄｅｎｔ；ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｆｔｔｉｎｇ；ＧＭ（１，１）；ＭＡＴＬＡＢ ｔｏｏｌｂｏｘ Ｏ 引 言 针对某集团１９９１年一２００３年的伤亡数据，建立多项式拟合 模型，通过分析比较预测结果，找出影响数据预测的异常点，剔除 后进行用ＧＭ（１，１）模型进行预测，提高了ＧＭ（１，１）模型的预测 精度和准度 ｊ。 一 １一 ，Ｘ（１ （１）＋ （ｔ （２）） Ｘ‘。 （２） Ｘ（”（２）＋ （”（３）） Ｘ（。）（３） Ｙ．＝ １一 Ｂ＝ ， １．Ｘ（Ｉ （ｎ—１）＋ （ｊ （ｎ）） １ ＧＭ（１，１）预测模型 灰色预测模型（Ｇｒａｙ Ｍｏｄｅ１）简称ＧＭ模型，灰色预测ＧＭ（１， １）的模型如下： （ ＋１）＝（ ㈩（１）一 ）ｅ ＋盟ａ ＧＭ（１，１）残差检验：按预测模型计算 ㈩（ ），并将 ㈩（ ） 设Ｘ‘。’＝（Ｘ‘。 （１）， ‘。’（２），…， ‘。 （ｒｔ）），做累加 ‘ ’（ｋ） ：∑ｘ （ ），生成数列： Ｘ‘ ＝（Ｘ‘ （１），Ｘ‘ （２），…，Ｘ‘ （ｎ））＝（Ｘ‘ ’（１），Ｘ‘ ’（ｔ） 累减生成皇（。 （ ），然后计算原始序列 （。 （ ）与 （。’（ ）的绝对 误差序列及相对误差序列。 ＋Ｘ‘。 （２），…，Ｘ‘ （ｎ一１）＋ 。 （ｎ））则ＧＭ（１，１）模型相应的微 分方程为： ＋ 【１）＝ Ａ‘。 （ ）＝Ｉ （。 （ ）一 ‘。 （ ）Ｉ ）＝ ×１００％ ＿ｌ＇２，…ｎ 式中ａ称为发展灰数；／ｘ称为内生控制灰数： 设 ＝（。， ） ，按最小二乘法得到 ＝（ＢＴ ）一 ＢＴＹｉ 其中： ２多项式拟合模型 假设给定数据点（ ，Ｙ ）（ｉ＝０，１，…，ｍ）， 为所有次数不 超过ｎ（ｎ≤ｍ）的多项式构成的函数类，现求一１ 磊 ［ｐ （ ）＿ｙＪ］ （ 一ｙ ） ｍｉｎｐ （ ）＝ ，使得 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，Ｐ （ ）称为最小二乘拟 合多项式。特别地，当ｎ＝１时，称为线性拟合或直线拟合。 定稿日期：２０１５—０５—１３ 显然，＝ ∑０（ ｎ 一Ｙ ） 为ｎ。，ａＩ，… ，的多元函数，因此 Ｅ述问题即为求ｊ：，（ａ ，ａ 一ａ ），的极值问题。 基金项目：甘肃省财政厅专项资金立项资助（甘财教【２０１３】１１６号） １ ２ ＥｌｅｃｔｒｉｃａＩ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ 控制理论及其应用 Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｈｅｏｒｖ＆Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 《电气自动化）２０１６年第３８卷第１期 由多元函数求极值的必要条件， Ｏｌ＝２ ｍ（蔷ｎ 一，， ） ＝。 即 （ “） ｙ ，是关于。。，。 ‘’％，的线性方程 （２）列表计算 （ ＝０，１，…ｎ）和乏 ｙ （ ＝０，ｌ，…，ｎ）； （３）写出正规方程组，求出ｏ。，。 一，ｎ ， （４）写出拟合多项式Ｐ （ ）＝ ａ 在实际应用中，ｎ＜ｍ 或ｎ≤ｍ；当ｎ＝ｍ时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值 多项式 －１ｏ］。 组，矩阵表示： ｍ＋１ Ｘ，ｉ … ｍ ３ 实例应用 ｙ … 一 ］●●● ｎ ¨ Ｈ 厂ｊ 煤矿发生伤亡事故的影响因素很多，针对某集团１９９１—２００３ 却 … ； ｍ ｉ 年的伤亡事故人数进行统计分析（见表１），运用多项式拟合和 ＧＭ（１，１）建立数学模型进行预测，可以制定有效的防范措施，降 低伤亡人数。 对某集团１９９１年一２００３年伤亡事故数据建立多项式拟合数 正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在 唯一解。解出吼（ ＝０，１，…，ｎ）从而可得多项式Ｐ （ ）＝。． 学模型，运行ＭＡＴＬＡＢ，输入ｃｆｔｏｏｌ进入曲线拟合工具箱界面 “Ｃｕｒｖｅ Ｆｉｔｔｉｎｇ ｔｏｏｌ”，通过分析原始数据，选用Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ中５ｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ进行５次多项式拟合，拟合图形见图１。 由图１清晰可见，第４点接近９５％的预测范围，第７点超出 ９５％的预测范围，即１９９４年和１９９７年的伤亡人数在５ｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａ数据曲线拟和中偏离拟合曲线较远。