概率论与数理统计期末考试试卷答案汇总

《概率论与数理统计》

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A，B为二事件，则A试卷A

B

B

A、AB B、AB C、AB D、A2、设A，B，C表示三个事件，则ABC表示

A、A，B，C中有一个发生 B、A，B，C中恰有两个发生

C、A，B，C中不多于一个发生 D、A，B，C都不发生 3、A、B为两事件，若P(AB)0.8，P(A)0.2，P(B)0.4，则成立

A、P(AB)0.32 B、P(AB)0.2 C、P(BA)0.4 D、P(BA)0.48 4、设A，B为任二事件，则

B)P(A)P(B)

A、P(AB)P(A)P(B) B、P(AC、P(AB)P(A)P(B) D、P(A)P(AB)P(AB) 5、设事件A与B相互，则下列说法错误的是

A、A与B B、A与B C、P(AB)P(A)P(B) D、A与B一定互斥 6、设离散型随机变量X的分布列为

X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 其分布函数为F(x)，则F(3)

A、0 B、0.3 C、0.8 D、1



cx4,x[0,1]7、设离散型随机变量X的密度函数为f(x) ，则常数c其它0,11A、 B、 C、4 D、5

541x28、设X～N(0,1)，密度函数(x)e，则(x)的最大值是2A、0 B、1 C、2



11 D、

22，则下式成立的是

3k3e,k0,1,2,9、设随机变量X可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为p(k;3)k!1 44页 第页共



A、EXDX3 B、EXDX13 C、EX3,DX13 D、EX13,DX9 10、设X服从二项分布B(n,p),则有

A、E(2X1)2np B、D(2X1)4np(1p)1 C、E(2X1)4np1 D、D(2X1)4np(1p)

11、随机变量X,Y，若X～N(1,4)，Y～N(3,16)，下式中不成立的是

A、EXY4 B、EXY3 C、DXY12 D、EY216 12、设随机变量X的分布列为：

X 1 2 3 则常数c=

p 1/2 c 1/4 A、0 B、1 C、

14 D、14 13、设X～N(0,1),又常数c满足PXcPXc,则c等于

A、1 B、0 C、

12 D、-1 14、已知EX1,DX3,则E3X22=

A、9 B、6 C、30 D、36 15、当X服从( )分布时,EXDX。

A、指数 B、泊松 C、正态 D、均匀 16、下列结论中，不是随机变量X与Y不相关的充要条件。

A、E(XY)E(X)E(Y) B、DXYDXDY C、CovX,Y0 D、X与Y相互

17、设X～b(n,p)且EX6，DX3.6，则有

A、n10，p0.6 B、n20，p0.3 C、n15，p0.4 D、n12，p0.5 18、设px,y,px,py分别是二维随机变量,的联合密度函数及边缘密度函数，则的充要条件。

A、EEE B、DDD

第页共

2 44页 是与

C、与不相关 D、对x,y,有px,ypxpy 19、设是二维离散型随机变量，则X与Y的充要条件是

A、E(XY)EXEy B、D(XY)DXDY C、X与Y不相关 D、对X,Y的任何可能取值xi,yj PijPiPj 20、设X,Y的联合密度为p(x，y)y14xy，0x，，

其它0，若F(x，y)为分布函数，则F(0.5，2)A、0 B、



11 C、 D、1 42

二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)

1、 若事件 A与B相互，P(A)0.8 P(B)0.6。求：P(AB)和P{A(AB)}

2、 设随机变量X

N(2，4)，且(1.65)0.95。求P(X5.3)

3、 已知连续型随机变量的分布函数为F(x)

0,x，41，x00x4，求E和D。 x44、 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)ABarctgx求： （1）常数A和B；

（2）X落入（-1，1）的概率；

（3）X的密度函数f(x)

5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为

x

2，如果命中了就停止射击， 3否则一直射到子弹用尽。 求：（1）耗用子弹数X的分布列；（2）EX；（3）DX

y14xy，0x，6、设,的联合密度为p(x，， y)0，其它求：（1）边际密度函数p(x),p(y)；（2）E,E；(3）与是否

3 44页 第页共

三、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

x1e2、设~f(x,)0x0其它(0) x1,x2,...,xn。为 的一组观察值，求的极大似然估计。

概率论与数理统计试卷答案及评分标准

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)

题号 答案 答案 1 B C 2 D C 3 C B 4 D B 5 D B 6 D D 7 D C 8 C D 9 A D 10 D B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)

1、 解：∵A与B相互

∴P(AB)P(A)P(B)P(AB)………（1分）

P(A)P(B)P(A)P(B) 0.80.6又P(AAB)0.0.86?0.92

P[A(AB)]………（1分）

P(AB) P(AB)P(A)P(B)………（2分） P(AB)P(AB) 0.13 ………（1分）

2、 解：P(X5.3)1Φ3、解：由已知有5.3-2 ………（5分）1Φ(1.65)10.950.05 2ab2 2U0,4 ………（3分）则：E2ba D12

4 34、解：(1)由F()0，F()1

AB0112 有： 解之有：A，B ………（3分）

2AB12

4 44页 第页共

(2)P(1X1)F(1)F(1)(3)f(x)F(x)5、解：(1)

……… (2)EX31 ………（2分） 21 ………（2分） 2(1x)1 2 3 （3分）

X P 2/3 2/9 1/9 xpii123i22113123 ………（2分）

3999(3) ∵EX222212322xp123 ii3999i122∴DXEX(EX)6、解：(1) ∵p(x)2313238()………（2分） 998110p(x，y)dy4xydy2x

∴p(x)2x，0x1

0，其它2y，0y1同理：p(x) ………（3分）

0，其它(2) Exp(x)dx2x2dx0122 同理：E

33(3) ∵p(x，y)p(x)p(y) ∴与

三、应用题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 1、 解：x1,x2,...,xn的似然函数为：

1L(x1,x2,...,xn，)ei1nxi1nexii11n………（3分）

Ln(L)nln1x

ii1nindLn(L)n12dxi10

1n解之有：xiX ………（6分）

ni1

5 44页 第页共

4、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知E[(X1)(X2)]1求. 解：E(X)D(X)， …….2分

E[(X1)(X2)]E(X23X2) D(X)[E(X)]3E(X)21三、（共18分,每题6分)

2 …….2分

所以2210，得1. …….1分

1、设总体X~N(52,62),现随机抽取容量为36的一个样本，求样本均值X落入（50.8，53.8）之间的概率.

