—湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题

招生考试数学试题

湖南省2008年普通高等学校对口招生考试

数 学 试 题

一、选择题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确的选项填入题后的括号内。多选不给分。本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、已知全集

U{b,d,e,f}，则

UU{a,b,c,d,e,f,g}(M，集合

U{a,e,f}，集合

N)（ ）。

（A）{e,f} （B）{c,g} （C）{a,b,d} （D）

{a,b,c,d,g}

2、不等式5x20的解集是（ ）。 （A）(5,5) （B）(,5)(5,)

（B）(5,5) （D）(,5)3、已知

cos0.618(5,)

，

(0180)，则的近似值是

（ ）。

（A）28.86 （B）38.17 （C）51.83 （D）

63.14

4、下列命题错误的是（ ）。

（A）在复平面上，表示两个共轭复数的点关于实轴对称。

1 / 65

（B）复数13i的三角形式是2(sinicos)。 33（C）方程x2160在复数集内有两个根。 （D）复数13i的模是

2。

5、已知C23n12Cn3，则n（ ）。

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 6、已知向量（ ）。

（A）a2b(0,3) （B）3ab(7,4) （C）|ab|13 （D）ab13

a(2,3),b(1,5)，则下列命题错误的是

7、过点P(3,2),Q(4,5)的直线方程是（ ）。 （A）7x3y230 （B）3x7y230 （C）7x3y70 （D）3x7y70

8、已知椭圆16x225y21600上一点P到椭圆一个焦点的距离为8，则P到另一个焦点的距离为（ ）。 （A）6 （B）10 （C）12 （D）14 9、甲、乙、丙3同学投篮命中的概率依次为0.6,0.5,0.4，3人各投1次，则其中恰有2人投中的概率是（ ）。 （A）0.12 （B）0.38 （C）0.62 （D）0.88 10、下列命题正确的是（ ）。

1x32x10 （A）当x0时，xsin是无穷大 （B）lim2xx1x2 / 65

(13x)（C）limx01xsin3xx3 （D）lim10001000 t150e2t

二、填空题（本大题8小题，每小题5分，共40分）

11、设有命题p:1{2,4}，命题q:2{2,4}，则pq的真值是 （用T或F表示）。

12、计算：3.22.552.8log34 （结果保留4位小数）。

213、计算： 。 3i614、

(2x)6的展开式中

x的奇数幂的系数之和等于

（结果用数字表示）。

15、已知三角形ABC三顶点的坐标依次为A(5,7),B(1,1),C(1,2)，D为A、B的中点，则与向量CD方向相反的单位向量的坐标是 。 16、过点

A(5,3)且与直线

4x2y30平行的直线方程是

（用一般式表示）。

17、若一种新型药品，给一位病和服用后治治愈的概率是

0.9，则服用这种新型药品的

3位病人中，至少有2位病人

能被治愈的概率是 （结果保留3位小数）。 18

、

函

数

1f(x)cosln(x1)x的连续区间

是 。

三、解答题（本大题共7小题，其中第24、25题为选做

3 / 65

题，共60分，解答时应写出简要步骤）

19、（本题满分10分） 已知函数f(x)2cos2x3sin2x1,xR.

（1）求f(x)的周期和振幅。（5分）

（2）求函数f(x)在区间[0,T]（T为周期）内的图像与x轴交点的横坐标。

20、（本题满分10分） 已知等差数列{an}中a61，且a5a71. a6a83（1）求公差d及首项a1，并写出数列{an}的通项公式。（5分）

anan1.（5分） （2）求数列{an}的前n项和Sn，并求limnSn

21、（本题满分10分） 如图，已知PA垂直于三角形ABC所在平面，

ACB90,AC5,PA53.

（1）BC与平面ACP垂直吗？为什么？（5分）

4 / 65

（2）求二面角P—BC—A的大小。（5分）

22、（本题满分10分）某一新产品问世后，公司为了推销这一新产品要花大量的广告费。但随着产品在市场上被认可，广告的作用会越来越小。何时减小甚至取消广告往往取决于产品的销售高峰期。设某产品的销售量x和时间t的关系为x(t)100e215t55(t0).

（1）求该产品销售函数x(t)的单调区间。（7分） （2）当t为何值时，该产品的销售量最大？，并求产品的最大销量。（3分）

23、（本题满分10分）已知双曲线的中心在原点O，实轴在x轴，一条渐近线的斜率是2，OM动点，且|OPOM|的最小值为3。

（1）写出双曲线的两渐近线方程。（2分） （2）求双曲线的标准方程。（8分）

5 / 65

(0,5)，P

为双曲线上一

四、选做题（第24、25题为选做题，分值相等，满分10分，考生可任做一题，如果两题都做了解答，则只给24题评分）

24、某工厂现有A种原料2420千克，B种原料3040千克，计划用这两种原料生产甲、乙两种产品共200件。已知生产一件甲产品耗用A种原料18千克，B种原料8千克；生产一件乙产品耗用A种原料8千克，B种原料20千克；且每件甲产品可获利润800元，每件乙产品可获利润1200元。

（1）根据原料与产品数量的已知条件，设计甲、乙两种产品所有可行的生产方案。（5分）

（2）设甲产品的产量为x，总利润为L，写出L与x的函数关系式，并由此说明采用哪种生产方案可获最大总利润，并求出最大总利润。（5分）

25、已知f(x3)lgx,g(x)kf(x)x2（k6x为常数）。

（1）求f(x)的解析式及其定义域。（4分） （2）讨论f(x)的奇偶性。（2分） （3）若g(2)2，求g(2)的值。（4分）

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湖南省2009年普通高等学校对口招生考试

数 学 试 题

一、选择题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确的选项填入题后的括号内。多选不给分。本大题共10小题，每小题5分，共50

