中考数学复习专题：几何综合题含答案解析

几何综合题

AD 的延伸线于点 H．

1.已知△ ABC中， AD 是 BAC 的均分线，且 AD=AB， 过点 C 作 AD 的垂线，交

（ 1）如图 1，若 BAC 60 ①直接写出 B

和 ACB的度数；②若 AB=2，求

AC和 AH 的长；

（ 2）如图 2，用等式表示线段 AH 与 AB+AC之间的数目关系，并证明．

答案：

（ 1）① B 75， ACB 45；

②作 DE⊥AC交 AC于点 E.

Rt△ ADE 中，由 DAC 30 ， AD=2 可得 DE=1， AE 3 .

Rt△ CDE中，由 ACD 45 ， DE=1，可得 EC=1.

∴ AC 31.

Rt△ ACH中，由 DAC 30 ，可得 AH

3

2

3 ；

（ 2）线段 AH 与 AB+AC之间的数目关系： 2AH=AB+AC

证明： 延伸 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 中点 G，连结

易证△ ACH ≌△ AFH.

∴ AC

AF,HC HF.

∴ GH∥BC .

∵ AB AD，

∴ ABDADB .

∴

AGHAHG .

∴ AG AH.

∴ AB

AC AB AF 2AB BF 2 AB BG 2AG 2AH .

2.正方形 ABCD 的边长为 2 ，将射线 AB 绕点 A 顺时针旋转 ，所得射线与线段点 N 与点 M 对于直线 CE 对称，连结 CN ．

（ 1）如图 1，当 0

45 时，

①依题意补全图 1．

②用等式表示

NCE 与 BAM 之间的数目关系： __________ ．

2

（）当45

90 时，研究 NCE 与 BAM 之间的数目关系并加以证明．

（ 3）当 0

90 时，若边 AD 的中点为 F ，直接写出线段 EF 长的最大值．

A

B

A

B

M

D

图1C D

C

备用图

答案：（ 1）①补全的图形如图 7 所示．

② ∠ NCE=2∠ BAM．

（ 2）当 45°<α<90°时，

NCE=180 2 BAM ．

证明：如图 8，连结 CM，设射线 AM 与 CD 的交点为 H．

∵ 四边形 ABCD为正方形，

BD 交于点 M ，作GH.

CE

AM 于点 E，

∴ ∠ BAD=∠ADC=∠ BCD=90°，直线 BD 为正方形

ABCD的对称轴，

（3） 2 点 A 与点 C 对于直线 BD 对称．

∵ 射线 AM 与线段 BD 交于点 M， ∴ ∠ BAM=∠BCM=α． ∴ ∠ 1=∠2= 90

．

∵ CE⊥ AM，

∴ ∠ CEH=90°，∠ 3+∠ 5=90°．

又∵∠ 1+∠ 4=90°，∠ 4=∠ 5，

∴ ∠ 1=∠3．

∴ ∠ 3=∠2= 90

．

∵ 点 N 与点 M 对于直线

CE对称，

∴ ∠ NCE=∠MCE=∠2+∠ 3=180 2

BAM ．

1

3. 如图，已知 内，且知足

AOB 60 ，点 P 为射线 DPA

OPE ， DP PE

OA 上的一个动点， 过点 P 作 PE OB，交OB于点 E，点D在 AOB 6 .

（ 1）当 DP

PE 时，求 DE 的长；

（ 2）在点 P 的运动过程中， 请判断能否存在一个定点

M ，

使得

DM

ME

的值不变并

证明你的判断 .

P

A

D

答案：

（ 1）作 PF⊥DE交DE于F.

∵ PE ⊥ BO ，

AOB 60o ，

O E

B

∴ ∴ ∴

OPE 30o. DPA OPE 30o. EPD 120o .

PE,DP

o

P

A

∵ DP

PE 6 ,

D

F

∴ PDE 30

,PD PE 3.

O

E

B

∴ DF PD cos30

3 2

3 .

∴DE

2DF 3 3.

（ 2）当 M 点在射线 OA 上且知足 OM

2 3 时，

DM

ME

的值不变，始

终为 1.原因以下：

K

A

当点 P 与点 M 不重合时，延伸

EP到 K 使得 PK PD.