解：X~N(52,1)， ……….2分

P{50.8X53.8} =(53.852)(50.852)

(1.8)(1.2)=0.9110.8849 ….3分 0.849 ……….1分

Aex, x0,X2、设随机变量的分布函数为 F(x)B, 0x1,

(x1)1Ae, x1.1求：（1）A , B的值；（2）P{X}.

3 解：（1）由连续型随机变量分布函数的连续性，得

x0limF(x)F(0)，limF(x)F(1)， x1AB即 解得AB0.5 ……….3分 B1A11 （2）P{X}1F()10.50.5 ……….3分

33

6 44页 第页共

3、箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球，2个黄 概率论与数理统计B试题 班级 姓名 学号 第 3 页 球，二号袋中装2个红球，1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任取一球，结果为红球，求这个红球是从一号袋中取得的概率. 解：设Ai={从箱子中取到i号袋}，i1,2

B={抽出的是红球}

P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2) ……….2分

11225 ……….1分 33339P(A1)P(B|A1)i12P(A1|B)P(Ai)P(B|Ai)1  ……….3分 5 Ax, 0x1，四、（8分） 设随机变量X具有密度函数 f(x)

0, 其它.求（1）常数A；（2）X的分布函数.

（1）因为f(x)dx1 ……….2分

所以 A0xdx1 得 A2 ……….2分

10, x0,x（2）F(x)02xdx, 0x1,

1, x1.0, x0,=x2, 0x1, ……….4分 1, x1.

五、（8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为 60、30、10件，现从中随机抽取一件，记

1, 若抽到i 等品，Xi 求X1，X2的联合分布律.

0, 没有抽到i 等品. 7 44页 第页共

解：设A1,A2,A3分别表示抽到一、二、三等品，

P(X10,X20)P(A3)0.1，P(X11,X20)P(A1)0.6 P(X10,X21)P(A2)0.3，P(X11,X21)0 X1，X2的联合分布律为

X2 X1 0 1 0 1 0.1 0.3 0.6 0.0 ……….8分（每个2分）

六、（10分）设随机变量X和Y的联合概率密度为

15x2y, 0xy1, f(x,y)

0, 其它.（1） 求边缘概率密度；（2）判断随机变量X和Y是否.

7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数

3xy2,f(x,y)20,0x2,0y1，则

其他E(X)=4。

38、随机变量X的数学期望EX，方差DX2，k、b为常数，则有E(kXb)= kb,；D(kXb)=k22。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X与Y相互。设Z＝2X－Y＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

ˆ, ˆ是常数的两个 无偏 估计量，若D(ˆ)D(ˆ)，则称ˆ比ˆ有效。 10、1212121、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6，则P(AB)=_0.3__。 2、设XB(2,p)，YB(3,p)，且P{X ≥ 1}=5，则P{Y≥ 1}=19。

9

273、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。 4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。 5、设随机变量X的概率密度是：

3x2f(x)00x1，且PX其他0.784，则

=0.6 。

6、利用正态分布的结论，有

8 44页 第页共

1(x24x4)e2(x2)22dx 1 。

7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数

3xy2,f(x,y)20,0x2,0y1，则

其他E(Y)= 3/4 。

8、设（X，Y）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使

PYaXb1，则X与Y的相关系数XY-1 。

9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X与Y相互。设Z＝X－Y＋3，则Z ～ N (2, 13) 。

10、设随机变量X～N (1/2，2)，以Y表示对X的三次重复观察中“X1/2”出现的次数，则P{Y2}= 3/8 。 1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(A－B)=0.3，则P(AB)0.6 。

11112、四个人地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,,，则密码能被译出的概率是 11/24 。

5436

5、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且3PX2PX4，则= 6 。

6、设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则PX2 0.6247 。

7、随机变量X的概率密度函数f(x)1ex22x1，则E(X)= 1 。

8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则

X

i1

n

2

i

~x(n)。

29、设T服从自由度为n的t分布，若PT，则PTa。 2xy,10、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数f(x,y)0,0x2,0y1，则E(X)= 4/3 。

其他1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.6, P(AB)= P(AB), 则P(B)= 0.4 。 2、设随机变量X与Y相互，且

XP11Y，

0.50.5P11，则P(X =Y)=_ 0.5_。

0.50.53、设随机变量X服从以n, p为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n= 45 。

4、设随机变量X~N(,)，其密度函数f(x)216ex24x46，则= 2 。

5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令Y(XEX)/DX，则DY= 1 。

9 44页 第页共

6、设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，Y服从5的指数分布，且X，Y相互，则(X, Y)的联合密度函数f (x, y)=

e5y00x5,y0其它。

7、随机变量X与Y相互，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X －2Y )＝ 44。 8、设X1,X2,,Xn是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则

(Xi1niX)2服从的分布为x2(n1)。

9、三个人地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为,111,，则目标能被击中的概率是3/5 。 5434xe2y,0x1,y010、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)，

其它0则EY = 1/2 。

1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P(AB)=__0.6 __。 2、设随机变量X的分布律为

Xp01211，且X与Y同分布，则随机变量Z ＝max{X,Y }的分布律为ZP2014134。

3、设随机变量X ～N (2，)，且P{2 < X <4}＝0.3，则P{X < 0}＝0.2 。

24、设随机变量X 服从2泊松分布，则PX1=1e。

25、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y2X，则Y的概率密度fY(y)为

1yfX()。 226、设X是10次重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X) 2.4 。

7、X1，X2，…，Xn是取自总体N,的样本，则

2(Xi1niX)22～x(n1)。

24xe2y,0x1,y08、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)，则EX = 2/3 。

其它0ˆ9、称统计量为参数的 无偏 估计量，如果E()=。

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。 1、设A、B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)0.6，则P(AB) 0.3 。 2、设X是10次重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则E(X) 18.4 。

210 第页共44页

3、设随机变量X～N (1/4，9)，以Y表示对X的5次重复观察中“X1/4”出现的次数，则P{Y2}= 5/16 。 4、已知随机变量X服从参数为的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4)，则=23。

ˆ5、称统计量为参数的无偏估计量，如果E()=θ 。

6、设X~N(0,1),Y~x2(n)，且X，Y相互，则

XYn~ t(n) 。

7、若随机变量X～N (3，9)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互。设Z＝X－2Y＋2，则Z ～ N (7，29) 。 8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)6xe3y,00x1,y0，则EY = 1/3 。

其它9、已知总体X~N(,),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，要检验Ho：2220，则采用的统计量是

(n1)S220。

10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若PT，则PT1a。 21、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.4, P(B)=0.5，P(AB)0.7，则P(AB) 0.55 。 2、设随机变量X ~ B (5, 0.1)，则D (1－2X )＝ 1.8 。 3、在三次重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为

