中考数学复习专题：几何综合题

①直接写出B和ACB的度数； ②若AB=2，求AC和AH的长；

（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明． 答案：

（1）①B75，ACB45；

②作DE⊥AC交AC于点E.

Rt△ADE中，由DAC30，AD=2可得DE=1，AE3. Rt△CDE中，由ACD45，DE=1，可得EC=1. ∴AC31.

33； 2Rt△ACH中，由DAC30，可得AH

（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC

证明： 延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH. 易证△ACH ≌△AFH.

∴ACAF,HCHF. ∴GH∥BC. ∵ABAD， ∴ ABDADB. ∴ AGHAHG . ∴ AGAH.

∴ABACABAF2ABBF2ABBG2AG2AH.

2.正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转，所得射线与线段BD交于点M，作CEAM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN． （1）如图1，当045时， ①依题意补全图1．

②用等式表示NCE与BAM之间的数量关系：__________．

（2）当4590时，探究NCE与BAM之间的数量关系并加以证明． （3）当090时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．

答案：（1）①补全的图形如图7所示．

② ∠NCE=2∠BAM．

（2）当45°<α<90°时，NCE=1802BAM．

证明：如图8，连接CM，设射线AM与CD的交点为H．

∵ 四边形ABCD为正方形，

∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正方形ABCD的对称轴，

点A与点C关于直线BD对称． ∵ 射线AM与线段BD交于点M， ∴ ∠BAM=∠BCM=α． ∴ ∠1=∠2=90．

3）21∵ CE⊥AM，

∴ ∠CEH=90°，∠3+∠5=90°． 又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5， ∴ ∠1=∠3．

∴ ∠3=∠2=90．

∵ 点N与点M关于直线CE对称，

∴ ∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM．

（

3. 如图，已知AOB60，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PEOB，交OB于点E，点D在AOB内，且满足DPAOPE，DPPE6. （1）当DPPE时，求DE的长；

（2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得

DM的值不变？并证明你的判断. ME 答案：

（1）作PF⊥DE交DE于F. ∵PE⊥BO，AOB60，

o∴OPE30.

o∴DPAOPE30.

o∴EPD120. ∵DPPE,DPPE6, ∴PDE30,PDPE3.

oo∴DFPDcos3033. 2∴DE2DF33.

（2）当M点在射线OA上且满足OM23时，DM的值不变，始终为1.理由如下： ME当点P与点M不重合时，延长EP到K使得PKPD. ∵DPAOPE,OPEKPA, ∴KPADPA. ∴KPMDPM.

∵PKPD,PM是公共边, ∴△KPM≌△DPM. ∴MKMD.

作ML⊥OE于L,MN⊥EK于N. ∵MO23,MOL60，

o∴MLMOsin60o3.

∵PE⊥BO,ML⊥OE,MN⊥EK， ∴四边形MNEL为矩形. ∴ENML3.

∵EKPEPKPEPD6, ∴ENNK. ∵MN⊥EK, ∴MKME.

DM1. ∴MEMKMD,即

ME当点P与点M重合时，由上过程可知结论成立.

4. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所

在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G. （1）依题意补全图形；

（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明． 答案：（1）补全的图形如图所示.

（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.

∴∠FCG=∠ACE=α.

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°.

（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系为AEAF证明：作CH⊥AG于点H.

由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.

3CG.

∴CA=CG. ∴HG =1AG. 2∵∠ACE =∠GCF，∠CAE =∠CGF， ∴△ACE≌△GCF. ∴AE =FG.

在Rt△HCG中， HGCGcosCGH3CG. 2∴AG =3CG.即AF+AE=3CG.

5.如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE = ，点B关于CE的对称

点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.