D

P

M

∵ DPA OPE, OPE

KPA ,

N

O

L E B

∴ KPA DPA. ∴

KPMDPM .

∵ PK PD , PM 是公共边 ,

∴ △KPM ≌ △DPM .

∴ MK MD.

作ML⊥OE于L,MN⊥EK于N.

∵ MO 2 3, MOL 60o ，

∴ ML MO sin60

o

3.

∵ PE⊥BO,ML⊥OE ,MN ⊥EK ，

∴四边形 MNEL 为矩形 .

∴ EN ML 3.

∵EK

PE PK PE PD 6,

∴ EN NK.

∵ MN ⊥EK,

∴ MK ME.

∴ ME MK MD ,即

DM

1.

ME

当点 P 与点 M 重合时，由上过程可知结论建立

.

4. 如图，在菱形 ABCD中，∠ DAB=60°，点 E 为 AB 边上一动点（与点 A，B 不重合），连结

CE，将∠

所在射线 CE， CA以点 C 为中心，顺时针旋转 120°，分别交射线

AD 于点 F， G.

（ 1）依题意补全图形；

（ 2）若∠ ACE=α，求∠ AFC 的大小（用含 α的式子表示）；

（ 3）用等式表示线段 AE、AF 与 CG之间的数目关系，并证明．

答案：（ 1）补全的图形以下图

.

ACE的两边

（ 2）解：由题意可知，∠ ECF=∠ ACG=120°.

∴∠ FCG=∠ ACE=α.

∵四边形 ABCD是菱形，∠ DAB=60°，

∴∠ DAC=∠ BAC= 30 °. ∴∠ AGC=30°.

∴∠ AFC =α+30°.

（ 3）用等式表示线段 AE、AF 与 CG之间的数目关系为 AE

AF 3CG .

证明：作 CH⊥ AG 于点 H.

由（ 2）可知∠ BAC=∠ DAC=∠ AGC=30°.

∴ CA=CG. ∴ HG = AG.

1

2

∵∠ ACE =∠ GCF，∠ CAE =∠ CGF，

∴△ ACE≌△ GCF.

∴ AE =FG.

在 Rt△HCG 中，

HG CG cos CGH

3 2

CG

.

∴ AG = 3 CG.即 AF+AE= 3 CG.

5.如图， Rt△ ABC中，∠ ACB = 90°， CA = CB，过点 C 在△ ABC 外作射线 CE，且∠ BCE= ，点 B 对于 CE的对称点

为点 D，连结 AD， BD， CD，此中 AD， BD 分别交射线 CE于点 M ， N.

（ 1）依题意补全图形；

（ 2）当

= 30°时，直接写出∠ CMA 的度数；

AM ， CN之间的数目关系，并证明．

（ 3）当 0°< < 45°时，用等式表示线段

C

E

A B

答案：（ 1）如图；

（ 2） 45°；

（ 3）结论： AM = 2 CN．

证明：作 AG⊥ EC的延伸线于点 G．

∵点 B 与点 D 对于 CE对称， ∴ CE是 BD 的垂直均分线． ∴ CB=CD． ∴∠ 1=∠ 2= ．

∵ CA=CB，∴ CA=CD．∴∠ 3=∠CAD． ∵∠ 4=90°，

∴∠ 3= （180° ∠ ACD） = （ 180° 90°

11

2

）=45°．

2

∴∠ 5=∠ 2+∠ 3= +45° - =45°． ∵∠ 4=90 °， CE是 BD 的垂直均分线， ∴∠ 1+∠ 7=90°，∠ 1+∠ 6=90°． ∴∠ 6=∠ 7．

∵ AG⊥ EC，

∴∠ G=90° =∠ 8．

∴在△ BCN 和△ CAG中，

∠ 8=∠ G， ∠ 7=∠ 6， BC=CA，

∴△ BCN≌△ CAG． ∴ CN=AG．

∵ Rt△AMG 中，∠ G=90°，∠ 5=45°， ∴AM= 2 AG．

∴ AM= 2 CN．

6.在正方形 ABCD中， M 是 BC边上一点，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°获得线段 AQ，连结

