高考志愿报考模型的研究

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 山东大学

参赛队员 (打印并签名) ：1. 青城霖傲 2. 刘永轩 3. 柳吟轩 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 张清华

日期： 2011 年 8 月 20日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）

关于高考志愿报考模型的研究

摘要

在每一年的高考志愿填报中涉及到很多随机因素和策略，考生往往不知道如何科学的填报志愿，本文在提取大量数据的基础上，主要解决的是在考生的分数、想报考的专业及院校所在地区都已经确定了的情况下为考生找到那个某专业的层次水平较高且被录取的概率较大院校。

首先，我们通过查阅资料并结合实际确定影响报考志愿的因素为录取把握（B1）、发展前景（B2）、兴趣特长(B3)及他人意见（B4）。然后我们通过层次分析法将半定量、办定性的问题转化为定量分析问题，并用Matlab软件求得权向量，即得到各自权重分别为0.4914、0.26、0.1460、0.0937。

在描点画出每年的各高校的录取分数线与投档线的离散图形的基础上，观察出录取分数线与投档线存在线性关系，经过拟合发现其与线性回归符合的很好，以此线性回归模型预测出今年华东地区各院校工商管理专业在山东省的录取分数线，由于预测出来的分数与实际都有一定的偏差，为了保险起见并且在追求好的专业层次水平的基础上，求最好的报考院校时引入了修正值。

最后，根据我们的研究分析，生成志愿填报报告供该考生参考。

关键词：

最优目标值 层次分析法 线性回归模型 专业层次水平 修正值

1

问题重述

在每年的高考结束后，考生和家长就投入到了紧张的志愿填报之中。在每

年的高考结束后，有许多父母都为自己参加高考后的孩子填报志愿发愁。现在流行的一句话是：高考是考学生，填报志愿是考父母。现在用数学建模的方法解决以下问题：

1、填报志愿要考虑的因素，并给出它们的权重。 2、写出报考志愿的算法。 3、根据上述算法，编写出程序。 4、生成填报志愿报告。

今年有一位山东省考生考了545分，想要报考华东地区的某高校工程管理专业，在建立数学模型的基础上为他生成一份填报志愿报告，供他参考。

问题分析

要考虑的因素及它们的权重属于层次分析问题，用层次分析法就可以将其解决。而填写报考志愿的算法是一个预测问题，实际上每个院校的录取分数线与投档线在一定的程度上存在线性关系，故可以用线性回归模型来解决。给山东考生生成一份天报志愿报告，不仅是给出某个院校工程管理专业一个预测的分数，而且是要在院校工程管理专业的层次水平和报考该院校的录取可能性之间找到最好的志愿，即找到那个专业层次水平较高且报考录取可能较大的院校，故在这个时候就很需要引入修正值，来保证报考该学校有足够的机会被录取。

2

模型假设

1、在同地区大学的某专业，其院校专业层次水平越高，则录取分数线就越高。 的层次水平的差异。

3、华东地区内各市经济发展水平相差不大，不会对考生选择不同城市的院校产生影响。

2、每位考生都在求稳——即以最大概率录取的基础上，在考虑各院校专业之间

符号说明

CI ：一致性指标

RI：随机一致性指标 CR：一致性比率 Bi：第i个影响因素 :权向量

i：第i个影响因素所占权重

yi：某一院校历年的录取分数线

X：某地区该批次的投档分数线

ai (i=0,1)：回归线的系数 H0：假设的条件

X,y：观测值的矩阵 mark：考生考取的分数

yi'：预测成绩与真实的偏差

ti：历年分数与一批分数线的差值

ki：该院校某专业的层次水平和被录取的概率

3

模型建立与求解

问题一：填报志愿要考虑的因素及它们的权重

1、问题的分析

对于报考志愿这一事件，要想做出最优决策，需要考虑的因素很多。而这些因素有些可以定量化，有些只能定性分析。为了将半定量、办定性的问题转化为定量分析问题，我们可以采用层次分析法1。

首先，我们确定目标为：填报高考志愿（O）。我们将需要考虑的因素归结为：录取把握（B1）、发展前景（B2）、兴趣特长(B3)及他人意见（B4）。其中发展前景包括专业就业率、专业发展前景、将来就业薪水、个人发展前途、将来考研便利性、社会对该专业的需求量等；兴趣特长包括自己对该专业的兴趣、该专业是否适合自己、个人志向、自身特长等；他人意见包括亲朋好友意见、家长意见、老师意见；录取把握包括成绩、报考人数、及是否热门专业等。目标函数为