（1）依题意补全图形；

（2）当= 30°时，直接写出∠CMA的度数；

（3）当0°<< 45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．

答案：（1）如图；

（2）45°； （3）结论：AM=2CN．

证明：作AG⊥EC的延长线于点G．

∵点B与点D关于CE对称， ∴CE是BD的垂直平分线． ∴CB=CD． ∴∠1=∠2=．

∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD． ∵∠4=90°，

∴∠3=（180°∠ACD）=（180°90°）=45°． ∴∠5=∠2+∠3=+45°-=45°． ∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG⊥EC，

∴∠G=90°=∠8． ∴在△BCN和△CAG中， ∠8=∠G， ∠7=∠6，

BC=CA，

∴△BCN≌△CAG．

∴CN=AG． ∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°， ∴AM=2AG．

∴AM=2CN．

6.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，

DQ．

（1）依题意补全图1；

（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DPDQ2AB； ②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为： ．

222

答案：（1）补全图形略 （2）①证明：

连接BD，如图2，

∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ， ∴AQAP，QAP90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴ADAB，DAB90°． ∴12．

∴△ADQ≌△ABP． ∴DQBP，Q3．

∵在RtQAP中，QQPA90°， ∴BPD3QPA90°． ∵在RtBPD中，DPBPBD， 又∵DQBP，BD2AB，

∴DPDQ2AB． ②BPAB．

7.如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF， 过点B作BG⊥CF于点G，连接AG． （1）求证：∠ABG=∠ACF；

（2）用等式表示线段CG，AG，BG之间 的等量关系，并证明．

答案：（1）证明 :

∵ ∠CAB=90°. ∵ BG⊥CF于点G， ∴ ∠BGF=∠CAB=90°.

22222222∵∠GFB=∠CFA. ∴ ∠ABG=∠ACF.

（2）CG=2AG+BG.

证明：在CG上截取CH=BG，连接AH， ∵ △ABC是等腰直角三角形， ∴ ∠CAB=90°，AB=AC. ∵ ∠ABG=∠ACH. ∴ △ABG≌△ACH. ∴ AG =AH,∠GAB=∠HAC. ∴ ∠GAH=90°.

∴ AG2AH2GH2. ∴ GH=2AG. ∴ CG=CH+GH=2AG+BG.

8.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠FAC=∠APF；

（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．

答案：（1）补全图如图所示． （2）证明∵正方形ABCD，

∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°， ∴∠PAH=45°-∠BAE． ∵FH⊥AE．

∴∠APF=45°+∠BAE． ∵BF=BE，

∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．

∴∠FAC=45°+∠BAF． ∴∠FAC=∠APF．

（3）判断：FM=PN．

证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，

∴MN=BQ，BQ⊥AE． ∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°． ∴∠BAE=∠CBQ． ∴△ABE≌△BCQ． ∴AE=BQ． ∴AE=MN． ∵∠FAC=∠APF， ∴AF=FP． ∵AF=AE， ∴AE=FP． ∴FP=MN． ∴FM=PN．

9.如图所示，点P位于等边△ABC的内部，且∠ACP=∠CBP．

(1) ∠BPC的度数为________°；

(2) 延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．

①依题意，补全图形； ②证明：AD+CD=BD；

(3) 在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．

解：(1)120°. ----------------------------2分

(2)①∵如图1所示.

D

②在等边△ABC中，ACB60， ∴ACPBCP60. ∵ACP=CBP， ∴CBPBCP60.

∴BPC180CBPBCP120.

∴CPD180BPC60. ∵PD=PC，

∴△CDP为等边三角形.

∵ACDACPACPBCP60， ∴ACDBCP. 在△ACD和△BCP中，

ACBC，ACDBCP， CDCP，∴△ACD≌△BCPSAS. ∴ADBP.

∴ADCDBPPDBD.-----------------------------------------4分 （3）如图2，作BM⊥AD于点M，BN⊥DC延长线于点N. ∵ADB=ADCPDC60，

∴ADB=CDB60.

∴ADB=CDB60.

∴BM=BN3BD3. 2又由（2）得，ADCDBD=2，

S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD11ADgBMCDgBN3ADCD 222323.2-----------------------------------7分

10.如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的

对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α

（0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，

①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）； ②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；

（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.