BP， DQ．

（ 1）依题意补全图 1；

（ 2）①连结 DP ，若点 P，Q， D 恰幸亏同一条直线上，求证：DP 2

②若点 P， Q，C 恰幸亏同一条直线上，则

DQ 2 2AB2 ；

．

BP 与 AB 的数目关系为：

答案：（ 1）补全图形略

（2 ）①证明：

连结 BD ，如图 2，

∵线段 AP绕点 A顺时针旋转 90°获得线段 AQ ，

∴ AQ AP ， QAP 90°． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD

AB ， DAB 90°．

∴ 12．

∴△ ADQ ≌△ ABP．

∴ DQ BP ， Q 3 ． Q

∵在 Rt QAP 中， ∴ BPD

， QPA 90°

3 ． QPA 90°

∵在 Rt BPD 中， DP 2 又∵ DQ ∴DP2

② BP AB．

BP2 BD 2，

BP ， BD2 2AB2 ， DQ2 2AB2 ．

7.如图，在等腰直角△ ABC中，∠ CAB=90°， F 是 AB 边上一点，作射线 CF，

过点 B 作 BG⊥ CF 于点 G，连结 AG． （ 1）求证：∠ ABG=∠ ACF；

（ 2）用等式表示线段 CG， AG，BG 之间 的等量关系，并证明．

答案：（ 1）证明 :

∵ ∠ CAB=90° . ∵ BG⊥CF于点 G， ∴ ∠ BGF=∠

CAB=90°. ∵∠ GFB=∠ CFA. ∴ ∠ ABG=∠ ACF.

（ 2） CG= 2 AG+BG.

证明：在 CG上截取 CH=BG，连结 AH， ∵

△ ABC是等腰直角三角形，

∴ ∠ CAB=90°， AB=AC. ∵ ∠ ABG=∠ ACH. ∴ △ ABG≌△ ACH.

∴ AG =AH,∠ GAB=∠ HAC. ∴ ∠ GAH=90° . ∴ AG2

AH2 GH2.

∴ CG=CH+GH= 2 AG+BG.

∴ GH= 2 AG.

8.如图，在正方形 ABCD中， E 是 BC 边上一点，连结

CB 至点 F，使 BF=BE，过点 F 作 FH⊥ AE于点 H，

AE，延伸 射

连结 AF．

线 FH 分别交 AB、CD于点 M 、N，交对角线 AC 于点 P，

（ 1）依题意补全图形；

A

D

（ 2）求证：∠ FAC=∠ APF；

（ 3）判断线段 FM 与 PN 的数目关系，并加以证明．

B

C

E

答案：（ 1）补全图以下图．

（ 2）证明∵正方形 ABCD，

∴∠ BAC=∠ BCA=45°，∠ ABC=90°， ∴∠ PAH=45°-∠ BAE．

A

D

∵ FH⊥ AE．

MHN

P

F

B E

C

∴∠ APF=45° +∠BAE．

∵ BF=BE，

∴ AF=AE，∠ BAF=∠ BAE．

∴∠ FAC=45° +∠BAF．

∴ ∠ FAC=∠ APF．

（ 3）判断： FM=PN．

证明：过 B 作 BQ∥ MN 交 CD 于点 Q，

∴ MN=BQ，BQ⊥ AE． ∵正方形 ABCD，

∴ AB=BC， ∠ ABC=∠BCD=90°．

∴ ∠ BAE=∠ CBQ．

∴△ ABE≌△ BCQ．

∴ AE=BQ．

∴ AE=MN ．

∵ ∠ FAC=∠ APF，

∴ AF=FP． ∵ AF=AE， ∴ AE=FP． ∴ FP=MN ．

∴ FM=PN．

9.以下图，点

P 位于等边 △ABC 的内部，且∠ ACP=∠CBP．

(1) ∠ BPC的度数为 ________ °；

(2) 延伸 BP 至点 D，使得 PD=PC，连结 AD， CD．

①依题意，补全图形；②证明： AD+CD=BD；

(3) 在 (2)的条件下，若 BD 的长为 2，求四边形 ABCD的面积．

A

D

N

P

Q

M

H

F

B E

C

解： (1)120 ° . ----------------------------2 分

D

(2)①∵如图 1 所示 . ②在等边 △ABC 中，

ACB

60 ，

∴

ACPBCP 60 . ACP= CBP， CBPBCP 60 . BPC 180

CBP

BCP

120 .

