巧用坐标系解几何题
在新的初中数学课程标准中 ,数形结合作为一种重要的思想方法 ,渗透在
新教材中 .而平面直角坐标系作为数学研究的一种重要工具 ,它更是数形结合思
想的重要体现.可是在新教材中,坐标系侧重于数结合形解决代数问题,而形结合
数解决几何题则涉及较少.本文将从形结合数解决几何题的角度作一些探索.
例 1: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 5,E,F 分别是边 CD,AD 的中点,BE,CF 交
于点 P.
Q F
求 AP 的长。
A D
P
E F
A D
B C
E
P
B
C
分析;从几何解题的角度出发,此题有多种解法.
解法一;猜想 AP=AB=5，并加以证明△.先证 BCE≌△CDF
,得 CF⊥BE.延长 CF,BA
交于点 △Q.证 AFQ≌△DFC
得 AQ=CD=AB.利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得
A
F
D
AP=AB=5.
解法二;同解法一证得 CF⊥BE,平移 CF 至 AG 交 BE 于 H,利用
E
三角形全等或相似证得 G 为 BC 中点,从而证得 H 为 BP 中点,CF ⊥BE，即 AH 为 BP 的中垂线,得 AP=AB=5
B
H
G C
P
以上两种解法先猜后证 ,大大简化了计算过程 ,但有两个难点 :一要先猜 ,二证法 繁复,而且都需要添加辅助线,对几何定理的运用要求较高. 解法三 ;通过几何计算的方法解直角三角形 .同前两种解法证
F
A
D
得 CF⊥BE,过 P 作 PG⊥AB 于 G,PH⊥BC 于 H,利用 △BCP∽△
G
E
P
B
H C
BEC， 求得 CP∶BP=1∶2,BC=5,解 Rt BCP， 得 CP= 5 ，BP= 2 5 △
再利用
相似解 △Rt PBH，得 PH=2,BH=PG=4,则 AG=3，PG=4，得 AP=5
这种解法既有证明又有计算，对解题能力同样有较高的要求。
下面我们来探讨使用坐标系解题的方法。
解：以 BC，AB 所在直线建立坐标系。则由题意得 C（5，0），F
F
A
D
1
（2.5，5），E（5，2.5）求得直线 BE 解析式为 y x ，直线
2 CF 解析式为 y 2 x 10 ，
B
P
E C
1
y x 则 P 点坐标由 的解决定，解方程组得 P（4，2）。∵A（0，5）∴ 2
y 2 x 10
AP 4 2 (5 2) 2 5 ，由两点间距离公式得 AP=5。
这种解法简洁易懂，通过坐标系这个数形结合的媒介，把较复杂的几何问题转化
成了简单的一次函数问题，充分体现了数形结合思想方法的优越性。
变式 1：如图，正方形 ABCD 中，AF：DF=1：3，CE ：DE=1 ：2 求 CP ：FP
A
F
D F
A
D
E
P
B
C
P
B
E C
变式 2：如图，矩形 ABCD 中，BC=2AB，E，F 分别是 CD，AD 的中点，求 CP ：FP
变式 1 解；设正方形边长为单位 1，以 BC，AB 所在直线建立坐标系。由题意得 E
（1，1/3），（（， ），则直线C 1，0 ，F1/4 1 ） BE 解析式为 y
4 4
直线 CF 解析式为 y x
3 3
1
x ，
3 F
A
M
D
1 y 3 x
解方程组
y 4 x 4
33
E
得 P（ 4 ，过 P 作 BC 的垂 , 4 ）5 15
P
B
N C
4 4
线交 AD。BC 于 M，N。则 CP ： FP=NP ：MP= (1 ) 4 :11
15 15
同理可解变式 2，CP ：FP=2 ：3
例 2，如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 中点，EF⊥AE 交∠DCP 的角平分线于点 F，
求证：△CFD 为等腰直角三角形。
证明：设正方形边长为 2，则 E（1，0），A（0，2），C 1 （2，0），D（2， ），由△2 ABE∽△ECG，得 G（2， )
2
A
D
F
∴直线 EG 解析式为： y
1 x 1
，直线 CFG2 2
解析式为
y x 2 ；
B
E
C
∴F（3，1）
∴CF= 2 FD
∵∠DCF=45 度
∴△CDF 是等腰直角三角形。
例 3（2004 全国初中数赛初试题）如图正方形 ABCD 与正方形
y CEFG 边长分别 为 2，，3 M是 AF 中点，则 MG=
。
解：如图建立坐标系，由题意得 A（-2，
G
F 2），F（3，3），则 M（
1 2 , 5 2），G（0，3）
A M
D
x
∴ MG ( 1 2) 2 ( 5 2 3) 2
2
2
通过以上几个例题，我们看到，在固定
B
C E
形状和大小的几何图形中进行，证明或计算，利用平面坐标系可以充分体现利用
数形结合思想的解题的优越性，使学生加深对平面直角坐标系的理解，增强学习
数学的兴趣，同时也为学生以后更好地学习解析打下基础。
P
