___________班级：___________学号：___________ 22章二次函数 姓名：一．二次函数的定义：
1. 下列函数是二次函数的是( )
A. 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
B. 𝑦=𝑥2+𝑥 C. 𝑦=𝑥(2𝑥−1)
1
D. 𝑦=(𝑥+4)2−𝑥2
2. 圆的面积公式𝑆=𝜋𝑅2中，𝑆与𝑅之间的关系是( )
A. 𝑆是𝑅的正比例函数 B. 𝑆是𝑅的一次函数 C. 𝑆是𝑅的二次函数 D. 以上答案都不对
3. 已知函数𝑦=(𝑚−3)𝑥2−𝑥+5是二次函数，则常数𝑚的取值范围是______ ． 4. 若函数𝑦=(𝑎+1)𝑥|𝑎
2+1|
是关于𝑥的二次函数，则𝑎的值为 ．
二．二次函数的图形和性质（考点：开口，对称轴，顶点，最值，增减性，比较大小，图像对比） 5. 已知二次函数𝑦=𝑥2−2𝑥−1．
2
𝑥 𝑦 … … 0 −1 1 − 2 −3 3 − 1
1
4 −1 … … 5252(1) 根据表格，在平面直角坐标系中画二次函数𝑦=𝑥2−2𝑥−1的图象；
2
求图象与坐标轴的交点坐标、顶点坐标，写出对称轴；
(2) 根据图象直接写当函数值大于0时，𝑥的取值范围．
6. 若抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐与𝑦=−3𝑥2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0,2)，则该抛物线的函数解
析式是 ．
7. 抛物线𝑦=(𝑥−1)2−3的对称轴是( ) A. 𝑦轴
B. 直线𝑥=−1 C. 直线𝑥=1
D. 直线𝑥=−3
8. 表格中是抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的自变量𝑥与函数𝑦的一些对应值，则抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠
0)的对称轴是直线______．
𝑥 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 2… … 0 5 1 2 2 1 3 2 … … 9. 二次函数𝑦=2𝑥2−8𝑥+1的最小值是( )
A. −9 B. 9 C. −7 D. 7
10. 对于抛物线𝑦=−2(𝑥−1)2+3，下列判断正确的是( )
A. 抛物线的开口向上 C. 对称轴为直线𝑥=1
B. 抛物线的顶点坐标是(−1,3) D. 当𝑥=3时，𝑦>0
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11. 如图，二次函数𝑦=𝑎(𝑥+1)2+𝑘的图象与𝑥轴交于𝐴(−3,0)，𝐵两点，下列说法错误的是( )
A. 𝑎<0 B. 图象的对称轴为直线𝑥=−1
C. 点𝐵的坐标为(1,0) D. 当𝑥<0时，𝑦随𝑥的增大而增大
12. 对于二次函数𝑦=2𝑥2−3，当−1≤𝑥≤2时，𝑦的取值范围是( )
A. −1≤𝑦≤5 B. −5≤𝑦≤5 C. −3≤𝑦≤5 D. −2≤𝑦≤5
13. 已知函数𝑦=𝑥2−4𝑥−4，当函数值𝑦随𝑥的增大而减小时，𝑥的取值范围是( )
A. 𝑥<2 B. 𝑥>2 C. 𝑥>−4 D. −2<𝑥<4
14. 已知二次函数𝑦=−(𝑥−1)2+2，当𝑡<𝑥<5时，𝑦随𝑥的增大而减小，则实数𝑡的取值范围是( )
A. 𝑡≤0 B. 0<𝑡≤1 C. 1≤𝑡<5 D. 𝑡≥5
15. 已知抛物线𝑦=−(𝑥+ 1)2上的两点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，如果𝑥1<𝑥2<−1，那么下列结论成立的是( )
A. 𝑦1<𝑦2<0
B. 0<𝑦1<𝑦2 C. 0<𝑦2<𝑦1 D. 𝑦2<𝑦1<0
16. 已知二次函数𝑦=3(𝑥+2)2的图象上有三点𝐴(1,𝑦1)，𝐵(2,𝑦2)，𝐶(−3,𝑦3)，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系为( )
A. 𝑦1>𝑦2>𝑦3
B. 𝑦2>𝑦1>𝑦3 C. 𝑦3>𝑦1>𝑦2 D. 𝑦3>𝑦2>𝑦1
17. 二次函数𝑦=𝑎(𝑥−2)2+𝑐与一次函数𝑦=𝑐𝑥+𝑎在同一坐标系中的大致图象是( )
A. B. C. D.
18. 在同一坐标系内，函数𝑦=𝑘𝑥2和𝑦=𝑘𝑥+2(𝑘≠0)的图象大致为( )
A.
B. C.
D.