∵

∴

∴

∴ CPD 180

BPC 60 .

∵ PD =PC，

∴ △CDP 为等边三角形 .

∵

ACD ACD

ACP

BCP.

ACP BCP 60 ，

∴

在 △ACD 和 △BCP中，

AC BC， ACD

BCP，

CD CP，

∴ △ACD≌△ BCP SAS .

∴ AD BP.

∴AD CD BP PD BD. ----------------------------------------- 4 分

（ 3）如图 2，作 BM ⊥ AD 于点 M ， BN⊥DC 延伸线于点 N .

∵

ADB = ADC PDC 60 ，

∴

ADB = CDB 60 .

∴

ADB = CDB 60 .

∴BM=BN

3

2

BD3.

又由（ 2）得， AD

CD + △

S

BD=2，

= △

S

S

BCD

1 2 1 2

AD gBMCD gBN

3 AD CD 2

3 2 2

3.

7 分

10.如图 1，在等边三角形 ABC 中， CD 为中线，点 Q 在线段 CD 上运动，将线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转，使得点 A 的对应点

E 落在射线 BC 上，连结 BQ，设∠ DAQ=α

（ 0°＜ α＜60°且 α≠ 30°） .

（ 1）当 0°＜α＜ 30°时，

①在图 1 中依题意画出图形，并求∠

BQE（用含 α的式子表示） ；

②研究线段 CE， AC， CQ之间的数目关系，并加以证明；

（ 2）当 30°＜α＜ 60°时，直接写出线段

CE， AC， CQ之间的数目关系 .

图1 备用图

解：（ 1）① 3 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分

② 0 ≤

LQ

≤ 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2 分

y

（ 2） 直

3 3

x +3

与 x ， y 的交点分 点

A，点 B，可得

A(3

3,0) ，

B(0,3) ．

∴ OA 3 3，OB 3， OAB 30 ．

由0≤

LQ

≤

3 ，作直

y

3x ．

①如 13，当⊙ D 与 x 相切 ，相 的 心

取到最大 ．作 D1E1

D1 足 意，其横坐

x 于点 E1 ，

可得 D1E1 ∥ OB，

D1E1AE

1

．

BO

1，

AO

∵ ⊙D 的半径

∴

DE

1

1

1．

13

∴ AE1

3，OE1 OA AE1 2 3 ．

x

∴

D1

2 3 ．

②如 14，当⊙ D 与直 y

3x 相切 ，

相 的 心

D2 足 意，其横坐 取到最小 ．

作 D2 E2

x 于点 E2 ， D2 E2 ⊥ OA．

直 y

3x 与直 y

3 x+3 的交点 3 AF

OA cos OAF

14

F．

3 3

3 9 2

2 ．

可得 AOF

60

，OF⊥ AB．

∵ ⊙D 的半径

1，

∴

DF 1

2

．

7 2 ．

AD 2 AF D2F

∴

7

3 2

7 3 4

，

∴ AE2 AD2 cos OAF 2

OE2

5 3

OA AE2

4 ．

x

5 3

D2

∴

4 ．

由①②可得，

xD 的取 范 是

5 3 4

≤xD≤2 3．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5 分

（ 3）画

15．

15

2

．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分

11.如 ，在等 △ ABC 中， D , E 分 是 AC, BC 上的点，且 CD

CE , DBC 30 ，点 C 与点 F 对于 BD

称， 接 AF,FE ， FE 交 BD于 G .

（ 1） 接 DE, DF ， DE, DF 之 的数目关系是

；

（2）若

DBC

，求

FEC 的大小;

A

（用 的式子表

示）

（ 3）用等式表示 段

BG, GF 和 FA 之 的数目关

F

系，并 明 .

G

D

B

E

C

（1） DE DF ；

（ 2）解：连结 DE ， DF ，

∵ △ABC 是等边三角形， ∴C60.

∵ DBC

，

∴ BDC 120.

∵点 C 与点 F 对于 BD对称， ∴ BDF

BDC 120 ， DF DC .

∴ FDC 120 2 .

由（ 1）知 DE DF .

∴ F ， E，C 在以 D 为圆心， DC 为半径的圆上 .

