广西南宁市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷

数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题1．命题“\"xÎR,x2+3x+4>0”的否定是（ ）A．\"xÎR,x2+3x+4£0C．$xÎR,x2+3x+4£0B．$xÏR,x2+3x+4<0D．$xÎR,x2+3x+4<02．已知抛物线C的方程为x2+8y=0，则抛物线的焦点坐标为（ ）A．(-2,0)B．(2,0)C．(0,-2)D．(0,2)3．已知函数f(x)在点x=2处的切线方程为2x+y-1=0，则f¢(2)+f(2)=（ ）A．B．-3C．3D．5-54．已知a,bÎR，设M=a2-ab,N=ab-b2，则M与N的值的大小关系是 （ ）A．C．B．MNM£ND．M³N5．在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400年古希腊数学家泰特拖斯用来构造无理数2、3、5，……的图形，此图形中ÐBAD的余弦值是（ ）试卷第11页，共33页

A．4-36B．4+36C．23+66D．23-666．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1=2，则C到直线AB1的距离为（ ）A．155B．105C．153D．3037．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，当xÎ[0,2]时，f(x)=2x+ax，则f(99)=（ ）A．1B．-1C．-12D．218．已知函数f(x)=x2的值域为[0,+¥)，关于其定义域D，下列说法正确的是（ ）A．D只能是实数集D中两个元素，乘积一定非负B．任取C．D不可能是无穷多个闭区间的并集试卷第21页，共33页

D．

D可能是所有有理数以及负无理数所成集合

二、多选题9．直线l:mx-y-2=0和直线l:(2m+1)x-y+3=0，下列说法正确的是（ ）121m=0A．当l1^l2时，m=-或；2B．当l//l时，m=-1；12C．当m=1时，过直线l与l的交点且平行于y=x的直线方程为：x-y+2=012D．当m=1时，直线l关于l对称的直线方程为：7x+y+22=012πA>0w>010．函数f(x)=Asin(wx+j)（其中，，j£）的部分图象如图所示，2则（ ）A．f(0)=-1B．函数f(x)的最小正周期是2ππC．函数f(x)的图象关于直线x=对称3πD．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对6称试卷第31页，共33页

11．设函数f(x)=xlnx+(1-x)ln(1-x)，则（ ）A．f(x)=f(1-x)B．函数f(x)有最大值-ln2C．若x+x=1，则xf(x)+xf(x)³-ln21212211D．若x1+x2<1，且f(x)，则不6p，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 等式f(x)>ex的解集为 .14．在正三角形ABCruuuruururuuurre×AB+BC+CA=e×0=0可得到三角恒等式中，由()rruuun2π4πæöæöq=e,AB，以此类推，在正边形中，可cosq+cosçq+÷+cosçq+3÷=0，其中3èøèø得到三角恒等式 ；四、解答题

15．首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽

取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，

[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．

试卷第41页，共33页

（Ⅰ）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．16．已知函数f(x)=(x+1)ex.（1）求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若方程f(x)=a有两个不同的解，求实数a的取值范围.17．如图，在五面体ABCDE中，BE^平面ABC，AD//BE，AD=2BE，AB＝BC． (1)求证：平面CDE^平面ACD；(2)若AB=3,AC=2，五面体ABCDE的体积为2，求平面CDE与面ABED所成角的正弦值．试卷第51页，共33页

18．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=5，虚轴长为2．2（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点，（A,B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．19．若各项为正的无穷数列{a}满足：对于\"nÎN*，a2-a2=d，其中d为非零常n+1nn数，则称数列{a}为D数列.记bn=an+1-an.n(1)判断无穷数列a=n和a=2n是否是D数列，并说明理由；nn(2)若{a}是D数列，证明：数列{b}中存在小于1的项；nn(3)若{an}是D数列，证明：存在正整数，使得åi=1nn1>2024.ai试卷第61页，共33页

参：

1．C【分析】

根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.

【详解】命题“\"xÎR,x2+3x+4>0”为全称量词命题，它的否定是$xÎR,x2+3x+4£0，故选：C2．C【分析】

根据给定的抛物线方程，求出抛物线的焦点坐标即得.