37，则每次射击击中目标的概率为 1/4 。 4、设随机变量X的概率分布为P(X1)0.2,P(X2)0.3,P(X3)0.5，则X的期望EX= 2.3。 5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于－1。 6、设(X, Y)的联合概率分布列为

－1 0 4 －2 1 1/9 1/18 1/3 2/9 a b 若X、Y相互，则a = 1/6 ，b = 1/9 。

7、设随机变量X服从[1，5]上的均匀分布，则P2X4 1/2 。 8、三个人地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,111,，则密码能被译出的概率是3/5 。 54311 第页共44页

9、若X~N(1,2),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，X,S2分别为样本均值和样本方差，则

(X)n~ t (n-1) 。

Sˆ,ˆ是常数的两个无偏估计量，若D(ˆ)D(ˆ)，则称ˆ比ˆ 有效 。 10、1212121、已知P (A)=0.8，P (A－B)=0.5，且A与B，则P (B) ＝ 3/8 。 2、设随机变量X～N(1，4)，且P{ X  a }= P{ X  a }，则a ＝ 1 。 3、随机变量X与Y相互且同分布，P(X1)P(Y1)11，P(X1)P(Y1)，则P(XY)0.5。 224、已知随机向量(X, Y)的联合分布密度f(x,y)4xy0x1,0y1，则EY= 2/3 。

0其它5、设随机变量X～N (1，4)，则PX2＝ 0.3753 。（已知(0.5)=0.6915，(1.5)=0.9332） 6、若随机变量X～N (0，4)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互。设Z＝X＋Y－3，则Z ～ N (－4，9) 。 7、设总体X～N(1，9)，X1, X2, , Xn是来自总体X的简单随机样本，X, S分别为样本均值与样本方差，则

21n1n222；(Xi1)2~（9）。 (XiX)~(8)；9i19i18、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且3PX2PX4，则= 6 。

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 。

10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为 一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。这

类错误称为 二 错误。

1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.8，P(AB)=0.4，则P(A－B)= 0.4 。

2、设X是10次重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X) 2.4 。 3、设随机变量X的概率分布为

X P －1 0.1 0 0.3 1 0.2 2 0.4 则PX1= 0.7 。

4、设随机变量X的概率密度函数f(x)21ex22x1，则D(X)=

12 。

12 第页共44页

5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X，则P {X＝10}

＝ 0.39*0.7 。

46、某人投篮，每次命中率为0.7，现投篮5次，恰好命中4次的概率是C50.740.31。

17、设随机变量X的密度函数f(x)e2(x2)22，且PXcPXc，则c = -2 。

8、已知随机变量U = 4－9X，V= 8＋3Y，且X与Y的相关系数XY＝1，则U与V的相关系数UV＝－1。 9、设X~N(0,1),Y~x2(n)，且X，Y相互，则

XYn~t (n)

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。 1、随机事件A与B，P(AB)0.7,P(A)0.5，则P(B) 0.4 。 2、设随机变量X的概率分布为则X的概率分布为

3、设随机变量X服从[2，6]上的均匀分布，则P3X4 0.25 。

4、设X表示10次重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则EX=_18.4__。

X~222

5、随机变量X~N(,4)，则Y N(0,1) 。

6、四名射手地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，则目标能被击中的概率是 59/60 。 7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是

80，则袋中白球的个数是 4 。 818、已知随机变量U = 1＋2X，V= 2－3Y，且X与Y的相关系数XY ＝－1，则U与V的相关系数UV ＝ 1 。 9、设随机变量X～N (2，9)，且P{ X  a }= P{ X  a }，则a＝ 2 。

ˆ10、称统计量为参数的无偏估计量，如果E()= θ

二、选择题

1、设随机事件A与B互不相容，且P(A)P(B)0，则（ D ）。

Ａ. P(A)1P(B) B. P(AB)P(A)P(B) Ｃ. P(AB)1 Ｄ. P(AB)1 2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。

13 第页共44页

1C22!222!A. 2 B. 2 C. D.

4!4P42C4３、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y2X，则Y的概率密度fY(y)为（ D ）。 A. 2fX(2y) B. fX(y1y1y) C. fX() D. fX() 22222４、设随机变量X~f(x)，满足f(x)f(x)，F(x)是x的分布函数，则对任意实数a有（ B ）。 A. F(a)1a0a1f(x)dx B. F(a)f(x)dx C. F(a)F(a) D. F(a)2F(a)1

20５、设(x)为标准正态分布函数，

100事件A发生；1, ，X100相互。令YXi，则由中心极限定Xi i1, 2,, 100,且P(A)0.8，X1，X2， 否则；i10，理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. (y) B．(y80) C．(16y80) D．(4y80) 4１、设A，B为随机事件，P(B)0，P(A|B)1，则必有（ A ）。

A. P(AB)P(A) B. AB C. P(A)P(B) D. P(AB)P(A)

２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ C ）。 32112333212A. B. （）（） C. （） D. C（） 44444443、设X1, X2是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。 A. 11121323X1X2 B. X1X2 C. X1X2 D. X1X2 223344554、设(x)为标准正态分布函数，

1, 事件A发生；令Y，X100相互。Xi i1, 2,, 100,且P(A)0.1，X1，X2，0， 否则。Xi1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. (y) B．(y10) C．(3y10) D．(9y10) 314 第页共44页

5、设(X1,X2,,Xn)为总体N(1,22)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是（ D ）。

1n1nX12A. ~t(n)； B. (Xi1)~F(n,1)； C. ~N(0,1)； D. (Xi1)2~2(n)；

4i14i12/n2/nX1１、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为（A）。 A. ABC

２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。

B. ABC

C. A+B+C D. ABC

10x,x B. F(x)A. F(x)1x21xC. F(x)e,x D. F(x)xx0x0

31arctgx, x 423、(X,Y)是二维随机向量，与Cov(X,Y)0不等价的是（ D ）

A. E(XY)E(X)E(Y) B. D(XY)D(X)D(Y) C. D(XY)D(X)D(Y) D. X和Y相互 4、设(x)为标准正态分布函数，

1001, 事件A发生Xi i1, 2,, 100,且P(A)0.2，X1，X2，，X100相互。令YXi，则由中心极限定

否则i10，理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. (y) B．(2y20) C．(16y20) D．(4y20) 425、设总体X~N(,2)，其中未知，X1,X2,,Xn为来自总体的样本，样本均值为X，样本方差为s， 则下列各式中不

是统计量的是（ C ）。 A. 2X

s2 B. 2

 C.