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分）

1、已知全集

N{b,c,e}，则

UU{a,b,c,d,e,f,g}，集合

M{a,b,d}，集合

(MN)（ ）。

（A）{f,g} （B）{b,c,e} （C）{a,b,d} （D）{a,b,c,d,e} 2、函数f(x)1lg(x1)的定义域是（ ）。 x1（A）(,1) （B）(1,1) （B）(1,) （D）(1,1)(1,)

3、复数z1i的三角形式是（ ）。 （A）（C）

2(cos33isin) （B）2(cosisin) 44442(cos5577isin) （D）2(cosisin) 44444、下列命题中，正确的是（ ）。 （A）ABBA0 （B）0AB0 （C）ABBCAC （D）ABACBC

tan2x5、lim的值是（ ）。 x0x（A）0 （B）1 （C）1 （D）2

26、已知双曲线9x216y2144上一点P到该双曲线一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离是（ ）。 （A）8 （B）10 （C）12 （D）14

8 / 65

7、已知sin4cos45，且是第二象限角，则sin2的值是

9（ ）。

（A）2 （B）2 （C）23323 （D）223

8、某班拟从8名候选人中推选出3名同学参加学生代表大会，8名候选人中有甲、乙两名同学。假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲、乙两同学都被选为学生代表的概率是（ ）。 （A）

3 （B）3 （C）1 （D）1

282856149、下列四个命题：

（1）若一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线；

（2）若一条直线和一个平面平行，则这条直线平行于这个平面内的任何一条直线；

（3）若一条直线和两个平面垂直，则这两个平面互相平行；

（4）若一条直线和两个平面平行，则这两个平面互相平行；

其中正确命题的个数是（ ）。

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 10、设奇函数y一定在函数yf(x) (xR)存在反函数yf1(x)。当a0时，

f1(x)的图像上的点是（ ）。

9 / 65

（A）(f(a),a) （B）(f(a),a) （C）(a,f(a)) （D）(a,f(a))

二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡上对应的横线上）

11、函数y1sin(2x)的最小正周期是 。

3212、设有命题p:3是6与9的公约数；命题q:方程x210没有实数根，则pq的真值是 （用T或F作答）。 13、若复数

z36i(bR)1i的实部和虚部互为相反数，则

b 。

14、(13x)6的展开式中x的系数是 （用数字作答）。

15、甲、乙两人地解答同一道数学题，甲解答对的概率为0.8，乙解答对的概率为0.5，那么此题能解答对的概率是 。 16、如图，在长方体中，已知

ABAD1,AA12，则直线B1D与平面

ABCDA1B1C1D1ABCD所

成的角的大小是 。 17、若

exa,x0f(x)ln(1x),x0，在

(,)内连续，则实数

10 / 65

a 。

18、若椭圆kx23y26k0的的一个焦点为(0,2)，则常数

k 。

三、解答题（本大题共7小题，其中第24、25题为选做题，每小题10分，共60分，解答应写出文字说明或简演算步骤）

19、（本题满分10分） 解不等式：

20、（本题满分10分）

已知平面向量a,b,c，满足abc0，且|a|3,|b|4,ab，求

|c|的值。

23. |2x1|

21、（本题满分10分） 如图，一艘海轮从海港A出发，沿北偏东75方向航行了50海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15的方

向航行30海里后到达海岛C。如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿北偏东多少度的方向航行？需要航行多少海里？（角度精确到0.1度）。

11 / 65

22、（本题满分10分） 已知函数f(x)exax(a0). （1）求f(x)的单调区间。

（2）若不等式f(x)0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。

23、（本题满分10分） 已知抛物线

C1的顶点为坐标原点O，焦点F是圆

C2:x2(y2)216的圆心。

（1）求抛物线C1的方程。

（2）设过点F且斜率为3的直线l与抛物线C1交于A，B两

4点，过A，B两点分别作抛物线的切线lA与lB，求直线lA与lB的交点M的坐标，并判断点M与圆C2的位置关系（圆内，圆上，圆外）。

注意：第24、25题任选一题作答，若全部作答，则只评阅24小题

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24、（本题满分10分）

为拉动经济增长，2009年度某市计划新建住房的面积为200万平方米，其中小户型住房面积120万平方米。以后每年新建住房面积比上一年增长10，其中小户型面积每年比上一年增加16万平方米。

（1）该市2014年度新建住房面积有多少万平方米？其中小户型住房面积有多少万平方米？（精确到万平方米） （2）从2009年初到2014年底，该市每年新建的小户型住房累计总面积占新建住房累计总面积的百分比是多少？（精确到0.01)

25、（本题满分10分）

设数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}是等比数列，且

a1b1,a2b2,a5b3.求：

（1）数列{an}与{bn}的通项公式。

1)a（2）lim[(1nnnbn1] n131

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湖南省2010年普通高等学校对口招生考试

数 学 试 题

一、选择题（在本题共10小题，每小题4分，共40分。在每一小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）

1、已知全集

N{2,4,6}，则MU{1,2,3,4,5,6}，集合

M{1,2,3,4}，集合

(UN)（ ）。

（A）{1,3} （B）{1,2,3,4,5} （C）{2,4} （D）{1,2,3,4,6}

14 / 65

2、a2是|a|2的（ ）。

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（B）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