【详解】抛物线C：x2=-8y的焦点在y轴上，其坐标为(0,-2).故选：C3．A【分析】

根据导数的几何意义求解即可.【详解】

因为函数f(x)在点x=2处的切线方程为2x+y-1=0，所以f¢(2)=-2，且2´2+f(2)-1=0，所以f(2)=-3，所以f¢(2)+f(2)=-5．故选：A.4．D【分析】

利用作差法比较大小即可.

【详解】因为M=a2-ab,N=ab-b2，

答案第11页，共22页

22所以M-N=a-ab-ab-b=(a-b)³0，()2当且仅当a=b时等号成立，故M³N.故选：D5．D【分析】利用余弦定理求解.【详解】在△BCD中，ÐDCB=135°ÞBD2=1+1+2´1´1´2=2+2，2在VBAD中，cosÐBAD=3+1-2-2=23-6.623故选:D.6．D【分析】取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.【详解】由题意知，AC=AB=2，BB=2，1取AC的中点O，则BO^AC，BO=3，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(0,-1,0)，，B1(3,0,2)C(0,1,0)，uuuruuur所以AB=(3,1,2)，CA=(0,-2,0)，1uuurCA所以在uuurAB1uuuruuurCA×AB126=上的投影的长度为uuur=，36AB1答案第21页，共22页

故点C到直线AB1的距离为：d=AC-(26230.)=33故选：D7．D【分析】先由f(2)=-f(0)求出a，由f(x+2)=-f(x)确定f(x)为周期函数且T=4，最后由周期得出f(99).【详解】由f(x+2)=-f(x)，得f(2)=-f(0)205，所以2+2a=-2+0，解得a=-，2()所以当xÎ[0,2]时，f(x)=2x-f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f(x+2)=-f(x)5，得，x．由2即函数f(x)为周期函数且T=4，f(99)=f(3+24´4)所以5ö1æ=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-ç21-´1÷=．2ø2è故选：D．答案第31页，共22页

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由f(x+2)=-f(x)求出函数f(x)为周期函数，进而由周期性得出f(99).8．D【分析】利用二次函数的性质逐一分析ABD，举反例排除C，从而得解.【详解】对于A，当D=[0,+¥)时，满足f(x)=x2的值域为[0,+¥)，故A错误；对于B，当D=[-1,+¥)时，满足f(x)=x2的值域为[0,+¥)，此时取-1,1ÎD，则-1´1=-1<0，故B错误；对于C，取D=[0,1]U[1,2]ULU[k,k+1]UL,kÎN，此时，对于任意M>0ùéùM的整数部分，，取k=éëMû,ëMû表示则MM，故C错误.对于D，当M=(-¥,0]时，满足f(x)=x2的值域为[0,+¥)，而所有有理数以及负无理数所成集合包含了M=(-¥,0]，满足题意，故D正确.故选：D.【点睛】关键点睛：本题选项C的解决关键是对无穷大的理解.9．BD【分析】对于A、B选项，根据两条直线互相平行和垂直的充要条件即可判断；对于C选项，求出直线的点斜式方程即可判断；对于D选项，先求出两条直线的交点，再求出直线l1关于l2的对称点，根据直线上的两点即可求出直线方程，进一步判断即可.【详解】对于A：当l1^l2时，有m(2m+1)+1=0，此方程无解，故A错误；答案第41页，共22页

对于B：令-m=-(2m+1)，解得m=-1，此时l1:-x-y-2=0，l2:-x-y+3=0，l1//l2，故B正确；m=1对于C：当时，l1:x-y-2=0，l2:3x-y+3=0llx-y-2=0，联立ì，得直线1与2íî3x-y+3=0y=x59ö的交点为æ，平行于的直线斜率为1，ç-,-÷è22ø故过直线l1与l2的交点且平行于y=x的直线方程为：x-y-2=0，故C错误；m=1对于D：当ll59ö,(0,-2)在直线x-y-2=0上，时，直线1与2的交点为Pæ易知点-,-ç÷è22ø设该点关于直线l2的对称点为Q(m,n)，ìm=-3ìn+2´3=-1íïïmn=-1则í，解得î，m-2+nï3´-+3=0ïî22kPQ=-759ö所以Q(-3,-1)，因为Pæ，ç-,-÷，所以22èø7x+y+22=095öæ，故D正确.=-7çx+÷，即22èø所以所求直线方程为y+故选：BD.10．AC【分析】利用图象求出函数f(x)的解析式，代值计算可判断A选项；利用正弦型函数的周期性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.f(x)max-f(x)min22-(-2)=2，2【详解】由图可知，A==答案第51页，共22页

