【纯Word版含答案】2013年普通高等学校招生统一考试——理科数学(大纲卷)

2013年普通高等学校统一考试试题

大纲全国理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2013大纲全国，理1）设集合A={1,2,3}，B={4，5}，M={x|x=a+b,aA,bB}，则M中元素的个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2. （2013大纲全国，理2）(13i)3=（ ） A．-8 B．8 C．8i D．8i

3. （2013大纲全国，理3）已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则=（ ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1

4. （2013大纲全国，理4）已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域（ ） A．(1,1) B．(1,) C．(1,0) D．(,1)

5. （2013大纲全国，理5）函数f(x)log2(1)（x>0）的反函数f1(x)=（ ）

12121x11(x0)(x0) C．2x1(xR) D．2x1(x0) B．xx212146. （2013大纲全国，理6）已知数列{an}满足3an1an0，a2，则{an}的前10项和等于（ ）

3110A．6(1310) B．(13) C．3(1310) D．3(1310)

9A．

7. （2013大纲全国，理7）(1x)(1y)的展开式中xy的系数是（ ） A．56 B．84 C．112 D．168

8422x2y21的左右顶点分别为A1,A2，点P在C上且直线PA2斜率的8. （2013大纲全国，理8）椭圆C：43取值范围是[2,1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ） A．[,] B．[,] C．[,1] D．[,1] 9. （2013大纲全国，理9）若函数f(x)xax213243384123411在(,)是增函数，则a的取值范围是（ ） x2

A．[1,0] B．[1,) C．[0,3] D．[3,)

10. （2013大纲全国，理10）已知正四棱柱ABCDA1BC11D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ） A．

2132 B． C． D． 333311.已知抛物线C：M-2,2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MAMB0，y28x与点（则k=（ ） A．

12 B． C．2 D．2 2212. （2013大纲全国，理12）已知函数f(x)cosxsin2x，下列结论中错误的是（ ） A．yf(x)的图像关于点(,0)中心对称 B．yf(x)的图像关于直线x2对称

C．f(x)的最大值为

3 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知是第三象限角，sin1，则cot 314. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）

x015.记不等式组x3y4，所表示的平面区域为D.若直线ya(x1)与D有公共

3xy4点，则a的取值范围是

16.已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK面所成的一个二面角为60，则球O的表面积等于

03，且圆O与圆K所在的平2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（2013大纲全国，理17）（本小题满分10分）

2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2，且S1,S2,S求{an}的通项公式. 4成等比数列，

18. （2013大纲全国，理18）（本小题满分12分）

设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(abc)(abc)ac. （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若sinAsinC31，求C. 419. （2013大纲全国，理19）（本小题满分12分）

0如图，四棱锥P-ABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和

PAD都是等边三角形.

（Ⅰ）证明：PBCD； （Ⅱ）求二面角A-PD-C的大小.

20. （2013大纲全国，理20）（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；

（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望. 21. （2013大纲全国，理21）（本小题满分12分）

1，各局比赛的结束相互，第1局甲当裁判. 2x2y2已知双曲线C：221（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y=2与C的两个

ab交点间的距离为6. （Ⅰ）求a,b；

|AB|、（Ⅱ）设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1||BF1|，证明：|BF2||AF2|、

成等比数列.

22. （2013大纲全国，理22）（本小题满分12分） 已知函数f(x)ln(1x)x(1x).

1x（Ⅰ）若x0时，f(x)0，求的最小值； （Ⅱ）设数列{an}的通项an1

112311ln2. ，证明：a2nann4n

2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科

答案

一．

题目 答案 题目 答案 1 B 7 D 2 A 8 B 3 B 9 D 4 B 10 A 5 A 11 D 6 C 12 C 二、填空题

113. 22 14.480 15. [,4] 16. 16

2三、解答题

17. 设{an}的公差为d.

22由S3a2得3a2a2，故a20或a23. 2由S1,S2,S4，，成等比数列得S2=S1S4.

又S1a2d，S22a2d，S44a22d， 故(2a2d)2(a2d)(4a22d).

22若a20，则d2d，，，所以d0，此时Sn0，不合题意；

2若a23，则(6d)(3d)(122d)，解得d0或d2.

因此{an}的通项公式为an3，，或an2n1.

18. （Ⅰ），，因为(abc)(abc)ac，所以acbac.

222a2c2b21， 由余弦定理得cosB2ac2 因此B120.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC60，，，所以 cos(AC)cosAcosCsinAsinC

00

cosAcosCsinAsinC2sinAsinC cos(AC)2sinAsinC

132214 32， 故AC300或AC300， 因此C150或C450.