3、在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知B45,C105,a2，则b（ ）。 （A）

2 （B）2 （C）22 （D）26

4、从7名志愿者中挑选3名，分别担任翻译、导游、导购工作，且每名志愿者都能胜任其中任一项工作，则不同的选派方法的种数是（ ）。

1（A）P73P33 （B）P73C3 （C）C73 （D）

P73

5、已知向量（ ）。

a(4,2),b(1,m)且

a与

b共线，则

m（A）1 （B）1 （C）2 （D）2

226、过点

(0,1)且垂直于直线

2xy40的直线方程是

（ ）。

（A）2xy10 （B）2xy10 （C）x2y20 （D）x2y20

7、已知椭圆的中心在原点，长轴长是焦距的2倍，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆的标准方程

15 / 65

是（ ）。

x2x2y2（A）1 （B）y21

423x2y2x2y2（C）1 （D）1

43868、下列命题正确的是（ ）。 （A）空间四边形一定是平面图形

（B）若一条直线与一个平面垂直，则此直线与这个平面内的所有直线都垂直；

（C）若一条直线与一个平面平行，则此直线与这个平面内的所有直线都平行；

（D）若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则此直线与这个平面垂直。

sin3x 9、limx0x（A）0 （B）1 （C）3 （D）不存在 10、下列命题错误的是（ ）。 （A）(2x)x2x1

（B）若函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处一定连续

（C）若函数f(x)在点x0处可导且取得极值，则必有f(x0)0 （D）若在区间(a,b)内恒有f(x)0，则f(x)在(a,b)内单调减少 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上对应的横线上）

16 / 65

11、化简lg0.01log53125eln3 。

12、若复数z满足z(1i)2，则z的实部是 。 13、已庆

{an}为等比数列，且

a827a50，则公比

q 。

14、(x1)4的展开式的常数项是 （用数字作

x答）。

15、已知向量a(1,2),b(2,1)，若kab与a2b垂直，则实数k 。

16、已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，且

PB4,PC6,PD5，则

PA的长是 。

三、解答题（本大题共7小题，其中第22、23小题为选做题，共50分，解答应写出文字说明或简演算步骤）

17、（本题满分8分） 求函数y

18、（本题满分8分） 已知4sin()cos()0.

17 / 65

1x4x32的定义域。

（1）求tan的值。

4sin23cos2（2）求

1cos2的值。

19、（本题满分8分）

设{an}为等比数列，{bn}为公差大于0的等差数列。 （1）已知a31,a832，求数列{an}的通项公式。（3分） （2）已知b4b610,b4b616，求数列{bn}的通项公式。（3分）

（3）若amb4,akb6，求m,k.（2分）

20、（本题满分8分） 已知曲线yf(x)ax2blnx(a,b为常数）在x1对应点处的切

3时，函数f(x)取得极值。

线斜率为2，且当x（1）求a,b的值。（4分）

（2）求函数f(x)的单调区间。（4分）

21、（本题满分10分）

18 / 65

x2y2设F1,F2分别是椭圆1的左右两个焦点，P

166为椭圆上的

一点，已知PF1PF2且|PF1||PF2|. （1）求P的坐标。（5分） （2）求中心在原点，一个焦点为(2|PF2|5,0)，一条渐近线的斜

率为|PF1|的双曲线的标准方程（5分）

注意：第22、23小题任选一题作答，若全部作答，则只评阅22小题

22、（本题满分8分）

有A，B，C三批种子，发芽率分别是0.5,0.6,0.7，在这三批种子中各取1粒。

（1）求3粒种子都发芽的概率。（2分） （2）求恰有1粒种子不发芽的概率。（3分）

（3）设X表示取得的三粒种子中发芽种子的粒数与不发芽种子的粒数之差的绝对值，求X的分布列。（3分）

23、（本题满分8分）

甲、乙两机床生产同一种产品，日产量相同，所产生的次品数分别用X、Y表示，它们的概率分布如下：

X P

19 / 65

0 0.5 1 18a 2 0．2 3 0．1 X P

0 6a 1 0．1 2 b 3 0．2 （1）求a,b的值。（2分）

（2）分别求X、Y的数学期望与方差。（4分） （3）哪一台机床的质量好些？请说明理由。（2分）

20 / 65

湖南省2011年普通高等学校对口招生考试

数 学 试 题

一、选择题（在本题共10小题，每小题4分，共40分。在每一小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）

1、不等式(x2)(x1)0的解集是（ ）。 （A）(1,2) （B）(,1)（C）[1,2] （D）(,1](2,) [2,)

2、方程x2pxq0有解的充要条件是（ ）。 （A）p24q0 （B）p24q0 （C）p24q0 （D）p24q0 3、下列函数中为指数函数的是（ ）。 （A）y2x （B）y2x （C）yx2 （D）ylog2x

4、曲线ysin2x1，x[0,]与直线y1的交点个数为

2（ ）。

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5、设复数z(2i)i，则下列命题正确的是（ ）。

21 / 65

（A）z的实部为2 （B）|z|5 （C）z12i （D）z234i

6、数列{an}的前n项和Sn3n22，则a1,a4的值依次为（ ）。

（A）1，21 （B）13，46 （C）1，46 （D）3，21

x2y21表示双曲线，则7、已知方程

9k4kk的取值范围

是（ ）。

（A）k4 （B）k4 （C）k9 （D）4k9

8、设a,b为直线，为平面，则下列选项能判定a的条件是（ ）。

（A）a//b,b （B）ab,b// （C）a//b,b （D）ab,b 9、已知函数（ ）。

（A）3 （B）1 （C）1 （D）0

3sinax,x0，在点x0处连续，则af(x)x2x3,x010、函数y1x32x23x5的单调递减区间为

3（ ）。

（A）(,1) （B）(1,3) （C）(3,) （D）

22 / 65

(,1)(3,)