四.平移：
19. 把二次函数𝑦=𝑥2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 ． 20. 将抛物线𝑦=𝑥2−6𝑥+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
12A. 𝑦=(𝑥−4)2−6 B. 𝑦=(𝑥−1)2−3 C. 𝑦=(𝑥−2)2−2 D. 𝑦=(𝑥−4)2−2
21. 把二次函数𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数𝑦=
1
(𝑥+1)22
−1的图象．(1)试确定𝑎，ℎ，𝑘的值；(2)指出二次函数𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘的开口方向、对称轴和顶点
坐标．
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三. 根据二次函数图像，确定a,b,c情况
22. 在平面直角坐标系中，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，现给以下
结论：①𝑎𝑏𝑐<0；②𝑐+2𝑎<0；③9𝑎−3𝑏+𝑐=0；④𝑎−𝑏≥𝑚(𝑎𝑚+𝑏)(𝑚为实数)；⑤4𝑎𝑐−𝑏2<0．其中错误结论的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
23. 对称轴为直线𝑥=1的抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎、𝑏、𝑐为常数，且𝑎≠0)如图所示，
小明同学得出了以下结论：①𝑎𝑏𝑐<0，②𝑏2>4𝑎𝑐，③4𝑎+2𝑏+𝑐>0，④3𝑎+𝑐>0，⑤𝑎+𝑏≤𝑚(𝑎𝑚+𝑏)(𝑚为任意实数)，⑥当𝑥<−1时，𝑦随𝑥的增大而增大．其中结论正确的为( )
24. 如图，已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴相交于𝐴(−2,0)、𝐵(1,0)两点．则
以下结论：①𝑎𝑐>0；②二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象的对称轴为𝑥=−1；③2𝑎+𝑐=0；④𝑎−𝑏+𝑐>0.其中正确的有个．( )
25. 二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象如图所示，下列结论：
①𝑎𝑐<0；②3𝑎+𝑐=0；③4𝑎𝑐−𝑏2<0；④当𝑥>−1时，𝑦随𝑥的增大而减小． 其中正确的有( )
26. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)和𝐵，与𝑦轴交于点𝐶.下列
结论：①𝑎𝑏𝑐<0，②2𝑎+𝑏<0，③4𝑎−2𝑏+𝑐>0，④3𝑎+𝑐>0，其中正确的结论个数为( )
五．待定系数法
27. 已知𝐴(−1,0)，𝐵(2,3)，𝐶(3,0)，𝐷(−6,−3)，𝐸(0,4)、𝐹(6,3)用合适的待定系数法求抛物线的解析式
(1)以𝐹为顶点，且经过𝐵点； (2)经过𝐵、𝐹两点，且顶点在𝑥轴上．
(3) 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过𝐴、𝐵、𝐶三点；(4)经过点(0,−3) (4,5)对称轴为直线𝑥=1．
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六．二次函数与一元二次方程的联系
28. 若二次函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥−5的对称轴为直线𝑥=2，则关于𝑥的方程𝑥2+𝑏𝑥−5=2𝑥−13的解为______． 29. 下表是一组二次函数𝑦=𝑥2+3𝑥−5的自变量𝑥与函数值𝑦的对应值：
𝑥 𝑦 1 −1 1.1 −0.49 1.2 0.04 1.3 0.59 1.4 1.16 那么方程𝑥2+3𝑥−5=0的一个近似根是( )