X D.

(n1)s22

1、若随机事件A与B相互，则P(AB)＝（ B ）。

A. P(A)P(B) B. P(A)P(B)P(A)P(B) C. P(A)P(B) D. P(A)P(B)

2

2、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ，X1，X2，X3，X4是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（ D ）

15 第页共44页

1111111X1X2X3X3 B. X1X2X3 663333334111111C. X1X2X3X4 D. X1X2X3X455554444A. 3、设(x)为标准正态分布函数，Xi1, 事件A发生 否则0， i1, 2,, 100,且P(A)0.3，X1，X2，，X100相互。

令YXi1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. (y) B．(y30y30) D．(y30) ) C．(2121k1，k0,1,2,3，则E(X)＝（ B ）。 104、设离散型随机变量的概率分布为P(Xk)A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4 5、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。

A. H1真时拒绝H1称为犯第二类错误。 B. H1不真时接受H1称为犯第一类错误。 C. 设P{拒绝H0|H0真}，P{接受H0|H0不真}，则变大时变小。 D. 、的意义同（C），当样本容量一定时，变大时则变小。 1、若A与B对立事件，则下列错误的为（ A ）。

A. P(AB)P(A)P(B) B. P(AB)1 C. P(AB)P(A)P(B) D. P(AB)0 2、下列事件运算关系正确的是（ A ）。

A. BBABA B. BBABA C. BBABA D. B1B 3、设(x)为标准正态分布函数，

事件A发生1, ，X100相互。令YXi i1, 2,, 100,且P(A)0.4，X1，X2， 否则0，Xi，则由中心极限定

i1100理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. (y) B．(y40y40) ) C．(y40) D．(24244、若E(XY)E(X)E(Y)，则（D ）。 A. X和Y相互

B. X与Y不相关 C. D(XY)D(X)D(Y) D. D(XY)D(X)D(Y)

16 第页共44页

5、若随机向量（X,Y）服从二维正态分布，则①X,Y一定相互； ② 若XY0，则X,Y一定相互；③X和Y都服

从一维正态分布；④若X,Y相互，则 Cov (X, Y ) =0。几种说法中正确的是（ B ）。 A. ① ② ③

④ B. ② ③ ④ C. ① ③ ④ D. ① ② ④

1、设随机事件A、B互不相容，P(A)p, P(B)q，则P(AB)＝（ C ）。 A. (1p)q B. pq C. q D.p

2、设A，B是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。

A. P(AB)P(A)P(B)，其中A，B相互 B. P(AB)P(B)P(AB)，其中P(B)0 C. P(AB)P(A)P(B)，其中A，B互不相容 D. P(AB)P(A)P(BA)，其中P(A)0 3、设(x)为标准正态分布函数，

1, 事件A发生，X100相互。令YXi i1, 2,, 100,且P(A)0.5，X1，X2， 否则0，知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. (y) B．(Xi1100i，则由中心极限定理

y50y50) C．(y50) D．() 5254、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 5 — 2X的密度函数为（ B ）

1y51y5f() B. f() 22221y51y5C. f() D. f()2222A. 5、设xx是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。 ,2,,x1n1A.

n11n1n1n22(xix) B. (xix) C. (xix) D. (xix) ni1ni1n1i1i12n1、若A、B相互，则下列式子成立的为（ A ）。 A. P(AB)P(A)P(B)

B. P(AB)0 C. P(A|B)P(B|A) D. P(A|B)P(B)

）。

2、若随机事件A,B的概率分别为P(A)0.6，P(B)0.5，则A与B一定（D A. 相互对立 B. 相互 C. 互不相容 D.相容

17 第页共44页

1, 事件A发生3、设(x)为标准正态分布函数，Xi，X100相互。 i1, 2,, 100,且P(A)0.6，X1，X2， 否则0，令YXi1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（B ）。

A. (y) B．(y60y60) ) C．(y60) D．(24244、设随机变量X ～N(μ，81)，Y ～N(μ，16)，记p1P{X9},p2{Y4}，则（ B ）。 A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定 5、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 7 — 5X的密度函数为（ B ）

1y71y7f() B. f()5555 1y71y7C. f() D. f()5555A. 1、对任意两个事件A和B， 若P(AB)0， 则（ D ）。 A. AB B. AB C. P(A)P(B)0

D. P(AB)P(A)

2、设A、B为两个随机事件，且0P(A)1，0P(B)1， P(B|A)P(B|A)， 则必有（ B ）。 A. P(A|B)P(A|B)

B. P(AB)P(A)P(B) C. P(AB)P(A)P(B)

D. A、B互不相容

3、设(x)为标准正态分布函数，

事件A发生1, Xi i1, 2,, 100,且P(A) 否则0，0.7，X1，X2，，X100相互。令YXi，则由中心极限定

i1100理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. (y) B．(y70y70) ) C．(y70) D．(21214、已知随机变量X和Y相互，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)（ A ）。 A. 3 B. 6 C. 10 D. 12

5、设随机变量X ～N(μ，9)，Y ～N(μ，25)，记p1P{X3},p2{Y5}，则（ B ）。 A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定 1、设A1,A2两个随机事件相互，当A1,A2同时发生时，必有A发生，则（ A ）。

18 第页共44页

A. P(A1A2)P(A) B. P(A1A2)P(A) C. P(A1A2)P(A) D. P(A1)P(A2)P(A) 2、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y2X3，则Y的概率密度fY(y)为（ A ）。 A. 1y31y31y31y3fX() B. fX() C. fX() D. fX() 222222223、两个随机变量X,Y，则下列不成立的是（ C ）。

A. EXYEXEY B. E(XY)EXEY C. DXYDXDY D. D(XY)DXDY

4、设(x)为标准正态分布函数，Xi1, 事件A发生 否则0， i1, 2,, 100,且P(A)0.9，X1，X2，，X100相互。

令YXi1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. (y) B．(y90y90) C．(y90) D．() 392

5、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ，X1，X2，X3是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（ B ）

111111X1X2X3 B. X1X2X3 424333342121C. X1X2X3 D. X1X2X3555662A. 1、若事件A1,A2,A3两两，则下列结论成立的是（ B ）。 A. A1,A2,A3相互

B. A1,A2,A3两两 D. A1,A2,A3相互

C. P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)

2、连续型随机变量X的密度函数f (x)必满足条件（ C ）。

A. 0f(x)1 B. 在定义域内单调不减C. 

f(x)dx1 D. lim f(x)1x3、设X1,X2是任意两个互相的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，