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上对应的横线上）

11、设集合M{x|x21},N{0,1}，则

MN 。

12、函数f(x)（用区间表示）。

2xlg(x1)的定义域为

13、若二次函数f(x)是偶函数，且满足

f(1)1,f(0)0，则f(x)的表达式

是 。

14、从a,b,c,d四个字母中任取3个，并从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取2个，将它们排成一列，则所有排列的种数是 （用数字作答）。

15、过点（1，2）且与直线4x3y50平行的直线的一般式为 。

16、设O是三角形ABC所在平面外一点，若

OAOC,BABC则异面直线

AC与BO所成的角度

是 。

三、解答题（本大题共7小题，其中第22、23小题为选做题，共50分，解答应写出文字说明或简演算步骤）

17、（本题满分8分）

23 / 65

已知sin()2,

3（1）求sin，（2分）

（2）求sin2(cottan)的值。（6分）

22

18、（本题满分8分）

设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列， （1）若a13,a1039，求S50.（4分） （2）若b2a4，b1b220，求b4.（4分）

19、（本题满分8分）

已知平面上的三点A(4,0),B(2,2),C(2,4)，D为AB的中点。 （1）求D点的坐标。（2分）

（2）若向量a(1,2k)与CD垂直，求k的值。（6分）

20、（本题满分10分） 已知椭圆为

22y2x2C：221 (ab0)，其焦距与长轴长之比

ab，两个焦点分别为F1,F2，点P是坐标平面内一点，且

51,PF1PF2（O24|OP|为坐标原点）。

（1）求椭圆的标准方程。（4分）

（2）过点D(1,0)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B

324 / 65

两点，在x轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点。若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。（6分）

21、（本题满分8分）

日本大地震导导致核电站发生泄漏事故。3月21日至4月10日，某调查机构在亚洲、欧洲、南美、北美、非洲等地区调查了3万4千人。结果显示，地震后反对核电站建设的人数比例为43，现从该地区随机抽查10人，

（1）估计约有多少1反对核电站建设。（精确到个位）（4分）

（2）求至少有1人反对核电站建设的概率。（精确到

0.001）（4

分）

注意：第22、23题任选一题作答，若全部作答，则只评阅第22小题。

22、（本题满分8分）

设f(x)x(x1)eax,(aR)，且f(x)在x0处取得极值， （1）求a的值。（4分）

（2）设g(x)bf(x)，若曲线yg(x)在x1对应点处的切

x线垂直于直线y1x2，求b的值。（4分）

3

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23、（本题满分8分）我国铁路运输迈入高铁时代，高速铁路建设速度快、条件好，但票价高昂。已知某高速铁路某路段每年满负荷运力为2000万人次，当票价为600元时，年实际运送量约800万人次，估计票价每下降100元，实际运送量将提高300万人次。

（1）设票价为x元，写出售票收入y（单位：元）与票价x之间的函数关系式，并指明函数的定义域。（4分）

（2）当票价定为多少时，售票收入最大？（4分）

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湖南省2012年普通高等学校对口招生考试

数 学 试 题

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的选项填入下列答题栏内。）

1．设全集U＝{0,1,2,3,4},集合A＝{1,2},则CUA等于 （ ）

A．{0,3,4} B {3,4} C．{1,2} D．{0,1}

2．已知函数fxlog2ax4bx6a0,b0满足

f11,f2log26

则fx的最小值为

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（ ） A． B． C． D． 3．已知sin（ ） A．— B．— C． D． 4．已知向量＝(2,1),＝(,3),且∥,则实数的值为 A． B．3 C．6 D．9 5. 已知( ) A. -3 B.3 C. -4 D. 4 6．已知等比数列（ ） A．0 B．7. 已知直线：（ ） A．2 B．D． C． C．与圆 D． 的前n项和为，则 ，则的值为 5,则sin4cos4的值为 5相切，则实数的值为8．为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株 28 / 65

树木的底部周 长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中， 底部周长小于110cm的株数= ( ) A．30 B．60 C．70 D．80 9. 关于直线、与平面、，有下列四个命题： ①； ③.

且

，则

； ④

且

，则

且

，则

； ②

且

，

其中正确命题的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 （ ） Ａ．14 Ｂ．24 Ｃ．28 Ｄ．48

二． 填空题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分．把正确答案填写在答题卷中对应题号的横线上) 11. 若函数

是奇函数，则m的值

是 。

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12．若（）的展开式中的系数是－80，则实数

= 。

13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是、、

，已知＝2,＝3，B＝, 则△ABC的面积＝________. 14. 计算：确到0.001）

15．(工科类考生做) 右面的程序框图给出了计算数列前10项和s的算法，算法执行完毕后，输出的s为 .

15．（财政类考生做）设变量，满足约束条件： 则目标标函数

三、解答题: 要求写出必要的解答过程，16～21（22）题每小题10分，共 60 分。(第21题(工科类)、22题(财经、商贸、服务类)为选做题，每题10分。 16．(本小题 满分10分) 已知向量

，

, 函数

的最大值为 。

的

+

­—log

.（精

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(1) 求

的表达式；

的周期并求函数

的最大值.

(2) 写出函数

17．(本题满分10分) 已知数列线

的前n项和为，上. (1) 求的值； (2) 求数列

18．(本小题满分10分) 在正方体的中点. (1)求证：

∥面

； －的大小.