19. （Ⅰ）证明：取BC的中点E，，，连结DE，则ABED为正方形. 过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O. 连结OA，OB,OD,OE.

由PAB和PAD都是等边三角形知PA=PB=PD， 所以OA=OB=OD，，，即点O为正方形ABED对角线的交点， 故OEBD，

从而PBOE.

因为O是BD的中点，，，E是BC的中点，所以OE//CD.因此PBCD. （Ⅱ）解法一：

由（Ⅰ）知CDPB，CDPO，PBPOP.

故CD平面PBD.

又PD平面PBD，，，所以CDPD. 取PD的中点F，PC的中点G，连结FG， 则FG//CD，FG//PD.

连结AF，由APD为等边三角形可得AF⊥PD.

所以，，AFG为二面角A-PD-C的平面角. „„8分 连结AG，EG，则EG//PB. 又PB⊥AE，所以EG⊥AE. 设AB=2，则AE22，EG12PB1， 故AGAE2EG23.

在AFG中，FG1CD2，AF3，AG3， 2FG2AF2AG26 所以cosAFG. 2FGAF3 因此二面角A-PD-C的大小为arccos 解法二：

由（Ⅰ）知，OE,OB,OP两两垂直.

以O为坐标原点，，，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设|AB|2，则

A(2,0,0)，D(0,2,0)，C(22,2,0)，P(0,0,2). PC(22,2,2)，PD(0,2,2).

6. 3AP(2,0,2)，AD(2,2,0).

设平面PCD的法向量为n1(x,y,z)，则

n1PC(x,y,z)(22,2,2)0， n1PD(x,y,z)(0,2,2)0，

可得2xyz0，yz0.

取y1，得x0,z1，，，故n1(0,1,1). 设平面PAD的法向量为n2(m,p,q)，则

n2AP(m,p,q)(2,0，2)=0， n2AD(m,p,q)(2,-2，0)=0，

可得mp0,mp0.

取m=1，得p1,q1，故n2(1,1,1). 于是cosn1,n2n1n26. =-3|n1||n2|

由于，，n1,n2等于二面角A-PD-C的平面角， 所以二面角A-PD-C的大小为arccos6. 320. （Ⅰ）记A，“第2局结果为甲胜”， 1表示事件， A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A表示事件“第4局甲当裁判”.

则A=A1A2.

P(A)=P(A1A2)P(A1)P(A2)（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2.

1. 4记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，，，结果为乙胜丙”， ， B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”

，，结果为乙胜甲”， B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，

B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.

则P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3)1 81， 4115P(X1)1-P(X0)P(X2)1，

84 E(X)0P(X0)1P(X=1)+2P(X2).

8P(X2)P(B1B3)P(B1)P（B3）=ca2b29，故b28a2. 21.（Ⅰ）由题设知3，，，即2aa 所以C的方程为8xy8a.

2222 将y=2代入上式，求得xa1. 2 由题设知，2a216，解得a21. 2 所以a1,b22.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1(3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2y28. ①

由题意可设l的方程为yk(x3)，，，|k|22，代入①并化简得

(k28)x26k2x9k280.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

6k29k28，x1x22. x11，x21，x1x22k8k8于是

|AF1|(x13)2y12(x13)28x128(3x11)， |BF1|(x23)2y22(x23)28x2283x21

由|AF1||BF1|得(3x11)3x21，，，即x1x22. 34196k22，解得k2，故2，，从而x1x2.

59k83由于|AF2|(x13)2y12(x13)28x12813x1，

|BF2|(x23)2y22(x23)28x2283x21.

故|AB||AF2||BF2|23(x1x2)4，

|AF2||BF2|3(x1x2)9x1x2-116.

因而|AF2||BF2||AB|2，，，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.

1(2)xx2'22. （Ⅰ）由已知f(0)0，，，f(x)，f(0)0. 2(1x)'1'，则当0x2(12)时，f(x)0，所以f(x)0. 21'若，则当x0时，f(x)0，，，所以当x0时，f(x)0.

2

1综上，的最小值是.

21

（Ⅱ）证明：令.由（Ⅰ）知，，，当x0时，f(x)0，

2

x(2x)ln(1x). 即

22x若

取x12k1k1，则ln(). k2k(k1)k12n111于是a2nan()

4nkn2k2(k1)2n1 2k1 kn2k(k1)2n1 lnknk1 k ln2nlnn ln2. 所以a2nan1ln2. 4n