则（ B ）。

A. f1(x)f2(x)必为密度函数 B. F1(x)F2(x)必为分布函数 C. F1(x)F2(x)必为分布函数 D. f1(x)f2(x)必为密度函数

4、设随机变量X, Y相互，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ B ）。

19 第页共44页

A. X Y B. （X, Y） C. X — Y D. X + Y 5、设(x)为标准正态分布函数，

n事件A发生1, Xi i1, 2,, n,且P(A)p，X1，X2，，Xn相互。令YXi，则由中心极限定理知Y 否则i10，的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. (y) B．(ynpynp) ) C．(ynp) D．(np(1p)np(1p)

三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、第二、

第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？ 解 设Ai表示产品由第i家厂家提供，i=1, 2, 3；B表示此产品为次品。 则所求事件的概率为

10.02P(A1|B)P(A1)P(B|A1)2P(A1|B) ＝0.4

111P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.020.020.04244答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。

三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产

品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？

解：设A1，A2，A3表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。 （1）所求事件的概率为

0.250.030.350.020.40.010.0185 P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)（2）P(A1|B)P(A2)P(B|A2)0.350.02 = 0.38

P(B)0.0185答：这件产品是次品的 概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。

三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3，加工零件A时停机的概率是

0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发 生停机的概率。

20 第页共44页

解：设C1，C2，表示机床在加工零件A或B，D表示机床停机。 （1）机床停机夫的概率为

P(B)P(C1).P(D|C1)P(C2).P(D|A2)（2）机床停机时正加工零件A的概率为

12110.30.4 333010.3P(C1).P(D|C1)33P(C1|D) = 

11P(D)1130三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加工的零件合格率依次为94％，

90％，95％。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。 解 设A1，A2，A3表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分） 则所求事件的概率为

10.06P(A1|B)P(A1)P(B|A1)32P(A1|B)3 ＝

P(B)0.50.060.30.100.20.057P(Ai)P(B|Ai)i1答：此废品是甲机床加工概率为3/7。

三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具

能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。 （10分）

解：设A1，A2，A3，A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误期到达。 则P(A2|B)0.150.3P(A2|B)P(A)P(B|A2)0.209 42 ＝

0.0500.150.30.30.40.50.1P(B)P(Ai)P(B|Ai)i1答：此人乘坐火车的概率为0.209。

三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工

具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。求该人如期到达的概率。

解：设A1，A2，A3，A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。

21 第页共44页

4则P(B)P(A)P(B|A) 0.0510.150.70.30.60.50.90.785

iii1答：如期到达的概率为0.785。 四（1）设随机变量X的概率密度函数为

Ax, 0x1 f(x) 其它0，求（1）A； （2）X的分布函数F (x)； （3） P (0.5 < X <2 )。

A21Ax|01 0解： 22 A2 （）1 f(x)dxAxdx1（2）当x0时， F(x)xxf(t)dt0 f(t)dt2tdtx2 0x 当0x1时， F(x) 当x1时， F(x)xf(t)dt2tdt1

010, x0 故 F(x)x2, 0x1 1, x1 (3) P（1/20x2 kx1, f(x) 其它 0,

求（1）k ；（2）分布函数F (x)； （3）P (1.5 k2f(x)dx(kx1)dx(x2x)|02k21 0解： 2 k1/2 (1) 222 第页共44页

x（2）当x0时， F(x)xf(t)dt0 x2f(t)dt(0.5t1)dtx 04x 当0x2时， F(x) 当x2时， F(x)xf(t)dt1

0, x02x 故 F(x)x, 0x2 41, x2(3) P（1.5f(x)ax, 0x10,

 其它求（1）a；（2）X的分布函数F (x)；（3）P ( X >0.25)。

解：(1) f(x)dx120axdx3a1 a3/2 2）当x0时， F(x)xf(t)dt0 当0x1时， F(x)xf(t)dtx302tdtx3/2 当x1时， F(x)xf(t)dt1

0, x0 故 F(x)x3/2 , 0x1 1, x1(3) P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/8 四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为

f(x)2x, x(0,A)0, 其它 求（1）A；（2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X <1)。 解：

(1) f(x)dxA2xdxA201

A1 第页共23 44页

（）

x（2）当x0时， F(x)xf(t)dt0 f(t)dt2tdtx2 0x 当0x1时， F(x) 当x1时， F(x)xf(t)dt1

0, x0 故 F(x)x2, 0x1 1, x1(3) P（-0.5c, x12f(x)1x

0, 其它求（1）c； （2）分布函数F (x)；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。

解：

(1) 1-x2 c1/ 1xf(x)dx 1cdxcarcsinx|11c1

（2）当x1时， F(x)xf(t)dt0 f(t)dtx 当1x1时， F(x) 1111t2dt1xarcsint|1 (arcsinxx2 )

当x1时， F(x)f(t)dt1 0, x11 故 F(x)(arcsinx ), －1x1 21, x1(3) P（-0.5x2F(x)ABe, x0

 其它0, 2求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (124 第页共44页

(1) lim F(x)A1 x F(x)AB0解： limx0

B1 （2） xex/2, x0 f(x) F(x) 0, x0(3) P（1四（7）、已知连续型随机变量X的分布函数为

F(x)ABarctanx

求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1(1) lim F(x)Ax2B1 B0

解： lim F(x)Ax2 A1/2, B1/ （2） f(x) F(x) 1 (1x2)(3) P（01arctan2

四（8）、已知连续型随机变量X的分布函数为

x00, F(x)Ax, 0x1

1, x1求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0< X< 0.25 )。

（2）解：

(1) lim F(x)A1 x11 , 0x1 f(x) F(x) 2x A1 0, 其他(3) P（025 第页共44页

A x212, F(x)x x20, 求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。

（2）、解：

(1) lim F(x)1A/40 x28 3, x2 f(x) F(x) x A4 0, x2(3) P（0四（10）、已知连续型随机变量X的密度函数为

2x2, x(0,a) f(x)0, 其它求（1）a； （2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。

（2）当x0时， F(x)f(t)dt0 xa2xx(1) f(x)dx 2dx1 当x时， F(x)f(t)dt1 0解： a 0, x02x 故 F(x)2, 0x 1, x2tx2 当0x时， F(x)f(t)dt2dt2 0xx(3) P（-0.5142

五（1）、设系统L由两个相互的子系统L1，L2并联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为,()的指数分布。求系统L

的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝max (X, Y)。 显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z) ＝P (X≤z, Y≤z)＝P (X≤z)P (Y≤z)＝因此，系统L的寿命Z的密度函数为