—

中，、分别是棱

、

的通项公式；

，且点

在直

(2)求二面角－

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19.(本小题满分10分) 若

的两个顶点

分别是椭足

的左、右两，求顶点的

个焦点，三个内角轨迹方程

20. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品都是二等品”的概率

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率； （2）若该批产品共10件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列

注意：（以下两题为选作题，考生可任选一题作答，每题10分）

21．（工科类考生做）随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员 人（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元。据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人

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每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年

万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的年经济效益，该公司应裁员多少人

22．（财经商贸服务类考生做）沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元.从2002年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2003年起第x年（2003年为第一年）该村人均产值为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？

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湖南省2014年普通高等学校对口招生考试

数学（对口）试题

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分

钟.满分120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一项是符合题目要求的）

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1.已知集合A1,4,B4,5,6,则AB等于 ( )

A. 4,5,6 B. 1,4,5,6 C. 1,4 D. 4 2.

函

数

fx3xx0,2的值域为

( )

A. [0，9] B. [0，6] C. [ 1,6 ] D. [ 1,9 ] 3.“xy”是“xy”的 （ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

4.已知点A5,2,B1,4,则线段AB的中点坐标为 （ ）

A．（3，－1） B． （4，6） C．（－3，1） D． （2，3）

15.xx6的二项展开式中x2的系数为 （ ）

A．－30 B．1 C． －15 D．30

6.函数fxsinxcosxxR的最大值为 （ ）

A．7.若

a022 B． 1 C．

x2 D． 2

则关于的不等式x3ax2a0的解集为

（ ）

A．x3ax2a B．xx3a或x2a C．x2ax3a D．xx2a或x3a

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A村 第8题 B村 C村 8.如图从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有4条，从A村直达C村的道路有3条，则从A村去C村的不同走法种数为 （ ） A. B.

C.0 D.1

D1 A1 B1 C1 9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AB1与BC1所成角的大小为 ( ) A．90 B．45 C．60 D．30 10．已知直线yx1与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的长为（ ） A．63

B．8

C．42

A D C 第9题 B D．32

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11、已知一组数据1，3，4，x，y的平均数为5，则

xy______。

12．已知向量a3,1,bx,4.若a∥b，则x_________。 13．圆x32y424上的点到原点O的最短距离为________。 14.已知cos23,,，则 。 2215.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝600，PA⊥平面ABCD，PA＝2，则四棱锥P－ABCD的体积为____________。

三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22题为选做

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题。满分60分。解答题应写出文字说明或演算步骤） 16. 已知函数fxa2log2(x3)，且f11 （I）求a的值并指出fx的定义域； （II）求不等式fx1的解集。

17. 从4名男生和3名女生中任选4人参加独唱比赛，设随机变量表示所选4人中女生的人数。 （I）求的分布列；

（II）求事件“所选4人中女生人数

18. 已知向量a,b满足a2,b4,a与b的夹角为600。

2”的概率。

（I）求2ab的值；（II）若a2bkab，求k的值。

19. 设等差数列an的前n项为Sn，若a512,S238，求： （I）数列an的通项公式；（II）数列an中所有正数项的和。

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20.已知椭圆

23。

x2y2C:221ab0ab的离心率为

32，焦距为

（I）求C的方程；

（II）设F1,F2分别为C的左、右焦点，问：在C上是否存在点M，使得MF1MF2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

注意：第21题，22题为选做题，请考生选择其中一题作答。

21．已知A，B，C是ABC的三个内角，且cosA5，

13cosB3 5（I）求sinC的值；

（II）若BC＝5，求ABC的面积。

22．某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料需要磷酸盐20吨、盐5吨；生产1车皮乙

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种肥料的主要原料需要磷酸盐10吨、盐5吨。现库存磷酸盐40吨、盐15吨，在此基础上生产这两种肥料。若生产1车皮的甲种肥料，产生的利润为3万元；生产1车皮的乙种肥料，产生的利润为2万元.那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，才能够产生最大利润？并求出最大利润。

湖南省2015年普通高等学校对口招生考试

数学试题(附答案)

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分

钟.满分120分

一、选择题（每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合【答案】B

A. 1,2 B. 3,4 C. 5 D. 1,2,3,4,5 2.

“

x2A1,2,3,4,B3,4,5,则

AB等于

” 是“

x24”的

【答案】A

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

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C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 3.

函

数

f(x)log2113x的定义域为

【答案】D

11xxx0xA.  B. C. xx0D.

331xx 34.点P2,1 到直线

3x4y50的距离为

【答案】C

A．5 B． 6 C． 1 D．1

555.已知

1sin,,32 ，则cos

【答案】B A．223 B． 223 C．8 D．2

936. ax16的二项展开式中含【答案】C

x3的系数为

52，则a

A． B．1 C．1 D． 2

42187.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 【答案】A A．

yx3 B．

y2x1 C． ysinx

D． yx21

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8. 不等式

12x3的解集为

【答案】D

A. xx2 B. xx1 C. x2x4 D.

x1x2

9

．

已

知

向

量

a1,3,b23,2b，则

【答案】B A．

a∥

b B．

a⊥ C．

b4a

D．ab20

10．若过点（0，2）的直线与圆x22y221有公共点，则直线【答案】C A．

ππ[,]66l的倾斜角的取值范围是

B．

[0,5π]6 C．

π5π[0,][,π) 66D．[π,5π]

66二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11、甲、乙两人地解答同一个问题，若他们解答正确的概率分别为0.8和0.6，则两人都解答正确的概率为__________． 【答案】0.48

12．某公司现有员工500人，为了调查员工的健康状况，拟采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，若将所有员工分为A,B,C三个年龄组，各组人数依次为125，280，95，则在B组中抽取的人数应为

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_________．【答案】56

13．若函数fxx2(3a1)x4在5,上单调递增，则a的取值范围是 ．

【答案】[-3,+∞) 提示：由3a15x3.

