山阳县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 已知集合

，则

A0或B0或3 C1或D1或3

2． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，﹣）的所有直线中（

）

A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B．恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点C．有且仅有一条直线至少过两个有理点D．每条直线至多过一个有理点　　

3． 设函数f（x）=A．11

B．8

C．5

D．2

）

，f（﹣2）+f（log210）=（

）

4． 如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（

A．　

B．C． +D． ++1

5． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+A．

B．

，则S2015的值是（ ）

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C．2015D．　

6． 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（

）

A．9.6B．7.68C．6.144D．4.9152

7． 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（

）

A．5B．4C．4D．2

8． 若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ A．5

B．4

C．3

D．2

）

9． 若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（

）

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A．＞B．＞C．|a|＞|b|

D．a2＞b2

）

10．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（

A．2B．C．D．3

11．给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（ A．0 12．已知an=A．a1，a30　

）

B．1

C．2

）

D．3

（n∈N*），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（ B．a1，a9

C．a10，a9

D．a10，a30

二、填空题

13．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，在90组数对（xi，yi）（1≤i≤90，i∈N*）中，经统计有25组数对满足

，则以此估计的π值为　　　　　　．　　

14．函数fxlog2x在点A1,2处切线的斜率为 ▲ ．15．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且x(0,2)时f(x)x21，则f(7)的值为 第 3 页，共 17 页

▲ ．16．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则　17．曲线

的取值范围　　　　　　．在点（3，3）处的切线与轴x的交点的坐标为　　　　　　．的直线与抛物线C相

18．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则　

=　　　　　　．三、解答题

19．已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

20．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自工作，每个元件正常工作的概率为p（0＜p＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率

（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X，求X的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P′（列代数式表示）

（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率．　

21．已知函数f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．

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（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；

，

=2+2cos（A+C），

（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=求f（B）的值．　

22．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b．（1）求证：a＞0时，的取值范围；

（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．

23．设函数（Ⅰ）求函数（Ⅱ）求函数

的最小正周期；

在

．

上的最大值与最小值．

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24．已知函数f（x）=2x﹣（1）求实数a的值；

，且f（2）=．

（2）判断该函数的奇偶性；

（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

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山阳县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参）一、选择题

1． 【答案】B【解析】

，故

或

。

2． 【答案】C

【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），由于

也在此直线上， 或

，，解得

或

或

，又根据集合元素的互异性

，所以

所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有又x2﹣a为无理数，而所以只能是即

；

；，

为有理数，

，且y2﹣y1=0，

所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是所以，正确的选项为C．故选：C．

【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．　

3． 【答案】B【解析】解：∵f（x）=∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，

=5，

∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8．故选：B．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

，

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4． 【答案】D

【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，

其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=

为底面上的高．

×2+×2×1+2××

×

=

+1+

．

于是此几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=×故选：D

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．　

5． 【答案】D【解析】解：∵2Sn=an+当n=2时，2（1+a2）=同理可得猜想验证：2Sn=

=

因此满足2Sn=an+∴∴Sn=∴S2015=故选：D．

【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

．

．

，．

，

．．

…+

=

，

=

，∴

，化为

，解得a1=1．

=0，又a2＞0，解得

，

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6． 【答案】C

【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）x，结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．故选：C．　

7． 【答案】 D

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，则F（0，b，4），E（4，a，0），

=（﹣x，b﹣y，0），

∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，

∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，PE取最小值，

此时，P（2，2，4），E（4，2，0），∴|PE|min=故选：D．

=2

．

【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．　

8． 【答案】A

【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，函数的最大值为：5．

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故选：A．

【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．　

9． 【答案】A

【解析】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，可知：B，C，D都正确，因此A不正确．故选：A．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．　

10．【答案】C

解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为故选：C．11．【答案】B【解析】111]