26 第页共44页

z0exdxeydy＝(1ez)(1ez)。

0z

ezez()e()z, z0dFZ(z)f Z (z)＝ dz z00, 五（2）、已知随机变量X～N（0，1），求随机变量Y＝X 的密度函数。 解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝P(yX2

2

2

y)

＝

y12yex2/2dx2y120ex2/2dx

ey/2, y0,d因此，f Y (y)＝ FY(y)2 ydy0, y0. 五（3）、设系统L由两个相互的子系统L1、L2串联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为,()的指数分布。求系统L

的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝min (X, Y)。 显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝1－P (min (X, Y)>z) ＝1－P (X>z, Y>z)＝1－P (X>z)P (Y>z)＝1因此，系统L的寿命Z的密度函数为

zexdxeydy＝1e()z。

z()e()z, z0df Z (z)＝ FZ(z)dz z00, 五（4）、已知随机变量X～N（0，1），求Y＝|X|的密度函数。

解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝P(yXy)

＝

y12yex2/2dx2y120ex2/2dx

2y2/2 y0,de因此，f Y (y)＝ FY(y)dy0, y0. 五（5）、设随机向量（X，Y）联合密度为

27 第页共44页

Ae(2x3y), x0,y0 ;f(x, y)= 

其它.0, （1） 求系数A；

（2） 判断X，Y是否，并说明理由；

（3） 求P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}。

解：（1）由1＝

f(x,y)dxdyAe(2x3y)dxdyAe2xdxe3y1dy＝A(e2x1)(e3y)A, 00002 可得A＝6。

（2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

f(x)＝2e2x, x0 ; 和 f3e3y, y0 ;X Y (y)＝0, 其它. 0, 其它. ，

则对于任意的(x,y)R2, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y。 （3）P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}＝

21(2x3y)21006edxdy2e2xdx03e3y0dy

＝(e2x2)(e3y100)(1e4)(1e3).

五（6）、设随机向量（X，Y）联合密度为

f (x, y)= Ae(3x4y), x0,y0 ;0, 其它.

（1） 求系数A；

（2） 判断X，Y是否，并说明理由；

（3） 求P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}。 解：（1）由1＝

(3x4y)4yf(x,y)dxdy00AedxdyA3x0edx0edy

 ＝A(1e3xA3)(104e4y)012, 可得A＝12。 （2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

f(x)＝3e3x, x0 ; 和 4e4y, y0 ;X 0, 其它.fY (y)＝  ，

0, 其它.第页共28 44页

0306

则对于任意的(x,y)R2, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y。 （3）P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}＝

3x1011100(3x4y)3x4y12edxdy3edx4edy 00 ＝(e)(e4y)(1e3)(1e4).

0五（7）、设随机向量（X，Y）联合密度为

f(x, y)= 6x, 0xy1 ;

其它.0, （1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2） 判断X，Y是否，并说明理由。 解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0； 当0≤x≤1时，fX (x)＝

f(x,y)dy6xdy6x(1x).

x16x6x2, 0x1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝

其它.0, 当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝

yf(x,y)dx6xdx3x2|03y2.

0y3y2, 0y1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝

其它.0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2, 1/2)， 所以，X与Y不。 五（8）、设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为

ey, 0xy ;f (x, y)=

其它.0, （1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2） 判断X与Y是否相互，并说明理由。 解：（1）当x≤0时，fX (x)＝0； 当x>0时，fX (x)＝

f(x,y)dyeydyex.

x29 第页共44页

ex, x0,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝

0, 其它.当y≤0时，fY (y)＝0； 当y>0时，fY (y)＝

f(x,y)dxeydxyey.

0yyey, y0,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝

0, 其它. （2）因为f (1, 2)＝e，而fX (1) fY (2)＝e*2e＝2 e≠f (1, 2)， 所以，X与Y不。 五（9）、设随机变量X的概率密度为

-2

-1

-2

-3

ex,x0 f(x)0,其它设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。 解：当y<0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝0； 当y>1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝1； 当0≤y≤1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P ((F(X )≤y)＝P(XF(y)) ＝F(F(y))y

110y1,1, d因此，f Y (y)＝ FY(y)dy0, 其它. 五（10）、设随机向量（X，Y）联合密度为

f(x, y)= 8xy, 0xy1 ;

其它.0, （1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2）判断X，Y是否，并说明理由。 解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0； 当0≤x≤1时，fX (x)＝

2f(x,y)dy8xydy4xy2|14x(1x). xx130 第页共44页

4x4x3, 0x1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝

其它.0, 当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝

yf(x,y)dx8xydx4yx2|04y3.

0y4y3, 0y1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝

0, 其它. （2）因为f (1/2, 1/2)＝2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2)， 所以，X与Y不。

7 6六（1）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为

6 9求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2

XY,XYCov(XY,XY)D(XY)D(XY)228*4128

28 -21 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为  和 -2 4-1-128  1289 2六（2）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为

2 1求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =9-1=8

XY,XYCov(XY,XY)D(XY)D(XY)814*6421

31 第页共44页

414 81 21所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为   和 8 64 121 9 －6六（3）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为

－6 6求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3

Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3

(XY,XY)3XY,XYCovD(XY)D(XY)27*313

X27 3所以，（—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 1 3 3 和 13 1 4 －5六（4）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为－5 9

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3

Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5

Cov(XY,XY)5XY,XYD(XY)D(XY)523*369

23 -5所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 1 -5 13 和 -569 1 －1六（5）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为－1 4

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

第页共32 44页

13 -569  1

解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3

Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -3

XY,XYCov(XY,XY)D(XY)D(XY)37*3321

-37 -31 21所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为  和  -3 3-3 121求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=5+4-2*2=5

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =5-4=1

XY,XYCov(XY,XY)D(XY)D(XY)113*5165

七（1）、设总体X的概率密度函数是

x1, 0x1 f(x;a)0, 其它其中0为未知参数。x1, x2,

解：似然函数Lxii1n, xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

1xii1nn1 lnLnln(1)lnx

ii1ndlnLnnˆ lnxi0 di1nlnxi1n

i

七（3）、设总体X的概率密度函数是

33 第页共44页

2xexp{x2}, x0 f(x)0, 其它>0为未知参数，x1,x2,x3,n,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

2nnnn2nn解：似然函数L(2xiexp{xi})(2i1xiexp{xi}) lnLnln(2)lnxixi2

i1i1i1i1dlnLnn2ˆ xi0 di1nxi1n

2i 七（4）、设总体的概率密度函数是

3x2exp{x3}, x0f(x)

