2019-2020人教A版数学选修2-1 课时分层作业10 双曲线及其标准方程

课时分层作业(十) 双曲线及其标准方

程

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( )

x2y2

A.16－9＝1 x2y2

C.9－16＝1

x2y2

B.16－9＝1(x≥4) x2y2

D.9－16＝1(x≥3)

D [由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，

x2y2

∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．]

916

x2y2

2．若方程＋＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值

k＋3k＋2范围是( )

A．－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2

k＋3>0，

A [由题意知解得－3k＋2<0，

3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(5，0)和(－5，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )

x2y2

A.2－3＝1 x22

C.4－y＝1

x2y2

B.3－2＝1

2y

D．x2－4＝1

|PF1|·|PF2|＝2，

C [由 222

|PF1|＋|PF2|＝（25），⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，

即2a＝4，解得a＝2，又c＝5，所以b＝1，故选C.]

x2y2

4．已知双曲线的方程为a2－b2＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )

A．2a＋2m C．a＋m

|AF1|－|AF2|＝2a，

B [由题意知

|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|＝2a＋|AF2|，即 |BF1|＝2a＋|BF2|，且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m，

所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.]

4735

和P25．已知双曲线过点P1－2，，4，则双曲线的标准方程为23( )

x2y2

A.9－16＝1 x2y2

C.16－9＝1

y2x2

B.9－16＝1 y2x2

D.16－9＝1 B．4a＋2m D．2a＋4m

B [因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝35

， 1(mn<0)．因为P1－2，

2

47

两点在双曲线上，所以P2解得，4

31121

m＋16n＝1，n＝99，y2x2

所求双曲线的标准方程为9－16＝1.故选B.]

二、填空题

y2

6．设F1，F2是双曲线x－24＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|

2

454m＋4n＝1，1

m＝－16，于是

＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于________．

24 [双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.由题意，知|PF1|－|PF2|41

＝3|PF2|－|PF2|＝3|PF2|＝2，∴|PF2|＝6，|PF1|＝8，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴11

PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝2|PF1|·|PF2|＝2×6×8＝24.]

x2y2

7．以椭圆8＋5＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，10)的双曲线的标准方程为________．

x2y2

3－5＝1 [由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝22. x2y2

设双曲线的标准方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)， 910

则有a2＋b2＝c2＝8，a2－b2＝1，解得a2＝3，b2＝5. x2y2

故所求双曲线的标准方程为3－5＝1.]

8．一动圆过定点A(－4，0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．

x2y2

4－12＝1(x≤－2) [设动圆圆心为P，由题意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，则动圆圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的左支，又a＝2，x2y2

c＝4，则b＝12，故动圆圆心的轨迹方程为4－12＝1(x≤－2)．]

2

三、解答题

9．如图所示，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．

[解] 法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P(3，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝

（2＋3）2＋12－

（2－3）2＋12＝2

2

<|AB|＝4.

∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线． 则c＝2，2a＝22，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2. x2y2

∴曲线C的方程为2－2＝1.

法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4.

∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线． x2y2

设双曲线的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，则有

2

（3）1a2－b2＝1，

解得a2＝b2＝2. 

a2＋b2＝4，

x2y2

∴曲线C的方程为2－2＝1.

10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．

[解] (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；

(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； y2x2

(3)当k＜0时，方程为4－4＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；

－kx2y2

(4)当0＜k＜1时，方程为4＋4＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；

kx2y2

(5)当k＞1时，方程为4＋4＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．

k

[能力提升练]

x2y23π

1．设θ∈4，π，则关于x，y的方程sin θ＋cos θ＝1所表示的曲线是( )

A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆

x2y23π

B [由题意，知sin θ－＝1，因为θ∈4，π，所以sin θ＞0，－cos θ

－cos θ＞0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B.]

x2y2

2．已知P为双曲线16－9＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为( )

A．27 B．10 C．8 D．6

B [设△PF1F2的内切圆的半径为R，由题意，知a＝4，b＝3，c＝5.∵S△1

PMF1＝S△PMF2＋8，∴2(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，∴R＝2，∴S△MF1F21＝2·2c·R＝10，故选B.]

x2y2

3．已知双曲线16－25＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．

－1 [设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′1

的中点，所以|MO|＝2|PF′|，又

|FN|＝|OF|2－|ON|2＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|111

＝|MF|－|FN|－2|PF′|＝2(|PF|－|PF′|)－|FN|＝2×8－5＝－1.]

x2y2

4．已知方程2－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为

m＋n3m2－n4，则n的取值范围是________．

(－1，3) [由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m25．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m，试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)．

[解] 以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向，建

立平面直角坐标系(图略)．

设A，B，C分别是正西、正东、正北观测点，则A(－1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020)．

设P(x，y)为巨响产生点，

由A，C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|，

故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x. ∵点B比点A晚4 s听到巨响声， ∴|PB|－|PA|＝340×4＝1 360.

x2y2

由双曲线的定义，知点P(x，y)在以A，B为焦点的双曲线a2－b2＝1的左支上，∴x<0.

依题意，得a＝680，c＝1 020， ∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402， x2y2

故双曲线的方程为6802－＝1.

5×3402将y＝－x代入上式，得x＝－6805或x＝6805(舍去)， ∴y＝6805，

即P(－6805，6805)，故|PO|＝68010.

∴巨响发生在接报中心的北偏西45°方向，且距接报中心68010m处．