试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．

考点：几何体的结构特征．12．【答案】Can=【解析】解：图象如图，∵9＜

＜10．

∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9．故选：C．

【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，是基础题．　

=1+

，该函数在（0，

）和（

，+∞）上都是递减的，

=，解得x=．即

，

二、填空题

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13．【答案】　

　．

【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所围成的弓形面积S1，由图知，

，又

，所以

【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．　

114．【答案】

ln2【解析】

试题分析：fx考点：导数几何意义

【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

（2）利用导数的几何意题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.15．【答案】2【解析】1111]

试题分析：f(x4)f(x)T4,所以f(7)f(1)f(1)2.考点：利用函数性质求值16．【答案】　[

【解析】解：设两个向量的夹角为θ，因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，所以所以

，

=

，

，

，1]　．

11kf1xln2ln2第 11 页，共 17 页

所以5

[

所以故答案为：[围．　

，1]．

=1，所以，1]，

；

，所以5a2﹣1∈[

]，

【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范

17．【答案】　（，0）　．

【解析】解：y′=﹣∴斜率k=y′|x=3=﹣2，

∴切线方程是：y﹣3=﹣2（x﹣3），整理得：y=﹣2x+9，令y=0，解得：x=，故答案为：

．

，

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．　

18．【答案】　　．

【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为

的直线与抛物线C相交于A，B两点，

直线AO与l相交于D，∴直线AB的方程为y=联立

（x﹣），l的方程为x=﹣，，解得A（﹣

，

，

P），B（，﹣

）

∴直线OA的方程为：y=

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联立，解得D（﹣，﹣）

∴|BD|==，

∵|OF|=，∴ ==．

故答案为：．

【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．∴1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解得∴an=1，bn=1；

或an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3n﹣1．（II）当当

时，cn=anbn=1，Sn=n．

或

．

时，cn=anbn=（2n﹣1）3n﹣1，

∴Sn=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1，3Sn=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，∴﹣2Sn=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n=∴Sn=（n﹣1）3n+1．

﹣1﹣（2n﹣1）3n=（2﹣2n）3n﹣2，

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【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X～B（9，p），故EX=9p．在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：通讯器械正常工作的概率P′=

（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，

为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作．①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为：②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：此时通讯器械正常工作，故它的概率为：P″=可得P″﹣P′==

p2+

p2+

=

+

﹣

．

，，

；

．

；

． p2；

；

．．．．．

故当p=时，P″=P′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；当0＜p当p

时，P″＜P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低；时，P″＞P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．

【点评】本题考查二项分布，考查了相互事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．　

21．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4sin2x+2cos2x=4sin（2x+∵x∈[0，∴2x+

∈[]，，

]，

）．

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2

sin2x﹣+3=2

∴f（x）∈[﹣2，4]．

（Ⅱ）由条件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），化简得 sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=

，

a2cosA，解得：cosA=

，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4故解得：A=∴f（B）=f（

，B=

，C=

，

）=4sin=2．

【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．　

22．【答案】

【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣，∴3a+2b+2c=0．又3a＞2c＞2b，故3a＞0，2b＜0，从而a＞0，b＜0，

又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b∵a＞0，∴3＞﹣3﹣即﹣3＜＜﹣．

（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．下面对c的正负情况进行讨论：①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0

＞2，

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所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；②当c≤0时，∵a＞0，

∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0

所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根．故x1+x2=﹣，x1x2==从而|x1﹣x2|=∵﹣3＜＜﹣，∴

|x1﹣x2|

．

=

=

=

．

【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．　

23．【答案】

【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】（Ⅰ）因为

．

所以函数

的最小正周期为．

．

（Ⅱ）由（Ⅰ），得因为

，

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所以所以所以且当当

时，时，

，．

．

取到最大值取到最小值

；．

，且f（2）=，

24．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）=2x﹣∴4﹣

=，

∴a=﹣1；（2分）（2）由（1）得函数∵∴函数

=

为奇函数．…（6分）

，定义域为{x|x≠0}关于原点对称…（3分）

，

（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（7分）任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则

=

…（10分）

∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（1，+∞）上是增函数

…（12分）

【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　

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