YO=1B1+2B2+3B3+4B4 。因为我们只需要得出各因素对我们目标层影

响权重的大小，因此我们不必列出方案层： O(报考志愿)B1B2B3B4录取把握发展前景 兴趣爱好他人意见

4

2、模型的建立及求解 1.21 构造对比矩阵

面临决策问题是：要比较各影响因素对O的影响。要确定各因素对O的影响

权重，我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分定量化。根据相对尺度，

:BBA，

ijij1A(),0,naaaijmijjia

ij112我们构造如下矩阵：A1414 利用matlab软件

22112134211243 21，运行以下程序：

A=[1 2 4 4;1/2 1 2 3;1/4 1/2 1 2;1/4 1/3 1/2 1]%判断矩阵 [vec,val]=eig(A)%求特征向量和特征值

w=vec(:,1)/sum(vec(:,1)) %求得每个指标的权重

得到=4.0458 ;权向量=（0.4914，0.26，0.1460， 0.0937）T。 由于A不是一致阵，所以我们必须进行一致性检验，检验如下：

n4.04584CI==0.0153； n141查表可得随机一致性指标RI=0.9; 0.0153CR==0.017<0.1;所以通过一致性检验。

0.9综上可得YO=0.4914B1+ 0.26B2+0.1460B3 +0.0937B4；

即录取把握、发展前景、兴趣爱好、他人意见对报考志愿影响权重分别为0.4914、0.26、0.1460和0.0937。

问题二：报考志愿的算法

5

由于前一题确定的个人兴趣，及地区因素在每个考生中占有很大的个人主观性，尤其是兴趣爱好是天生不可该改变的，即考生将会选择的地区及专业是确定的。故想要达到最大的目标值——报考上最理想的学校，只能从学校从中寻找最优的目标值。

1.由于每个学生填报该学校前，该校该专业在该年的录取分数线是不确定的，故只能通过往年的录取分数线来估计今年的录取分数线，首先将往年的该校该专业录取分数线与投档线进行比较，寻找其中的规律。从全国所有的院校中找出有某一专业的院校在某地区的录取分数线和该批次的投档线，其中表示yi某一院校历年的录取分数线，x表示某地区该批次的投档分数线。画出散点图yi与x ，并观察yi 与x之间的关系：

图2-1：各院校工商管理专业在山东省录取分数与投档线关系散点图 由该图明显可以看出各院校专业在某地区历年的录取分数线与该地区的投档分数线存在着线性关系3。初步假设其服从于一次线性回归：yia0a1x 2、对上述回归模型进行检验：

因变量yi与自变量xi 之间是否存在线性关系是需要检验的，显然，如果所 有的 ai 都很小， yi与x的线性关系就不明显，所以可令原假设为: H:ai0; 记 yi, x 的观测值分别为 yij，xj

当 H0成立时统计量

6

FUm~F(m,nm1)Q(nm1)

在显著性水平下，若

F12(m,nm1)FF2(m,nm1),

接受H0；否则，拒绝。

接受H0只说明y与x的线性关系不明显，可能存在非线性关系，如平方关系。 当上面的H0被拒绝时，j不全为零，但是不排除其中若干个等于零。所以应进一步

作如下m +1个检验( j = 0,1......m)：

(j)当 H0成立时

(j)H0:aj0

tjj^cjj

(j)对给定的 ，若tjt(nm1)接受H0；否则，拒绝。

2Q(nm1)~t(nm1) 3、经过检验发现上述现行回归模型成立，因此就可以拟合求出某地区各院校专业历年的录取分数线与该地区的投档分数线回归方程yia0a1x 的系数值a0,a1。将考生所在的省份的批次投档分数线带入上述表达式就能大概预测出，将考生所考的分数marks与其进行比较，如果markyi,则报考该学校的风险很大；如果markyi，则将其归为一类。

4、学校的专业的层次水平是影响各考生填报志愿的最优目标值的一个相当大的因数。比较权威的专业的层次水平方法为：(1)不具有学士学位的授予权， (2)具有学士学位的授予权，(3)具有硕士学位的授予权，(4)具有博士学位的授予权，（5)全国重点专业。而实际上某院校某专业的层次水平越高，其预测的yi就越大，则mark-yi就越小，即录取结果受实际录取分数yi'波动就越大。故在此的主要矛盾就是要在各院校某专业的层次水平和预测的yi之间找到产生最优的目标值的条件。

其实各院校专业每年的录取分数与预测的分数都是有偏差的，将yi'-yi定义为正向偏差yi',从正向偏差yi'中找到最大的yi'，将其作为修正值4a0： a0=max（yi'） 令mark-yi的结果为报考该院校的净差分：ti

7

ti=mark-yi 当净差分越接近修正值时，即

kitiaiai*100%

当ki越小时，则表示该院校某专业的层次水平较高且被录取的概率较大。 故实现目标函数最大值，就是要找到使k取得最小值的i,即 min(ki)； 实现这条件的i院校即为我们所要求的报考的最理想院校。

