陕西省黄陵中学2018-2019学年上学期开学考试
高二（重点班）数学试题
一、选择题(共12小题，每小题5.0分,共60分) 1.函数y＝2cos2
(x－)－1是( ) A． 最小正周期为π的奇函数 B． 最小正周期为的奇函数 C． 最小正周期为π的偶函数 D． 最小正周期为的偶函数
2.在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为( A． B． C． D．
3.已知α＋β＝π，则(1－tanα)(1－tanβ)等于( ) A． 2 B． －2 C． 1 D． －1 4.化简cosx＋
sinx等于( )
A． 2cos(－x) B． 2cos(－x) C． 2cos(＋x) D． 2cos(＋x)
)
5.已知α，β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则cosβ的值为( ) A． B． C． －
D．
6.若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sinθ等于( )
A． B． C． D．
7.已知f(x)＝cosx·cos 2x·cos 4x，若f(α)＝，则角α不可能等于( A． B． C． D．
8.设f(tanx)＝tan 2x，则f(2)等于( ) A． 4 B． C． － D． －
9.已知tanθ＝2，则2sin2θ＋sinθcosθ－cos2θ等于( ) A． － B． －
) C． D．
10.为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )
A． 向右平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度 C． 向左平移个单位长度 D． 向左平移个单位长度
11.在直角坐标系中，若α与β的终边关于y轴对称，则下列各式成立的是( A． sinα＝sinβ B． cosα＝cosβ C． tanα＝tanβ D． 以上都不对 12.函数f(x)＝的定义域为( )
A． B．
C．
D．
分卷II
二、填空题(共4小题，每小题5.0分,共20分) 13.已知△ABC中，∠A＝120°，则sinB＋sinC的最大值为________． 14.计算：tan 15°＝________.
15.设α为第四象限角，且＝，则tan 2α＝________.
16.已知△ABC中，
tanAtanB－tanA－tanB＝
，则C的大小为________．三、解答题(共6小题,22题10分。其余12分，共70分)
)
17.计算下列各式的值． (1)tan 15°＋tan 75°； (2)
18.已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值． 19.已知sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，求cos(α－β)和sin(α＋β)的值．
20.已知sin(2α＋β)＝5sinβ，求证：2tan(α＋β)＝3tanα.
21..已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.
22．(本小题满分12分)已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝25，且c∥a，求c； (2)若|b|＝
5
，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角． 2.
陕西省黄陵中学2018-2019学年上学期开学考试
高二（重点班）数学试题参
1.【答案】A
【解析】y＝2cos(x－)－1＝cos(2x－)＝sin 2x，所以是最小正周期为π的奇函数． 2.【答案】B
【解析】∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝∴tanA＋tanB＝
(1－tanA·tanB)＝
，
＝
，
2
解得tanA·tanB＝.故选B. 3.【答案】A
【解析】∵－1＝tan(α＋β)＝∴tanα＋tanβ＝－1＋tanαtanβ.
∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2. 4.【答案】B 【解析】＝2
cosx＋
sinx＝2
(cosx＋sinx) cos(－x)．
，
(coscosx＋sinsinx)＝2
5.【答案】A
【解析】因为α，β为锐角，且cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝. 又tan(α－β)＝
＝
＝－，所以tanβ＝，即
＝，
因为β为锐角，所以13cosβ＝9整理得cosβ＝6.【答案】D
.
，
【解析】由θ∈[，]，可得2θ∈[，π]，cos 2θ＝－7.【答案】B
【解析】f(x)＝cosx·cos 2x·cos 4x
＝－，sinθ＝＝.
＝＝，由f(α)＝，可得
sin 8α＝sinα，经验证，α＝时，上式不成立． 8.【答案】D
【解析】∵f(tanx)＝tan 2x＝∴f(2)＝
＝－.
，
9.【答案】D
【解析】∵tanθ＝2， ∴原式＝10.【答案】B 【解析】y＝sin＝cos
＝cos
＝cos
＝cos 2
.
＝
＝
＝.
11.【答案】A
【解析】∵α、β终边关于y轴对称，设角α终边上一点P(x，y)， 则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，
且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则P′(－x，y)在β的终边上， 由三角函数的定义得sinα＝，sinβ＝， ∴sinα＝sinβ. 12.【答案】B
【解析】由题意得1－tanx≥0，∴tanx≤1， 又y＝tanx的定义域为(kπ－，kπ＋)， ∴该函数的定义域为
13.【答案】1
【解析】由∠A＝120°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，得sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B) ＝cosB＋sinB＝sin(60°＋B)．显然当∠B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.
.
14.【答案】2－
＝2－
.
【解析】tan 15°＝tan(45°－30°)＝
15.【答案】－ 【解析】因为＝＝＝
2
＝
2
＝4cosα－1＝2(2cosα－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝，所以cos 2α＝.
又α是第四象限角，所以sin 2α＝－，tan 2α＝－. 16.【答案】 【解析】依题意：
＝－
，即tan(A＋B)＝－
，
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝π－A－B＝.
17.【答案】(1)tan 15°＋tan 75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)＝＝
＋
＝
＋
＝4.
＋
(2)原式＝tan(41°＋19°)＝tan 60°＝【解析】
.
18.【答案】因为＜β＜α＜，所以π＜α＋β＜，0＜α－β＜.
所以sin(α－β)＝cos(α＋β)＝－＝－
＝－，
＝＝.
则sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝
×＋
×＝－.
2
2
19.【答案】解 将已知等式两边平方，得sinα－2sinαsinβ＋sinβ＝，① cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝.②
①＋②，得2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝， 将已知等式两边分别相乘，得
sinαcosα＋sinβcosβ－sinαcosβ－cosαsinβ＝－， ∴(sin 2α＋sin 2β)－sin(α＋β)＝－， ∴sin(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)＝－， ∴sin(α＋β)＝.
20.【答案】∵2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，
∴sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα， 而5sinβ＝5sin[(α＋β)－α]＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα.
由已知得sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα. ∴2sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα，
等式两边都除以cos(α＋β)cosα，得2tan(α＋β)＝3tanα. 【解析】
21.【答案】方法一 由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜. 又∵cos(α－β)＝，cosα＝， ∴sin(α－β)＝
＝
＝
.
sinα＝＝＝，
由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝×＋
×
＝，∴β＝.
方法二 由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜. 又∵cos(α－β)＝，cosα＝ ∴sin(α－β)＝sinα＝
＝
＝＝，
＝
.
由β＝α－(α－β)，得sinβ＝sin[α－(α－β)] ＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β) ＝
×－×
＝，
∴β＝.
22【解】 (1)∵c∥a，∴设c＝λa，
则c＝(λ，2λ)． 又|c|＝25，∴λ＝±2， ∴c＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)， ∴(a＋2b)·(2a－b)＝0. ∵|a|＝5，|b|＝
55，∴a·b＝－， 22
a·b∴cos θ＝＝－1，
|a||b|
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.