TT=π2π2π3T7ππ3πæö==2，B错；函数f(x)的最小正周期满足，则，w==-ç-÷=Tπ412è6ø4所以，f(x)=2sin(2x+j)，πöæéæùæπππööæöfç-÷=2sinê2´ç-÷+jú=2sinçj-÷=-2，可得sinçj-÷=-1，3ø3øèè6øèëè6øûπππ5πππππ£j£，所以，-£j-£，则j-=-，可得j=-，22663632因为-πöæπö所以，f(x)=2sinæ，则2x-f0=2sin-÷=-1，A对；()ç÷ç6øèè6øæππππöæöfç÷=2sinç2´-÷=2sin=2=f(x)max，36ø2è3øèπ所以，函数f(x)的图象关于直线x=对称，C对；3π将函数f(x)的图象向左平移个单位长度以后，6πππùöæö的图象，所得函数为非奇非偶函数，D错.得到函数y=2siné2æx+-=2sin2x+÷ç÷êç6ø6ú6øèëèû故选：AC.11．ACD【分析】根据f(x)的解析式直接求解f(1-x)可对A判断；利用导数求最值方法可对B判断；结合给出的已知条件并利用A、B中的结论可对C、D判断求解.【详解】对A，由题意知f(x)=xlnx+(1-x)ln(1-x)，所以f(1-x)=(1-x)ln(1-x)+xlnx=f(x)，故A正确；答案第61页，共22页

对B，由题意知f(x)的定义域为(0,1)，1xf¢(x)=lnx+x´-ln(1-x)-1=lnx-ln(1-x)=ln，x1-x1öf¢(x)<0æ1ö，f¢(x)>0，所以f(x)在æ1ö上单调递减，在当xÎæ，，当xÎ0,ç,1÷ç÷ç0,÷è2øè2øè2øæ1ö上单调递增，ç,1÷è2ø1时，f(x)取到极小值也是最小值2æ1öfç÷=-ln2，故B错误；è2ø所以当x=对C，当x1+x2=1时，可得x1=1-x2=1，由A知f(1-x)=f(x)，所以xf(x)+xf(x)=(1-x)f(x)+xf(1-x)=(1-x)f(x)+xf(x)=f(x)，1221222222222由B知f(x)³-ln2恒成立，所以f(x)³-ln2，故C正确；2x1+x2<1对D，当时，得x2<1-x1，又因为11【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，分析得出l=2r，由圆锥的侧面积计算出l、r的值，可求得圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的底面圆周长为2pr=pl，可得l=2r，圆锥的侧面积为prl=2pr2=6p，解得r=3，l=23，所以，圆锥的高为，h=l2-r2=311因此，该圆锥的体积为V=pr2h=´3p´3=3p.33故答案为：3p.13．(0,+¥)【分析】f(x)，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式.xef(x)ex首先构造函数g(x)=【详解】设函数g(x)=，g¢(x)=f¢(x)ex-f(x)ex(e)x2=f¢(x)-f(x)ex>0，所以g(x)单调递增，不等式f(x)>exÛx>0f(x)，即g(x)>g(0)，即，>1xe所以不等式的解集为(0,+¥).答案第81页，共22页