图1 备用图

解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分

② 0≤

LQ≤．……………………………………………………………… 2分

（2）设直线

y3x+33与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得A(33,0)，

B(0,3)．

∴ OA33，OB3，OAB30．

LQ由0≤

≤，作直线y3x．

①如图13，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心D1满足题意，其横坐标取到最大值．作D1E1x轴于点

E1，

可得D1E1∥OB，

D1E1AE1． BOAO∵ ⊙D的半径为1， ∴ D1E11．

∴ AE13，OE1OAAE123．

图13

∴

xD123．

②如图14，当⊙D与直线y3x相切时，

相应的圆心D2满足题意，其横坐标取到最小值．

作D2E2x轴于点E2，则D2E2⊥OA．

设直线y3x与直线y3x+3的交点为F． 3图14

可得AOF60，OF⊥AB．则∵ ⊙D的半径为1， ∴ D2F1．

AFOAcosOAF333922．

∴

AD2AFD2F72．

∴ AE2AD2cosOAF7373224，

OE2OAAE2534．

∴

xD2534．

由①②可得，xD的取值范围是53x≤D≤23． 4………………………………………… 5分

（3）画图见图15．

图15

2．……………………………… 7分

11.如图，在等边△ABC中， D,E分别是边AC,BC上的点，且CDCE ,DBC30 ，点C与点F关于

BD对称，连接AF,FE，FE交BD于G.

（1）连接DE,DF，则DE,DF之间的数量关系是 ；

（2）若DBC，求FEC的大小; （用的式子表示） （3）用等式表示线段BG,GF和FA之间的数量关系，并证明.

（1）DEDF； （2）解：连接DE，DF， ∵△ABC是等边三角形， ∴C60. ∵DBC， ∴BDC120. ∵点C与点F关于BD对称，

∴BDFBDC120，DFDC. ∴FDC1202. 由（1）知DEDF.

∴F，E，C在以D为圆心，DC为半径的圆上.

1∴FECFDC60.

2（3）BGGFFA.理由如下： 连接BF，延长AF，BD交于点H， ∵△ABC是等边三角形，

∴ABCBAC60，ABBCCA. ∵点C与点F关于BD对称， ∴BFBC，FBDCBD. ∴BFBA. ∴BAFBFA.

设CBD， 则ABF602. ∴BAF60. ∴FAD.

∴FADDBC. 由（2）知FEC60. ∴BGEFECDBC60. ∴FGB120，FGD60.

四边形AFGB中，AFE360FABABGFGB120. ∴HFG60.

∴△FGH是等边三角形. ∴FHFG，H60. ∵CDCE， ∴DAEB.

在△AHD与△BGE中，

AHDBGE,HADGBE, ADBE.∴△AHD△BGE. ∴BGAH.

∵AHHFFAGFFA，

∴BGGFFA．

12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE= AD，∠EAD=90°，CE交AB于点

F，CD=DF.

（1）∠CAD= 度； （2）求∠CDF的度数；

（3）用等式表示线段CD和CE之间的数量关系，并证明.

解：（1）45 ……………………………………………………………1分

（2）解：如图，连接DB.

∵ABAC，BAC90 °，M是BC的中点， ∴∠BAD=∠CAD=45°.

∴△BAD≌△CAD. ………………………………2分 ∴∠DBA=∠DCA，BD = CD. ∵CD=DF,

∴BD=DF. ………………………………………3分 ∴∠DBA=∠DFB=∠DCA. ∵∠DFB+∠DFA =180°, ∴∠DCA+∠DFA =180°. ∴∠BAC+∠CDF =180°.

∴∠CDF =90°. ………………………………………4分 （3）CE=

21CD. ……………………………………5分

证明：∵EAD90 °， ∴∠EAF=∠DAF=45°. ∵AD=AE，

∴△EAF≌△DAF. …………………………………6分

∴DF=EF.

由②可知，CF=2CD. …………………………7分 ∴CE=

21CD.