A. 1 30.
B. 1.1 C. 1.2 D. 1.3
31. 抛物线𝑦=−𝑥2+4𝑥−4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
32. 若抛物线𝑦=−𝑥2−6𝑥+𝑚与𝑥轴没有交点，则𝑚的取值范围是______．
33. 若函数𝑦=(𝑎+1)𝑥2−4𝑥+2𝑎的图象与𝑥轴有且只有一个交点，则𝑎的值为______． 34. 若二次函数𝑦=𝑘𝑥2−6𝑥+3的图象与𝑥轴有交点则实数𝑘的取值范围为___________．
七.二次函数与不等式的联系：
由图象可知不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+35. 如图所示的是二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的部分图象，𝑐<0的解集是( )
A. −1<𝑥<5 B. 𝑥>5 C. 𝑥<−1且𝑥>5 D. 𝑥<−1或𝑥>5
36. 如图，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐与直线𝑦=𝑘𝑥+𝑚交于𝐴(−3,𝑦1)，𝐵(1,𝑦2)两点，则关于𝑥的不等式𝑎𝑥2+𝑐≥
−𝑘𝑥+𝑚的解集是( )
A. 𝑥≤−3或𝑥≥1 B. 𝑥≤−1或𝑥≥3 C. −3≤𝑥≤1 D. −1≤𝑥≤3
37. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐与直线𝑦=𝑚𝑥+𝑛交于𝐴(−1,𝑝)，𝐵(3,𝑞)两点，则不等式𝑎𝑥2+𝑐>
−𝑚𝑥+𝑛的解集是 ．
38. 如图是抛物线𝑦1=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)图象的一部分，抛物线的顶点是𝐴，对称轴是直线𝑥=1，且抛物线
与𝑥轴的一个交点为𝐵(4,0)；直线𝐴𝐵的解析式为𝑦2=𝑚𝑥+𝑛(𝑚≠0).下列结论： ①2𝑎+𝑏=0；②𝑎𝑏𝑐>0；③方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑚𝑥+𝑛有两个不相等的实数根；④抛物线与𝑥轴的另一个交点是(−1,0)；⑤当1<𝑥<4时，则𝑦1>𝑦2，其中正确的是( )
A. ①② B. ①③⑤ C. ①④
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D. ①④⑤
八．二次函数的应用：最值问题（面积问题+取值范围；销售问题）、抛物型问题（建立坐标系）、刹车距离
39. 如图，一块草地是长80𝑚、宽60𝑚的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为𝑥 𝑚的小路，这时草坪面积为
𝑦 𝑚2.求𝑦与𝑥的函数关系式，并写出自变量𝑥的取值范围．
40. 用一段长为40米的篱笆围成一边靠墙的草坪，墙长16米，当这个矩形的一边𝐵𝐶为多少时，草坪面积最大？
最大面积为多少．
用一段长为28𝑚的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为16𝑚，平行于墙的一面开一扇宽度为2𝑚41. 如图，
的门(门用其他材料)．
(1)若垂直于墙的一面长为10𝑚，则平行于墙的一面长为______𝑚，矩形菜园的面积为______𝑚2； (2)设垂直于墙的一面长为𝑥𝑚，矩形菜园的面积为𝑦𝑚2． ①求𝑦与𝑥之间的函数关系式；
②能否围成面积为120𝑚2的矩形菜园？若能，请求出𝑥的值；若不能，请说明理由．
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42. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价
在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？ (3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
43. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每
增加1元，销售量将减少10个．
(1)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价增加为多少元？应进货多少个？ (2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？
变式：小张摆摊销售一批小家电，进价40元，经市场考察知，销售价为52元时，可售出180个，且定价x(元)与销售减少量y(个)满足关系式y＝10(x－52),
问：(1)若他打算获利2 000元，且投资尽量少，则应进货多少个？ (2)若他想获得最大利润，则定价及进货各是多少？
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44. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，当水面下降1
米时，求水面的宽度是多少米？
45. 如图一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽(𝐴𝐵)为4𝑚时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面
2𝑚．
(1)请你在上图2中，建立适当的平面直角坐标系，使得抛物线拱桥的函数关系式符合𝑦=𝑎𝑥2+𝑐(𝑐≠0)的形式，并求出此时的函数关系式．(2)当水面下降2.5𝑚时，求水面的宽度．
46. 汽车刹车后行驶的距离𝑠(单位：𝑚)关于行驶的时间𝑡(单位：𝑠)的函数解析式是𝑠=20𝑡−5𝑡2，汽车刹车后到
停下来前进的最大距离是( )
A. 10𝑚
B. 20𝑚 C. 30𝑚 D. 40𝑚
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九.二次函数的综合题：
47. 如图，直线𝑦=𝑥+1与抛物线𝑦=𝑥2−4𝑥+5交于𝐴，𝐵两点，点𝑃是𝑦轴上的一个动点，当△𝑃𝐴𝐵的周长最
小时，𝑆△𝑃𝐴𝐵= ．
48. 如图，已知抛物线经过两点𝐴(−3,0)，𝐵(0,3)，且其对称轴为直线𝑥=−1．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点𝑃是抛物线上点𝐴与点𝐵之间的动点(不包括点𝐴，点𝐵)，求△𝑃𝐴𝐵面积的最大值，并求出此时点𝑃的坐标．
49. 如图1，已知在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦=−𝑥2−2𝑥+𝑐(𝑐>0)的图象与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，与𝑦轴
交于点𝐶.抛物线的顶点为𝐸，若点𝐵的坐标是(1,0)，点𝐷是该抛物线在第二象限图象上的一个动点．
(1)求该抛物线的解析式和顶点𝐸的坐标；
(2)设点𝐷的横坐标是𝑎，问当𝑎取何值时，四边形𝐴𝑂𝐶𝐷的面积最大；
(3)如图2，若直线𝑂𝐷的解析式是𝑦=−3𝑥，点𝑃和点𝑄分别在抛物线上和直线𝑂𝐷上，问：是否存在以点𝑃，𝑄，𝑂，𝐶为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点𝑄的坐标；若不存在，请说明理由．
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