214.已知点M3,2,N5,4，且

1MPMN2，则点

P的坐标

为 ．【答案】(1,-1) 15已知等比数列an的前

k ．【答案】-3

n项和

Sn32nk，则

三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22题为选做题．满分60分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分10分）

已知函数fxaxa0,a1的图象过点A2,4.

（I）求fx的解析式；（II）当x1,2时，求fx的取值范围．

解：（I）依题意，有：4a2，解得：a2，∴函数fx的解析式为fx2x；

（II）∵2>1,∴

f(1)210.5,f(2)224,

4． ∴当x1,2时，fx的取值范围为0.5，fx2x为增函数，而

17. （本小题满分10分）

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从装有5个红球和3个白球的箱子中，随机取出2个球，用表示取出的2个球中白球的个数．

（I）求随机变量的分布列；（II）求事件“取出的2个球中至少有一个白球”的概率．

11C52C5C315C325解：（I）P(0)2,P(1)2,P(2)23,

28C814C8C828 ∴随机变量的分0 1 2 布列为：

P 515 3 142828

（II）至少有

PP(1)P(2)99或P1P(0)． 14141个白球的概率

18. （本小题满分10分） 如图1，长方体

ABAD4,AA13．

ABCDA1B1C1D1中，

A1 D1 C1 B1 （I）证明：B1C∥平面A1BD；（II）求三棱锥A1BCD的体积．

解：（I）证明：∵ABCDA1B1C1D1是长方体，

∴A1B1D1C1，DCD1C1，

故A1B1B1C//A1D，

////D C A B 图1 DC，∴A1B1CD为平行四边形，因此，

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又因为

A1D平面A1BD，

B1C为平面

A1BD外的一条直线，而

所以，B1C∥平面A1BD； （

V三棱锥A1BCDII

1111（BCCD）AA14438． 3232）

19. （本小题满分10分）

设等差数列an的中，若a62,a86，求：

（I）求数列an的通项公式；（II）求数列an的前n项和的最小值．

解：（I）设数列an的首项为a1，公差为d，依题意，有： a8,1d2,2a15d622d∴数列an的通项公式为

an2n10；

（II）∵

a18,d2,∴数列an为递增数列，由

an2n100n5，

所以，数列an的前4项和与前5项和相等，并且为最小， 即S44[(8)(2)]20或S55(80)20．

2220. （本小题满分10分） 已知抛物线C:y22px的焦点为F1,0. （I）求C的方程；

（II）设过点F的直线l与C相交于A,B两点，试判断以AB为直径的圆M与y轴的位置关系，并说明理由．

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解：（I）∵抛物线C:y22px的焦点为F1,0，∴p1，解得

2p2，

故抛物线C的方程为：y24x；

由抛物线的定义可知，AP在

直

角

梯

AF，BQBF，形

APQB

中

，

111MN（APBQ）（AFBF）AB， 222故圆心M到准线的距离等于半径，所以，以AB为直径的圆与y轴必相交．

注意：第21题，22题为选做题，请考生选择其中一题作答．

21．（本小题满分10分） 在△

ABC中，内角

A，B，C的对边分别为a,b,c，已知

c13,b3 ，且

sinB3 sinA4（I）求角C的大小；（II）求ABC的面积． 解：（I）由正弦定理

absinBbsinAsinBsinAa，又

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b3,且sinB3，∴a4， sinA4a2b2c24232(13)21cosC 由余弦定理，得：2ab2432，

∴C600，

（II）∴SABC113absinC4333． 22222．已知甲、乙、丙三种食品中维生素A,B含量及食品价格如下表所示： 维生素A（单位/千克） 维生素B（单位/千克） 单价（元/千克）

营养师拟购买这三种食品共7千克，要求其中维生素A的总含量与维生素B的总含量均不少于2300单位．问：这三种食品各购买多少千克，才能使支付的总金额最少？ 解：设购买甲、乙分别为x、y千克，则购买丙的数量为7-(x+y) 千克，

依题意，有：

500x200y300[7(xy)]2300,2xy20,200x500y300[7(xy)]2300,2yx20, 即  7(xy)0,xy70,x0,y0.x0,y0.甲 500 200 6 乙 200 500 7 丙 300 300 5 而目标函数为：z6x7y5[7(xy)]x2y35，

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作出可行域如下：

显然，当处于A点时，目标函数有最小值，故2xy20,x2,由即A（2，2），2yx20.y2.当xy2时，z有最小值，此时，丙的数量为7(22)3,zmin2223541(元).

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湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） （ ）1．设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={5},则(CUA)∪B=

A．{5} B．{3,4,5} C．{3,4}

D．{1,2,5}

【解析】∵CUA3,4,5，∴(CUA)∪B={3,4,5}．故选B

1xf(x)()2,x[1,2]的最大值为 （ ）2．

2A．4 B．3 C．5 D．9

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【解析】∵函数f(x)()x2,是减函数，∴f(1)4为该函数在区间[-1,2]上的最大值．故选A （ ）3．“x1或x2”是“x1”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】∵前者后者,后者亦前者．故选D （ ）4．不等式2x15的解集为