∴ FEC1

FDC 60

.

2

（ 3） BG GF FA.原因以下：

连结 BF ，延伸 AF ， BD交于点 H ，

∵ △ABC 是等边三角形，

∴ ABC

BAC 60 ， AB BC CA.

∵点 C 与点 F 对于 BD对称，

∴ BF BC ， FBD CBD.

A

F

G

D

B

E

C

∴ BF BA.

∴ BAF BFA.

设 CBD

，

则ABF 60 2.

∴ BAF

60 .

∴ FAD

.

∴ FAD

DBC .

由（ 2）知 FEC

60 .

∴ BGE

FEC DBC 60

∴ FGB 120 ， FGD 60 .

四边形 AFGB 中，

AFE 360

∴ HFG 60 .

∴ △FGH 是等边三角形 .

∴FH

FG， H 60 .

∵ CD CE，

∴ DA EB.

在 △AHD 与 △BGE 中，

AHD BGE , HAD GBE ,

AD

BE.

∴ △AHD △BGE .

∴ BG AH.

∵ AH HF FA GF FA，

∴ BG GF FA．

FABABG

A

F

D

H

G

B

E

C

FGB 120 .

.

12.如 ，在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90 °，M 是 BC的中点，延

AM 到点 D，AE= AD，∠ EAD=90 °，CE交 AB 于点

F， CD=DF. （ 1）∠ CAD=

度；

（ 2）求∠ CDF的度数；

（ 3）用等式表示 段

CD 和 CE 之 的数目关系，并 明

解：（ 1） 45 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（ 2）解：如 ， 接 DB.

∵ AB AC， BAC 90 °， M 是 BC的中点，∴∠ BAD=∠ CAD=45°.

∴△ BAD≌△ CAD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ∴∠ DBA=∠ DCA， BD = CD. ∵ CD=DF,

∴ BD=DF. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ∴∠ DBA=∠ DFB=∠DCA. ∵∠ DFB+∠ DFA =180 °, ∴∠ DCA+∠ DFA =180 °. ∴∠ BAC+∠ CDF =180 °.

∴∠ CDF =90 °.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（3） CE= 2 1 CD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

明：∵ EAD 90 °，

.

1 分

2 分

3 分

4 分

5 分

∴∠ EAF=∠ DAF=45°.

∵ AD=AE，

∴△ EAF≌△ DAF. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6 分

∴ DF=EF.

由②可知， CF= 2CD.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分

∴CE=

2 1 CD.

13.如图，正方形 ABCD中，点 E 是 BC边上的一个动点，连结

AE，将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转连结 EF，交对角线 BD 于点 G，连结 AG．

D

（ 1）依据题意补全图形；

C

（ 2）判断 AG 与 EF的地点关系并证明； E

（3）当 AB = 3，BE= 2 时，求线段 BG的长．

A B

解：（

1） 形 全后如

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

F

D

C

G

E

A B

（2） ： AG⊥ EF．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

明： 接

FD， F 点 FM∥ BC，交 BD 的延 于点 M．

∵四 形

ABCD是正方形，

∴ AB=DA=DC=BC，∠ DAB=∠ ABE=∠ ADC=90°， ∠ ADB=∠ 5=45°．

∵ 段 AE 点 A 逆 旋 90°，获得 AF，

90°，获得 AF，

∴ AE=AF，∠

FAE=90°． ∴∠ 1=∠ 2．

∴△ FDA≌△ EBA．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

∴∠ FDA=∠ EBA=90°， FD=BE．

∵∠ ADC=90°，

∴∠ FDA+∠ ADC=180°。

∴点 F、D、 C 三点共 ．

∴∠ ADB=∠ 3=45°．

∵ FM∥ BC， ∴∠ 4=∠ 5=45°， ∴ FM=FD， ∴ FM=BE．

∵∠ FGM=∠ EGB，FM=BE，∠ 4=∠ 5，∴△ FMG≌△ EGB．

∴ FG=EG． ∵ AE=AF， ∴ AG⊥ FE．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

3） 解：如 ， DB 与 FE 交于点 G．

∵ AB=3， BE=2，

∴ DC=3，CE=1， FD=2．

∴ Rt△DAB 中， DB=3

2 ．

∵四 形

ABCD是正方形，

∴ DH∥ BC，

∴ DH FD ，即 DH

2 ， CE

FC

1

5

∴ DH=2

.