由表２中５ｔｈ残 差和５ｔｈ相对误差拟合数据分析可知，第４点和第７点相对误差 较大。 剔除第４点和第７点后对剩余１１组数据重新进行５ｔｈ ｄｅｇｒｅｅ 可以证明，Ｐ （ ）为所求的拟合多项式。 我们把Ｚ ＥＶ （ ）一 ］Ｙ 称为最小二乘拟合多项式 （Ｐ ）的 平方误差，ｏ ｌ ２ ＝∑ ２＝）一Ｙ１］ ∑ ｉ—ｉ ；０ ＝Ｏ （∑ ｉ＝Ｏ ２＝∑ — 吼（∑ ） ｉ＝Ｏ ＝０ ｉ＝０ ｐｏｌｙｎｏｍｉａ曲线拟合，拟合效果见图２。 由图２观察可知，曲线拟合效果较图１更为接近原始数据变 化趋势。 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： （１）由已知数据画出函数粗略的图形一散点图，确定拟合 多项式的次数ｎ； 表１某集团１９９１年－２００３年伤亡事故统计表 表２ ５阶多项式拟合预测数据 ＥｌｅｃｔｒｉｃａＩ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ １ ３ 《电气自动化）２０１６年第３８卷第１期 控制理论及其应用 ＣｏｎｔｒｏＩ Ｔｈｅｏｗ＆ｌｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 且所有拟合点均在９５％预测界限之间。从剔除第４点和第 ７点数据的前后两个模拟５ｔｈｄｅｇｒｅｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａ曲线的实际数据分 析，确定系数Ｒ—ｓｑｕａｒｅ从０．３９０ １提高到０．７９２，表明对变量的 解释能力进一步加强，剔除数据后的模型对数据的拟合程度 更好 ”－１３］。 ＜ Ｕ 蠼 数据组数，组 图２ ５阶多项式除第４点和第７点数据曲线拟合图 ＬｉｎｅａｒｍｏｄｅｌＰｏｌｙ５： ｆ（ｘ）＝ｐｌ木ｘ ＋ｐ２串ｘ ＋ｐ３水ｘ ＋ｐ４木ｘ ＋ｐ５ ｘ＋ｐ６ Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ（ｗｉｔｈ９５％ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ ｂｏｕｎｄｓ）： 图ｌ ５阶多项式数据曲线拟合图 ＬｉｎｅａｒｍｏｄｅｌＰｏｌｙ５： ｐｌ＝一０．００１４４２（一０．０２１５２，０．０１８６４） ｐ２：一０．００９１７８（一０．６１３６，０．５９５２） ｐ３＝０．８９９４（一５．８０１，７．５９９） ｐ４＝一９．７４５（一４３．１２，２３．６３） ｆ（ｘ）＝ｐｌ｝ｘ ＋ｐ２｛ｘ ＋ｐ３ ｘ ＋ｐ４ ￥ｘ ＋ｐ５ ｘ＋ｐ６ Ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔｓ ｆ ｗｉｔｈ９５％ ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ— ｂｏｕｎｄｓ）： ｐｌ＝０．０００３３９４（一０．０１０４５，０．Ｏ１１１３） ｐ２＝一０．０１９９９（一０．３９８９，０．３５８９） ｐ３＝０．４２９８（一４．４５７，５．３１７） ｐ４＝一４．０６２（一３２．２４，２４．１２） ｐ５＝３３．８５（一３８．１８，１０５．９） ０６＝一１０．８２（一６１．７６，４０．１３） Ｇｏｏｄｎｅｓｓｏｆｆｉｔ： ＳＳＥ：７６．１５ Ｒ—ｓｑｕａｒｅ：０．７９２ ｐ５＝１５．１５（一５４．６６，８４．９５） ０６＝４．４５５（一５１．５３，６０．４４） Ｇｏｏｄｎｅｓｓｏｆｉｔ：ｆ ＳＳＥ：２６４．９ Ｒ—ｓｑｕａｒｅ：Ｏ．３９０１ ＡｄｊｕｓｔｅｄＲ—ｓｑｕａｒｅ：０．５８４１ ＲＭＳＥ：３．９０３ ＡｄｊｕｓｔｅｄＲ—ｓｑｕａｒｅ：一０．０４５６２ ＲＭＳＥ．６．】５２ 由表２的５阶多项式拟合预测数据可知，易０除第４点和第７ 点后相对误差比剔除前减小了很多，预测数据与原始数据相比拟 合程度更高。 利用ＭＴＬＡＢ进行编程，首先对原始１３组数据进行ＧＭ（１， １）预测，效果图见图３。由图３可以看出，伤亡人数预测值呈明 显下降趋势。文献［１４］第１９页给出的预测结果是１０．９３１ １０． ２０７ ９．５３１ ８．９［Ｉ４］。 图３ ＧＭ（１，１）模型第一次仿真 剔除第４和第７组数据后进行ＧＭ（１，１）预测，效果图见图 ４。观察图３和图４，图４的拟合程度更优。 对两组数据进行ＧＭ（１，１）预测未来５年的煤矿伤亡数据， 预测结果见表３ ２００４年一２００８年伤亡人数预测。 表３ ２００４年一２００８年伤亡人数预测 图４ ＧＭ（１，１）模型第二次仿真 （下转第２２页） １４ ＥｌｅｃｔｒｉｃａＩ Ａｕｔｏｒｒｌａｔｉｏｎ