A．xx2 B．xx3 C．x3x2 D．xx3或x2 【解析】由2x152x15或2x15,

解得x3或x2．故选D

（ ）5．已知向量a(2,A．

123)，b(1,m)，且a//b，则

m=

3 B．3 C．3 D．3 2233m2m【解析】由21．故选A

π24（ ）6．已知cosα,α(,0),则tanα

5A．3 B．4 C．3 D．4

53434【解析】由cosα,α(,0)sinα5π21cos2α3， 5∴tanαsinαcosα3．故选4C

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（ ）7．已知定义在R上的奇函数时,f(x)x22x,则f(1)

f(x),当

x0A．3 B．1 C．-1 D．-3 【解析】依题意，知f(1)-f(1)(1221)3．故选D （ ）8．设a1.70.2，blog30.2，c0.25，则

A．abc B．bac C．cba D．bca

【解析】由指数及对数函数性质知b﹤0，0﹤c﹤1,a﹥1．故选D

（ ）9．已知点P(4,5),点Q在圆C:(x1)2(y1)24上移动,则

PQ的取值范围为

A．[1,7] B．[1,9] C．[3,7] D．[3,9] 【解析】∵PC5,r2,PQ[PCr,PCr]．故选C

（ ）10．已知a,b,c为三条不重合的直线，给出下面三个命题： ①

若

ab,ac,则b//c；②若

ab,ac,则bc；

③若a//b,bc,则ac，其中正确的命题为 A．③ B．①② C．①③ D．②③ 【解析】由于①②都错，只有③才是对的．故选A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．袋中有6个红色球，3个黄色球，4个黑色球，从袋中

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任取一个球，则取到的球不是黑球的概率为 ． 【解析】p(非黑)149 131312．已知数列an的前n项和Sn【解析】a2S2S1835 13．若不等式c= ．

【解析】由21cc2

n22n，则a2 ．

x2xc0的解集为x2x1,则

14．6位同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，共有 种不同的排法（用数字作答）． 【解析】用捆绑法NP22P55240

15．已知A,B为圆x2y21上的两点，AB3,O为坐标原点，则AB•OA ．

【解析】依题意，有cosAOB1131，即AOB1200，

2112 ∴AB•OA150，故AB•OA031cos15003 2三、解答题(本大题共7小题，每小题都为10分，其中第21、22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．已知函数f(x)log2(x2)．(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)若

f(m)f(m1)1，求

m的值．

【解析】(Ⅰ)由x20x2，即f(x)的定义域为(2,)；

55 / 65

m20 (Ⅱ) 依题意，有(m1)20(m2)(m3)2，解得m4．

a,b,c17.在

ABC中,内角

A,B,C的对边分别为.已知

a3，b2ππ,A．(Ⅰ)求sinB的值；(Ⅱ)求sin(B)的值． 336【解析】(Ⅰ)由正弦定理得sinBbsinA1；

a3 (Ⅱ)∵ba,∴BA，故cosB1sin2B32223，

∴sin(πB)sinπcosBcosπsinB666．

18．已知各项都为正数的等比数列an中，a11,a33．(Ⅰ)求an的通项公式；(Ⅱ)设an的前

Sn13(31)，求n的值．

n项和为

Sn，且

【解析】(Ⅰ)设公比为q,依题意有1q23且q0，解得

q3，

∴an的通项公式为ana1qn1(3)n13n12；

a1(qn1)1[(3)n1](3)n1(Ⅱ)∵Sn, q13131而Sn13(∴(31)13(31)(31)312631,

3)n126,即(3)n27，解得n6．

ABCA1B1C119．如图1，在三棱柱

AA13,

中，A1A⊥底面

ABC，

ABAC1,ABAC．(Ⅰ)证明：BA平面ACC1A1；(Ⅱ)求直线

56 / 65

B1 A1 C1B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值．

【解析】

(Ⅰ)证：∵A1A⊥底面ABC，∴BAA1A，

BAA1A由BAACBA平面ACC1A1； AAACA1

(Ⅱ)连A1C，则B1CA1即为直线B1C与平面ACC1A1所成的角， 在RtB1CA1中,A1B11,A1C∴sinB1CA1B1A1B1C1555AA1AC22,B1C2A1B1A1C25

2,即直线B1C与平面ACC1A1所成角的

正弦值为

5． 5x2y220．已知椭圆C:21(a2)的离心率e543a．(Ⅰ)求椭圆

C的方程；(Ⅱ)设直线l:ykx5与椭圆C相交于A,B两点，

3且AB中点的横坐标为1，求k的值． 【解析】

(Ⅰ)依题意,知椭圆的焦点在

5a2452ea9, 239ax轴上,由

∴椭圆C

x2y2的方程为1；

94x2y2(Ⅱ)联合1及ykx5(9k24)x230kx110,

94357 / 65

30k2依题意,有9k41,解得k1或k4．

332

选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时请写清题号． 21．已知复数z1ai若a0且znR(aR)，且z2．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)

(nN*且n12)，求n的所有值．

【解析】(Ⅰ) 依题意,有

(

zn2n(cos1a22，解得a3； ππz13i2(cosisin)33Ⅱ)∵

，∴

nπnπisin)， 33由于

n3、6、9、12．

znR(nN*且n12)，∴

sinnπ03，故

22．某厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品的销售收入为1500元，每件乙产品的销售收入为1000元．这两种产品都需要经过A,B两种设备加工，在A,B设备上加工1件甲产品所需工作时数为2h,4h, 加工1件乙产品所需工作时数为4h,2h．若

A,B两种设备每月工作时数分别不超过

200h,250h，则每月生产甲、乙两种产品各多少件，才能使销售收入最大？

【解析】设每月生产甲、乙两种产品分别为x、y件，销售

58 / 65

收入为Z，则

目标函数 maxZ1500x1000y

2x4y200约束条件为4x2y250

x,yN*2x4y200x504x2y250由，此时，Z150050100025100000(元) y25x,yN*即该厂每月生产甲、乙两种产品的数量分别为50、25件时，销售收入可以达到最大值，最大值为十万元．

湖南省2017年普通高等学校对口招生考试

数学试题(附答案)