0, 其它其中>0是未知参数，x1,x2,x3,n2i,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

3nnn2n3n2n解：似然函数L(3xexp{xi})(3i1xiexp{xi}) lnLnln(3)lnxixi3

i1i1i1i1dlnLnn3ˆ xi0 di1nxi1n

3i 七（5）、设总体X服从参数为的泊松分布P()xx!e（x=0，1，

），其中0为未知参数，x1,x2,x3,,xn是一组样

本值，求参数的最大似然估计。

解：似然函数Lnxixi!ni1enxii1nen lnLxi!i1xlnln(x!)n

iii1i1nndlnLi1

d

xiˆn0 xi1ninx

七（6）、设总体X的概率分布为P{X= x}=p(1-p),x0,1。 设x1,x2,x3,然估计法求p的估计值。

x1-x,xn为总体X的一组简单随机样本，试用最大似

34 第页共44页

nnn lnLxilnpnxiln1p

i1i1解：

Lp1pxii11xin1ndlnLn11ˆxix xinxi0 pi1i1ni1dpp1p 七（7）、设总体X服从参数为

1的指数分布，x1,x2,x3,n,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

解： Ln1i1e1xi1xi11n1i1 lnLnlnxi ei1n1ndlnLn1nˆ2xi0 xix

ni1di1 七（8）、设总体X服从参数为的指数分布，x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

n解：似然函数

Lei1nnxiexini1n lnLnlnxi

i1dlnLnnˆn1 xi0 ndi1xixi1七（9）、设总体X的概率密度函数是

(x)2112f(x;)e, x

2x1,x2,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计？

解：似然函数

xi2112 Lei12nn1n21n2lnLln2(x) expxiini1i1222211ndlnLnˆxix (xi)0 ni1di1七（10）、设总体X的概率密度函数是

f(x;)x1,x2,x3,1e2x22, x

,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计？

35 第页共44页

解：似然函数

1n L()ei12nxi22nn1n21n2xi expxi lnLln2lnnii122212211n2dlnLn1n2ˆ2xi xi

ni1d22i1

八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

设零件长度X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 ) 、解：由于零件的长度服从正态分布,所以Ux~N(0,1) P{|U|u0.025}0.95

/n所以的置信区间为(xu0.025n,xu0.025n) 经计算 x19xi19i6

1 的置信度为0.95的置信区间为 (61.961 即(5.347，6.653) 3,61.963)八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）： 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7

若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 )

解：由于滚珠的直径X服从正态分布,所以Ux~N(0,1) P{|U|u0.025}0.95

/n所以的置信区间为：(xu0.025n,xu0.025n) 经计算 x19xi19i14.911

的置信度为0.95的置信区间为 (14.9111.960.053,14.9111.960.053) 即(14.765，15.057)

2八（3）、工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布N(,),现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径

如下:

14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7

36 第页共44页

已知零件口径X的标准差0.15，求的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 )

解：由于零件的口径服从正态分布,所以Ux~N(0,1) P{|U|u0.025}0.95

/n所以的置信区间为：(xu0.025n,xu0.025n) 经计算 x19xi19i14.9

0.15  的置信度为0.95的置信区间为 (14.91.960.15 即(14.802 ,14.998) 3,14.91.963)八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速

度的方差的置信度为0.95的置信区间。

2(已知：0.0252(8)17.535, 0.9752(8)2.18；0.0252(9)19.02, 0.9752(9)2.7)

因为炮口速度服从正态分布，所以

W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(8)W0.9752(8)}0.95

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：2n1,2n1

0.9750.0252

89892的置信度0.95的置信区间为 , 即4.106,33.028

17.5352.180八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下：x162.67cm, s4.20cm。

求该校女生身高方差的置信度为0.95的置信区间。

2

(已知：0.0252(8)17.535, 0.9752(8)2.18；0.0252(9)19.02, 0.9752(9)2.7)

解：因为学生身高服从正态分布，所以

W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(8)W0.9752(8)}0.95

(n1)S284.2284.22(n1)S22的置信区间为：2n1,2n1 的置信度0.95的置信区间为 17.535,2.180 即8.048,.734

0.9750.0252

八（6）、一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：x16.10cm, s2.10cm。设螺丝钉的长度服从正态分布，试求

该批螺丝钉长度方差的置信度为0.95的置信区间。

2

37 第页共44页

(已知：0.0252(8)17.535, 0.9752(8)2.18；0.0252(9)19.02, 0.9752(9)2.7)

解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以

W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(8)W0.9752(8)}0.95

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：2n1,2n1

0.9750.025282.10282.102的置信度0.95的置信区间为 , 即2.012,16.183

2.18017.53522八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值x32.58，样本方差S0.097。假定该产品的尺

2

2

寸X服从正态分布N(,2),其中与均未知。求的置信度为0.95的置信区间。

由于该产品的尺寸服从正态分布，(已知：0.0252(20)34.17, 0.9752(20)9.591；0.0252(19)32.852, 0.9752(19)8.907)解：

所以

W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(19)W0.9752(19)}0.95

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：2n1,2n1

0.9750.0252

190.097190.0972的置信度0.95的置信区间为 , 即0.056,0.207

32.8528.907八（8）、已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布N(,)。从中随机抽取9根，经计算得其标准差为8.069。求的置信度为

0.95的置信区间。

2222（已知：0.025(9)19.023, 0.975(9)2.7，0.025(8)17.535, 0.975(8)2.180）

22

解：由于抗拉强度服从正态分布所以，

W(n1)S22~2(n1) P{0.0252(8)W0.9752(8)}0.95

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：(2,2)

0.025n10.975n12

38 第页共44页

88.069288.0692的置信度为0.95的置信区间为, ，即 29.705,238.931

2.18017.5352

八（9）、设总体X ～N(,2)，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差S0.07，试求总体方差的置信度为0.95的置信区

间。

2(已知：0.0252(16)28.845, 0.9752(16)6.908；0.0252(15)27.488, 0.9752(15)6.262)解：由于 X～N,2，所以

W(n1)S2~2(n1) P{0.0252(15)W0.9752(15)}0.95

2(n1)S2(n1)S2的置信区间为：(2,2)

0.025n10.975n12

150.07150.072的置信度0.95的置信区间为 ,，即0.038,0.168

6.26227.488八（10）、某岩石密度的测量误差X服从正态分布N(,2)，取样本观测值16个，得样本方差S0.04，试求的置信度为95%

的置信区间。

22

(已知：0.0252(16)28.845, 0.9752(16)6.908；0.0252(15)27.488, 0.9752(15)6.262)解：由于 X ~ N,2，所以

