2008随机机过程试题A卷答案_v10

一 、设随机过程X(t)At，t0，其中A 是在区间（1，2）上服从均匀分布的随机变量，求随机变量X(0.5)的一维概率密度函数f(x;0.5)和一维分布函数F(x;0.5)。 (12分) 解：当t0.5时，X(t)0.5A

2分

1,而fA(a)0,1a2

2分

其它所以，X(t)的概率密度为:

f[2x](2x)'2,AfX(x;0.5)0,其它0.5x1

4分

0,x0.5FX(x;0.5)2(x0.5),0.5x1

1,x1二 、设随机过程X(t)eAt 4分

，t0，其中A 是在区间（0，2）上服从均匀分布的随机变量，

求X(t)的均值函数X(t)和自相关函数RX(t1,t2)。 (13分)

12,解：fA(a)0,0a2

3分

其它AtX(t)E[X(t)E[e]201at11eda()eat22t2012t(e1) 5分 2tRX(t1,t2)E[X(t1)X(t2)]E[eAt1eAt2]201a(t1t2)111a(t1t2)2eda()e(1e2(t1t2))

022t1t22(t1t2)5分

三 、已知强度为的泊松分布的概率是P{Xk}kek!,k0,1,2,,。

（1）写出强度为的泊松过程{N(t),t0}需满足的三个条件；

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（2）假设110报警电话在(0,t]内接到电话的呼叫数N(t)是具有强度(每分钟)为1的泊松过程，求2分钟内接到3次呼叫的概率。 (12分) 解：（1）泊松过程应满足的三个条件：

（i）它是增量过程；

2分 2分 2分

（ii）对任意的tt00，增量N(t)N(t0)~((tt0))； （iii）N(0)0。

（2）1，2，k3，

()ke()23e24P{X3}P[N(2)N(0)3]2

k!3!3e 6分

1四 、设老鼠在下图的迷宫中作随机游动。当它处在某个方格中有k条通道时，以概率随机

k通过任意一个通道。求老鼠作随机游动的状态空间及一步转移概率矩阵。 (13分) 解：I{1,2,3,4}

5分

1P2341001202340100011 00211022 8分

五 、设马氏链{Xn,n0}的状态空间为I{1,2,3}，初始分布为

1p1(0)p2(0)p3(0)，一步转移概率矩阵为 P1/41/21/4

301/43/41/43/40求：(1) PX01,X12,X23；(2)PX11。 （12分） 解：(1)PX01,X12,X23p1(0)P12(1)P23(1)(2)

PX11p1(0)P11(1)p2(0)P21(1)p3(0)P31(1)11111103434361311 34416 6分

6分

六 、设马氏链{Xn,n0}的状态空间为I{1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为

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01/21/201/31/31/30 P01/41/21/4001/43/4(1)试证此链是遍历的； (2)求其平稳分布（极限分布）。 （13分） 解：(1)先算得 P(2)P20P(4)P4  

6分

即P(4)无零元。由定理，链是遍历的。

（2）极限分布(1,2,3,4)应满足以下方程组

11321112213243 11113123423241344344112341333,,} 解得，1:2:3:41:3:6:6，{,161688 7分

七 、已知随机相位正弦波X(t)cos(t),t(,)，式中和是正常数，

是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量。求X(t)的均值函数X(t)和自相关函数

RX(t1,t2)；并说明其稳定性。 (12分)

解：

X(t1,t2)E[X(t)]E[cos(t)]

201cos(t)0常数2 4分

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RX(t1,t2)E[X(t1)X(t2)]E[a2cos(t1)cos(t2)]a220 1a2a2cos(t1)cos(t2)dcos[(t2t1)]cos222

4分

其中t2t1，

对任意t,tT，因为

E[X(t)]X(t)常数 E[X(t)X(t)]RX()

根据定义，此随机过程是平稳的。

4分

，求X(t)的谱密

八 、已知平稳过程{X(t),t}的相关函数为RX()e度SX()。 (13分) 解：

SX()RX()ejd

(2RX()cosd)

0



5分 8分

eej2d

12

附加题

九 、设有随机过程X(t)Acos(t),t(,)，式中A是在(0,1)上服从均匀

分布的随机变量，是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量，A和相互。问X(t)是否是各态历经过程？为什么？ (15分)

1X(t)lim解：T2TTTAcos(t)dtlimTAcossinT0

T 3分

1T2X(t)X(t)limAcos(t)cos[(t)]dtT2TT1T21limA[cos(2t2)cos]dtT2TT2A2cos(2)sin2TA2

limcosT4T2A2coscos241(E[A2])2 3分

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1,fA(a)0,0a1其它12,f()0,02

其它因为A和相互，所以有：

X(t)E[X(t)]E[Acos(t)]E[A]E[cos(t)]adacos(t)00121d02 3分

RX()E[X(t)X(t)]E[Acos(t)Acos(t)]E[A2]E[cos(t)cos(t)]adacos(t)cos(t)0012211coscosd2224 3分

因为X(t)E[X(t)]X(t),该过程是各态历经的。 十

、

已

知

平

稳

随

机

X(t)X(t)E[X(t)X(t)]RX()，根据定义，

过

程

的

谱

3分 密

度

为

X(t),t(,)SX()5()10(110),10,, 求X(t)的自相关函数RX()。 (15分)

0,其它,1R()解：X2jS()ed X 3分

j110110j5()ed10(1)ed10102210

514sin2(5)14sin2(5)10(5)2222210 12分

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