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分

钟.满分120分

一、选择题（每小题

的）

4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求

1.已知集合A1,2,,B2，3,4,则AB等于 【答案】D

3,4 C. 1,3,4 D. 1,2,3,4 A. 2 B. 2，22.已知a23，b2，c(),则a,b,c的大小关系为 【答案】B

1212A．abc B． acb C．bac D． cba 3.已知cos1,0, ，则sin 【答案】A 259 / 65

A．

1133 B．  C． D．

22224.已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a 【答案】D

A．2 B． 1 C．0 D．1

5.下列函数中，在区间0,上单调递增的是 【答案】C A.ysinx B. y12 C. yx D. ylog1x x36.已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)为偶函数” 是“f(1)f(1)”的【答案】C

A． 充分必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分不必要条件 D． 既不充分也不必要条件 7.不等式x25x60的解集是 【答案】D A．xx2 B．xx3 C．xx2或x3 D．x2x3 8.设l、m 是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是 【答案】B

A．若lm,m，则l B．若l,m//l，则m C．若l//,m，则m//l D．若l//,m//，则m//l

9. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取2个不同的数，使其和为偶数，则不同

的取法共有

A. 72种 B. 36种 C. 32种 D. 16种 【答

案】D

10．在三棱锥PABC 中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1 ，则该三棱锥的体积为 【答案】A

60 / 65

A．

111 B． C． D．1 632二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示： 成绩/m 人数 1.50 2 1.60 2 1.65 4 1.70 2 则这些运动员成绩的平均数是__________（m）． 【答案】1.62

（x1)2(y2)24的圆心，则k______． 12．若直线kxy60经过圆

【

答案】4

13．函数fx12cosx的最小值为 ． 【答案】1

14.若关于x的不等式2xb3的解集为x3x0，则b ．【答案】3

x2y215.若双曲线221(a0,b0)上存在四点A，B，C，D，使四边形

abABCD为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为 ．【答案】

2，

7小题，其中第21，22题为选做题．满分60

三、解答题（本大题共

16. （本小题满分10分）

分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

已知函数fx2loga(x5)1(a0,且a1),f(1)1.

（I）求a的值，并写出fx的定义域；（II）当x4,11时，求fx的取值范围．

解：（I）依题意，有：f12loga(15)11，解得：a4，

由x50得x5

∴a4，fx的定义域为 （5，）61 / 65

（II）由（1）得：fx2log4(x5)1∵4>1,∴fx2log4(x5)1为增函数，而f(4)2log4111,f(11)2log4161413

∴当x4,11时，fx的取值范围为1,3．

17. （本小题满分10分） 某射击运动员射击3求：

（I）3次射击都击中目标的概率； （II）击中次数的分布列．

3（）解：（I）P(3)2次，每次射击击中目标的概率为，

3238 27 0 271 2 3 9927 （II）随机变量的分布列P 1 2 4 8 为：

18. （本小题满分10分）

已知数列an为等差数列，若a11,a3a2a1，求： （I）求数列an的通项公式；

（II）设bnan()a，求数列bn的前n项和Sn．

n12解：（I）设数列an的首项为a1，公差为d，依题意，有：

a11a11, a2dadad1,111∴ana1(n1)dn

∴数列an的通项公式为ann；

62 / 65

n（）（II）bnan()a=n

n1212∴Sn

n(n1)211122112nn11（n2n2） 2219. （本小题满分10分）

已知向量a(1,m)，向量b(2,3)

（I）若a//b，求m的值； （II）若ab，求（3a)(b3a)的

值．

3解：（1）由a//b得：2m3，m

22（2）由ab得3m20 m

3231，）（ 3a)（= (b3a) （3，2）（2,3）（3，2）（1,5）3（3a)(b3a)3（1）（2）513

20. （本小题满分10分）

已知抛物线C:y22px的焦点为F2,0. （I）求抛物线C的方程；

（II）过点M（1,2）的直线l与C相交于A,B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．

解：（I）∵抛物线C:y22px的焦点为F2,0，∴

2 故抛物线C的方程为：y8x；

p

2，解得p4， 2

（2）设A（x1，y1)、B（x2，y2) ，则依题意有x1x22，y1y24

易知若直线l的斜率不存在，则直线方程为x1，此时

63 / 65

y1y204，不合题意，

2y1y28y18x122由得：y1 即 y8(xx)2122x1x2y1y2y28x2∴klkABy1y2882 x1x2y1y24 直线l的方程为2xy0

注意：第21题，22题为选做题，请考生选择其中一题作答． 21．（本小题满分10分）

已知a,b,c，分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知c22ab，

（I）若C90，且a1，求ABC的面积； （II）若sinAsinC，求cosC的值

解：（I）由C90，且a1，则a2b2c2，又c22ab

b22b10，解得b1 SABC11ab 22acsinAa， sinAsinCsinCc（II）由正弦定理

又sinAsinC， ∴ac，

又c22ab ∴ac2b

a2b2c2b21 由余弦定理得：cosC

2ab2ab422．某公司有40万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对乙项目投资的倍，且对每个项目的投资都不能低于5万元。对项目

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甲每投资1万元可获得0.2万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.3万元的利润。问：该公司如何规划投资，才能使公司获得的总利润最大？

[解] 设投入甲、乙项目分别为x万元，y万元，公司 获利为Z万元，则

z0.2x0.3y

由题意得：xy401xy 3x5y5作出可行域如图四边形ABCD所示

作直线l0：2x3y0并平移，由图象得，当直线经过A点时Z能取得最大值，

xy40x10由 解得即A（10,30） 1xyy30 3（万元）所以当x10,y30时，Zmax0.2100.33011

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