故答案为：(0,+¥)é2(n-1π)ù=0，qÎR,n³3öæö14．cosq+cosæq+2π4π+cosq++×××+cosq+êúç÷ç÷nønønèèëû【分析】利用类比和已知等式推断，在正n边形中可得到三角恒等式；【详解】r记单位向量e，在边长为1的正n边形A1A2A3×××An中，uuuurrrruuuuruuuuruuuure×AA+AA+AA+×××+AnA1=e×0=0，122334因为()ruuuurruuuurruuuurruuuur所以e×AA+e×AA+e×AA+×××+e×AA=0，122334n1é2(n-1π)ù=0，öæö可得cosq+cosæq+2π4π+cosq++×××+cosq+êúç÷ç÷nønønèèëûé2(n-1π)ù=0,qÎR,n³3；öæö故答案为： cosq+cosæq+2π4π+cosq++×××+cosq+êúç÷ç÷nønønèèëû15．（Ⅰ）120100，平均为99.6.a=0.003，66%；（Ⅱ）；（Ⅲ）众数为【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程，求得a=0.003，进而得到及格率；（Ⅱ）分别求得在110以下和130以下的学生所在比例，结合百分数的计算方法，即可求解；（Ⅲ）结合频率分布直方图的众数和平均数的计算方法，即可求解.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质，可得(0.004+a+0.013+0.014+0.016)´20=1，解得a=0.003．所以及格率为(0.016+0.014+0.003)´20=0.66=66%.答案第91页，共22页

（Ⅱ）得分在110以下的学生所在比例为(0.004+0.013+0.016)´20=0.66，得分在130以下的学生所占比例为0.66+0.014´20=0.94，所以第80百分位数位于[110,130)内，0.8-0.66=120，估计第80百分位数为120．0.94-0.66由110+20´（Ⅲ）由图可得，众数估计值为100．平均数估计值为0.08´60+0.26´80+0.32´100+0.28´120+0.06´140=99.6．16．（1）单增区间是(-2,+¥)，单减区间是(-¥,-2)，极小值-e-2，无极大值；（2）(-e-2,0).【分析】（1）利用导数求解单调区间和极值即可；（2）根据（1）得到当x®+¥，f(x)®+¥，x®-¥，f(x)®0，f(x)=-e-2，即可min得到实数a的取值范围.【详解】（1）f(x)的定义域是R，f¢(x)=(x+2)ex，f¢(x)=0可得x=-2，x(-¥,-2)-2(-2,+¥)+-f¢(x)f(x减)函数0极小值增函数所以f(x)的单增区间是(-2,+¥)，单减区间是(-¥,-2)当x=-2时，f(x)取得极小值f(-2)=-e-2，无极大值.答案第101页，共22页

（2）由（1）以及当x®+¥，f(x)®+¥，x®-¥，fx®0， fx()()min=-e-2，因为方程f(x)=a有两个不同的解，所以a的取值范围为(-e-2,0).17．(1)证明见解析(2)63【分析】（1）通过证明线面垂直，来证得平面CDE^平面ACD.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面CDE与面ABED所成角的余弦值，再转化为正弦值.【详解】（1）取AC的中点M，连接BM，因为AB=BC，所以BM^AC，因为AD^平面ABC，BMÌ平面ABC，所以AD^BM，由于ACÇAD=A,AC,ADÌ平面ACD，所以BM^平面ACD.CD取的中点F，连接MF,EF，则MF//AD,MF=AD，12由于BE//AD,BE=MF//BE,MF=BEBMFE1，所以四边形是平行四边形，AD，所以2所以EF//BM，所以EF^平面ACD，由于EFÌ平面CDE，所以平面CDE^平面ACD.答案第111页，共22页

（2）在等腰三角形ABC中，BM=3-1=2，过C作CQ^AB，垂足为Q，则SVABC1126，=´2´2=´3´CQ,CQ=223由于AD^平面ABC，CQÌ平面ABC，所以AD^CQ，由于ABIAD=A,AB,ADÌ平面ABED，所以CQ^平面ABED，设BE=x，则AD=2x1,VC-ABED=SABED×CQ31x+2x26=××3,=2,x=1.323由（1）可知MB,MF,MC两两相互垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则C(0,1,0),D(0,-1,2),E(2,0,1,A(0,-1,0),B)(2,0,0，)uuuruuurCD=(0,-2,2),DE=(uuur2,1,-1,AD=(0,0,2)，)uruur设平面CDE与平面ABED的一个法向量分别为n=(x,y,z),n=(x,y,z)，11112222uruuururìì-2y1+2z1=0ïn1×CD=0ïÞíÞn1=(0,1,1)，所以íuruuur2x+y-z=0ïï111în1×DE=0îuuruuurrìïn2×DE=0ìï2x2+y2-z2=0uuÞíÞn2=1,-2,0，ruuuríuu2z=0ï2ïîn2×AD=0î()答案第121页，共22页