5

2

∴ DG DH，即3

2 BG 5 ， BG BE

BG

2

y

x

（

∴ BG=

52

. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

2

14.在△ ABC中，∠ ABC=90°， AB=BC=4，点 M 是 段 BC 的中点，点 N 在射 MB 上， 接 AN，平移△ ABN，使点 N 移 到点

M，获得△ DEM（点 D 与点 A ，点 E 与点 B ），DM 交 AC 于点 P．

（ 1）若点 N 是 段 MB 的中点，如 1．

① 依 意 全 1； ② 求 DP 的 ；

（ 2）若点 N 在 段 MB 的延 上，射

DM 与射 AB 交于点 Q，若 MQ=DP，求

A

CE的 ．

A

N B

M

C

B

解：（ 1）①如 1， 全 形 .

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

N M

C

② 接 AD，如 2. 在 Rt△ ABN 中 ,

1

用

∵∠ B=90°， AB=4，BN=1，

∴ AN17.

∵ 段 AN 平移获得 段

DM ，

∴ DM=AN= 17 ，

AD=NM =1， AD∥MC， ∴△ ADP∽△ CMP.

∴DP AD 1. MPMC2

∴ DP

17 3

.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 3

2

（ 2） 接 NQ ，如 3.

由平移知： AN ∥ DM ，且 AN = DM .

∵ MQ DP， ∴PQ DM .

A

∴ AN∥ PQ，且 AN=PQ. ∴四 形 ANQP 是平行四 形 .

D

P

B

MC E

∴NQ∥AP.

N

∴ BQN BAC 45 . 又∵

NBQ

ABC

90 ，

∴ BN BQ.

∵ AN∥ MQ ，

∴

AB NBBQ BM.

又∵ M 是 BC 的中点，且 AB BC4 NB ∴

.

NB

2

∴ NB 2 2 (舍 ). ∴ ME

BN

2 2 .

∴ CE

2 2

2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 7

（ 2）法二， 接 AD，如 4. CEx，

∵ 段 AB 移 到获得 段 DE，∴ AD BE x 4 ， AD∥BM.

∴△ ADP∽△ CMP.

∴

DP AD 4 x MP MC.

2

∵ MQ=DP，

∴ MQ

DP

4 x . QD

2DP MP

10 2 x

∵△ QBM∽△ QAD，

Q 2

A D4 ，

P

N

B

MC E

Q

4

∴ MQ

BM 2 . QD AD 4 x

解得 x 2 2 2 . ∴ CE

2 2 2 .

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 7

15.如 ，在△ ABC中， AB=AC>BC， BD 是 AC 上的高，点

C 对于直 BD 的 称点 点 （ 1） ①依 意 全 形；

②若∠ BAC= ，求∠ DBE 的大小（用含

的式子表示）；

（ 2） 若 DE=2AE，点 F 是 BE中点， 接 AF， BD=4，求 AF 的 .

A

A

D

D

B

B

C

C

（ 1）解：①如 ．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

A

E

E， 接 BE.

②∵ AB=AC，∠ BAC= ，

∴ ∠ ABC=∠ ACB=90°- 1

．

2

∵点 C 对于直

BD 的 称点 点

E， BD 是 AC 上的高 .∴ BD⊥CE， CD=DE． ∴ BE=BC．

∴ ∠ BEC=∠ACB=90°- 1

． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

2

∴ ∠ DBE=1

． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

2

（ 2）解：作 FG⊥AC于 G，

∵ BD⊥ CE，∴ FG∥BD

∵点 F 是 BE中点，

∴ EG DG=

．

1 ∴ FG=

BD ⋯⋯⋯⋯4分 2

∵ DE=2AE，

EG DG． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分

∴AE= =

EG DG=x， CD DE=2x， AC=5x， 5x． AE=

=

=

∴ AB=AC=

x． ∵ ， ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

∴ BD=4

BD=4 ∴x =1

∴ AG=2．

∵

1

FG=

BD =2，

2

A

E

F

G

B

D

C

∴ AF=2 2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分