问题三：算法的程序

1、用matlab求解线性回归方程2:yia0a1x clc, clear

a=textread('data1.txt') y=a(:,1);

y=nonzeros(y) %y 是列向量 x=a(:,2); x=x'

plot(x,y,'.') 2、拟合参数程序： clc, clear

a=textread('data1.txt') y=a(:,1);

y=nonzeros(y) %y 是列向量 x=a(:,2); n=length(x); X=[ones(n,1),x];

[b,bint,r,rint,st]=regress(y,X)

3、做F 检验的Matlab 程序如下： clc, clear

a=textread('data1.txt') y=a(:,1);

y=nonzeros(y) %y 是列向量 x=a(:,2);

n=length(x); %样本点的个数 X=[ones(n,1),x];

[b,bint,r,rint,st]=regress(y,X) q=sum(r.^2) %计算残差平方和

8

ybar=mean(y) yhat=X*b;

u=sum((yhat-ybar).^2) %计算回归平方和 m=3; %变量的个数

f=u/m/(q/(n-m-1)) %计算F 统计量的值

fw1=finv(0.025,m,n-m-1), fw2=finv(0.975,m,n-m-1) %上面计算上1-alpha/2 分位数和上alpha/2 分位数 clc, clear

a=textread('data1.txt') y=a(:,1);

y=nonzeros(y) %y 是列向量 x=a(:,2);

n=length(x); %样本点的个数 X=[ones(n,1),x];

[b,bint,r,rint,st]=regress(y,X) q=sum(r.^2) %计算残差平方和 c=diag(inv(X'*X)) %计算cjj 的值 m=3; %变量的个数

t=b./sqrt(c)/sqrt(q/(n-m-1))

tfw=tinv(0.975,n-m-1) %计算t 分布的上alpha/2 分位数

9

问题四：填报志愿报告

该同学考取的分数已经知道——545分，要报考院校的地区也已经确定——华东地区，兴趣爱好也已经得知——工程管理，山东省的一本线、二本线也已经得知，545分正属于一本线和二本线之间。在这些条件下要达到被一个较好的学校录取，那么就要在华东地区所有开设工程管理专业的二本院校之间寻找最优值——寻找报考哪个院校该专业的层次水平较高而风险相对较小。

首先，要在华东地区找到所有开设工程管理专业的二本院校，将这些院校工程管理专业历年在山东省的录取分数和这几年的一本的投档线读入到excel表格中待用。由前一题已经证明各院校专业在某地区历年的录取分数线与该地区的投档分数线存在着线性关系。运用第三问编的程序，从刚生成的excel表格中导入数据，就可预测出今年各院校工程管理专业在山东省的录取分数线min(ki)（i=1,2,3,4,5,6）。

其次，分别将yi（i=1,2,3,4,5,6）与该考生考取的分数545进行比较。 如果 yi<545, 则将该院校看做是潜在的报考院校。 如果 yi>545, 则认为报考该院校风险太大，而将它舍弃。

根据第二问中的方法求出这些潜在的报考院校的修正值a0和报考该院校的净分差ti，接下来最重要的工作就是： 求实现 min(ki)时的i；

这是的第i所院校就是最好的志愿，即报考该院校有较大的可能录取同时该院校的工程管理专业层次也是相对较高的。

10

模型评价与改进

1、优点：

层次分析法将报考志愿这一问题由模糊的定性判断转化为定量分析，并得出了各影响因素对报考志愿影响的权重。

线性回归方法预测某院校的录取分数比较简洁，即使在不会使用计算机软件的情况下，也适合各个考生的使用。 2、 缺点：

层次分析在构造对比矩阵时，各因素之间比较带有很大的主观因素，而且正

反矩阵没有严格的一致性，这也是我们主观因素造成的，层次分析法要求各影响因素之间相互，在第四个影响因素B4（他人意见）可能影响其它因素，导致模型不够精确。

由于最近的高考人数的下降及逐年扩招等因素的影响，此方法预测出来的分数与实际一定的偏差。 3、 改进措施：

通过调查获得大量数据，那么我们可以拟合出更准确的模型，从而求出更准确的权重值。

如果时间允许，可以将每年高考人数的下降比例，以及每年高考招生的扩招比例考虑进去，对其线性回归方程就行适当的优化。

参考文献

[1] 姜启源、谢金星、叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2001 [2] 王沫然，MATLAB 5.X 与科学计算，北京：清华大学出版社，2000 [3] 郑汉鼎 在筠，数学规划，济南：山东教育出版社，1997 [4] 郭立夫，运筹学（郭立夫）， 长春： 吉林大学出版社，2002

11