设平面CDE与平面ABEDπö所成角为qæç0£q£÷，2øèuruurn1×n223=r=则cosq=uruu，32×3n1×n2所以sinq=1-cos2q=6.3 210x18．（1）-y2=1；（2）(-,0)．34【分析】（1）利用待定系数法求出双曲线的方程；（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立kAD×kBD=-1ìy=kx+mï2，用“设而不求法”表示出，代入可求解．íx2ï-y=1î4x2y2【详解】（1）由题设双曲线的标准方程为2-2=1(a>0,b>0)，由已知得：abc5=,2b=2，a2答案第131页，共22页

2222a+b=c\\a=2,b=1x又，所以双曲线的标准方程为-y2=1.4A(x1,y1)B(x2,y2)（2）设，(1-4x2)x2-8mkx-4(m2+1)=0ìy=kx+m.，联立ï，得íx22ï-y=1î4ì1-4k2¹0ï2222ïD=mk+16(1-4k)(m+1)>0ï.故íx+x=8mk121-4k2ïï-4(m2+1)ïx1x2=1-4k2î22所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=m-4k，1-4k2以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(-2,0)\\kAD×kBD=-1\\y1y×2=-1，x1+1x2+1m2-4k2-4(m2+1)16mk\\y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,\\+++4=0，2221-4k1-4k1-4k\\3m2-16mk+20k2=0\\m1=2k,m2=10k，3当m1=2k时，l的方程为y=k(x+2)，直线过定点(-2,0)，与已知矛盾；101010k时，l的方程为y=k(x+)，直线过定点(-,0)，经检验符合已知条件.333当m2=所以，直线l过定点，定点坐标为(-10,0)．319．(1)a=n是D数列，a=2n不是D数列，理由见解析nn(2)证明见解析(3)证明见解析答案第141页，共22页

【分析】（1）代入定义计算即可得；（2）借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质即可得；n（3）由题意将åi=11表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示ai出与åi=1n1有关不等式即可证明.ai【详解】（1）nan=n是D数列，an=2不是D数列，理由如下：当a=n时，a2=n，a2=n+1，n+1nn则a2-a2=n+1-n=1，故是D数列；n+1n当an=2n时，a2=22n，a2=22n+2，nn+1则a2-a2=22n+2-22n=3´22n，故不是D数列；n+1n22（2）若{a}是D数列，则an>0且an，+1-an=dn此时数列{a2}是以a12为首项，d为公差的等差数列，n故a2=a2+(n-1)d，当d<0时，则总存在正整数n，使a2+(n-1)d<0，n11与an>0矛盾，故d>0恒成立，a2-a2=d>0， n+1n有a2=a2+(n-1)d>(n-1)d，a2=a2+nd>nd，n+11n1即an>(n-1)d，an+1>nd，有an+1+an>(n-1)d+nd=(n+n-1)d，答案第151页，共22页

则bn=an+1-an=d=((a12+nd-a12+(n-1)da12+nd+a12+(n-1)d)()a12+nd-a12+(n-1)d)=2(na12+nd-a12+(n-1)dd)，)则åi=112>aid(a12+d-a12+a12+2d-a12+d+L+a12+nd-a12+(n-1)d=2d(2a12+nd-a1，由a1+nd-a1随的增大而增大，)n且n®+¥时，2d(a12+nd-a1®+¥，)故对任意的d>0，总存在正整数使n2d(a12+nd-a1>2024，)即总存在正整数，使得åi=1nn1>2024.ai答案第161页，共22页

【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与åi=1n1ai有关不等式.答案第171页，共22页