13.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，

连接EF，交对角线BD于点G，连接AG．

（1）根据题意补全图形；

（2）判定AG与EF的位置关系并证明； （3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG的长．

解：（1）图形补全后如图…………………1分

（2）结论：AG⊥EF． …………………2分

证明：连接FD，过F点FM∥BC，交BD的延长线于点M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA=DC=BC，∠DAB=∠ABE=∠ADC=90°， ∠ADB=∠5=45°．

∵线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF， ∴AE=AF，∠FAE=90°． ∴∠1=∠2．

∴△FDA≌△EBA． …………………3分 ∴∠FDA=∠EBA=90°，FD=BE． ∵∠ADC=90°， ∴∠FDA+∠ADC=180°。

∴点F、D、C三点共线． ∴∠ADB=∠3=45°． ∵FM∥BC， ∴∠4=∠5=45°， ∴FM=FD， ∴FM=BE．

∵∠FGM=∠EGB，FM=BE，∠4=∠5， ∴△FMG≌△EGB． ∴FG=EG． ∵AE=AF，

∴AG⊥FE． ………………4分

（3） 解：如图，DB与FE交于点G．

∵AB=3，BE=2， ∴DC=3，CE=1，FD=2． ∴Rt△DAB中，DB=32． ∵四边形ABCD是正方形， ∴DH∥BC，

DH2∴DHFD，即，

15CEFC∴DH=

y 2. 52DGDH32BG5∴，即， BGBEBG2∴BG=

52. ………………7分 2x

14.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．

（1）若点N是线段MB的中点，如图1．

① 依题意补全图1； ② 求DP的长；

（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ=DP，求

CE的长．

解：（1）①如图1，补全图形. ………………… 1分

② 连接AD，如图2.

在Rt△ABN中,

备用图

∵∠B=90°，AB=4，BN=1， ∴AN17.

∵线段AN平移得到线段DM， ∴DM=AN=17，

AD=NM=1，AD∥MC，

∴△ADP∽△CMP. ∴

DPMPADMC12. ∴DP173.………………… 3分 图2

（2）连接NQ，如图3.

由平移知：AN∥DM，且AN=DM. ∵MQDP， ∴PQDM.

∴AN∥PQ，且AN=PQ. ∴四边形ANQP是平行四边形. ∴NQ∥AP.

∴BQNBAC45.

图2

1图

又∵NBQABC90， ∴BNBQ. ∵AN∥MQ， ∴

ABBQNBBM. 又∵M是BC的中点，且ABBC4， ∴

4NBNB2. ∴NB22(舍负). ∴MEBN22.

∴CE222.………………… 7分 （2）法二，连接AD，如图4. 设CE长为x，

∵线段AB移动到得到线段DE， ∴ADBEx4，AD∥BM. ∴△ADP∽△CMP. ∴

DPAD4xMPMC2. ∵MQ=DP， ∴

MQDP4xQD2DPMP102x. ∵△QBM∽△QAD， ∴

MQQDBM2AD4x. 解得x222.

∴CE222. 图4

………………… 7分

15.如图，在△ABC中，AB=AC>BC，BD 是AC边上的高，点C关于直线BD的对称点为点E，连接BE.

（1） ①依题意补全图形；

②若∠BAC=，求∠DBE的大小（用含的式子表示）； （2） 若DE=2AE，点F是BE中点，连接AF，BD=4，求AF的长.

（1）解：①如图． ……………………… 1分

②∵ AB=AC，∠BAC=，

∴ ∠ABC=∠ACB=90°-．

12∵点C关于直线BD的对称点为点E，BD 是AC边上的高.

∴ BD⊥CE，CD=DE． ∴ BE=BC．

∴ ∠BEC=∠ACB=90°-． …………………… 2分

12∴∠DBE=．……………… 3分

12

（2）解：作FG⊥AC于G， ∵BD⊥CE，∴FG∥BD

∵点F是BE中点，∴EG=DG．∴FG=1BD…………4分 2∵DE=2AE，∴AE=EG=DG．……………… 5分 设AE=EG=DG=x，则CD=DE=2x，AC=5x，∴AB=AC=5x．

∴BD=4x． ∵BD=4，∴x =1．……………… 6分 ∴AG=2．

∵FG=1BD=2， 2∴AF=22．……………… 7分