W(n1)S2~2(n1) P{0.0252(15)W0.9752(15)}0.95

2(n1)S2(n1)S2的置信区间为：(2,2)

0.025n10.975n12

150.04150.042的置信度0.95的置信区间为：, 即0.022,0.096

27.4886.262九（1）、某厂生产铜丝，生产一向稳定,现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得

x287.5, (xix)2160.5。假定

i110铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平0.1下，是否可以相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16？

(已知：0.052(10)18.31, 0.952(10)3.94; 0.052(9)16.9, 0.952(9)3.33)

解：待检验的假设是 H0:16 选择统计量 W2(n1)S22 在H0成立时 W~2(9)

P{20.05(9)W20.95(9)}0.90

39 第页共44页

取拒绝域w ={W16.92,W3.33} 由样本数据知(n1)S2160.5 W160.510.03 16.9210.033.33 16 接受H0，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。

九（2）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁

水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平0.05下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?

(已知：0.0252(10)20.48, 0.9752(10)3.25, 0.0252(9)19.02, 0.9752(9)2.7)

解：待检验的假设是 H0:0.03 选择统计量 W2(n1)S22 在H0成立时 W~2(9)

P{20.025(9)W20.975(9)}0.95

取拒绝域w ={W19.023,W2.700}

由样本数据知 W(n1)S2290.037511.25

0.0319.02311.252.700

接受H0，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。

九（3）、某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布N(,0.9)，现从一批产品中抽测20个样本，测得样本标准

差S=1.2。问在显著水平0.1下，该批产品的标准差是否有显著差异？

2(已知：0.052(19)30.14, 0.952(19)10.12；0.052(20)31.41, 0.952(20)10.85)

解：待检验的假设是 H0:0.9 选择统计量 W(n1)S22 在H0成立时 W~(19)

2P{20.05(19)W20.95(19)}0.90

取拒绝域w ={W30.114,W10.117}

由样本数据知 W(n1)S22191.2233.778 33.77830.114 20.9 拒绝H0，即认为这批产品的标准差有显著差异。

40 第页共44页

九（4）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布N(4.55,0.112)。现抽测了9炉铁水,算得铁水含碳量的

22平均值x4.445，若总体方差没有显著差异，即0.11，问在0.05显著性水平下，总体均值有无显著差异?

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 )

解：待检验的假设是 H0:4.55 选择统计量 UX 在H0成立时 U~N(0,1)

/nP{|U|u0.025}0.05 取拒绝域w={|U|1.960}

由样本数据知 UX4.4454.552.8 U1.960 拒绝H0，即认为总体均值有显著差异。

0.11/3/n22九（5）、已知某味精厂袋装味精的重量X ～N(,)，其中=15，0.09，技术革新后，改用新机器包装。抽查9个样品，

测定重量为（单位：克）

14.7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1

已知方差不变。问在0.05显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15？

(已知：t0.05(15)=2.131, t0.05(14)=2.145, U0.0251.960 )

解：待检验的假设是 H0:15 选择统计量 UX 在H0成立时 U~N(0,1)

/nP{|U|u0.025}0.05 取拒绝域w={|U|1.960}

经计算 x19xi14.967 Ui19X14.967150.33 U1.960

0.3/3/n 接受H0，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。

九（6）、某手表厂生产的男表表壳在正常情况下，其直径(单位:mm)服从正态分布N(20, 1)。在某天的生产过程中，随机抽查4只

表壳，测得直径分别为: 19.5 19.8 20.0 20.5.

问在0.05显著性水平下，这天生产的表壳的均值是否正常?

(已知：t0.05(4)=2.776, t0.05(3)=3.182, U0.0251.960 )

解： 待检验的假设为 H0: 20 选择统计量Ux 当H0成立时， U～N0,1

nP{|U|u0.025}0.05

41 第页共44页

19.9520U0.1141取拒绝域w={|U|1.960} 经计算 xxi19.95 2i14U1.960接受H0，即认为表壳的均值正常。

九（7）、某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为0.15cm。今从一批产品

中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为x=10.48cm。假设方差不变，问在0.05显著性水平下，该切割机工作是否正常?

(已知：t0.05(16)=2.12, t0.05(15)=2.131, U0.0251.960 )

解： 待检验的假设为 H0: 10.5选择统计量Ux 当H0成立时， U～ N0,1

nP{|U|u0.025}0.05 取拒绝域w={|U|1.960}

x10.4810.580.5330.1515 接受H0，即认为切割机工作正常。

4由已知

UnU1.960

九（8）、某厂生产某种零件，在正常生产的条件下，这种零件的周长服从正态分布，均值为0.13厘米。如果从某日生产的这种零

件中任取9件测量后得x=0.146厘米，S =0.016厘米。问该日生产的零件的平均轴长是否与往日一样？ （ 已知：0.05, t0.05(9)2.262, t0.05(8)2.306, u0.0251.96 ） 解： 待检验的假设为 H0: 0.13选择统计量Tx 当H0成立时， T～t(8) SnP{|T|t0.05(8)}0.05 取拒绝域w={|T|2.306}

由已知

Tx0.1460.133S0.016 拒绝H0，即认为该生产的零件的平均轴长与往日有显著差异。

3nT2.302 第页共44页

九、某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取9个样本，测得其平均寿命为1070小时，样本标准

差S109小时。问在0.05显著性水平下，检测灯泡的平均寿命有无显著变化？ (已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 ) 解： 待检验的假设为 H0: 1120

选择统计量Tx 当H0成立时， T～t(8) P{|T|t0.05(8)}0.05 Sn取拒绝域w={|T|2.306} 由已知

Tx107011201.376S109 接受H0，即认为检测灯泡的平均寿命无显著变化。

3nT2.306九、正常人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者9人，测得其脉搏为（次/分）： 68 65 77 70 69 72 62 71

设患者的脉搏次数X服从正态分布，经计算得其标准差为4.583。试在显著水平=0.05下，检测患者的脉搏与正常人的脉搏有无

显著差异？

(已知：t0.05(8)=2.306, t0.05(9)=2.262, U0.0251.960 )

解： 待检验的假设为 H0: 72 选择统计量Tx 当H0成立时， T ~ t8 Sn0.05 P{|T|t(8)}0.05

19取拒绝域w={|T|2.306} 经计算xxi68.667

9i1Tx68.667722.182S4.583

3nT2.306接受H0，检测者的脉搏与正常的脉搏无显著差异。

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